北京市海淀區(qū)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2012—2013學(xué)年北京市海淀區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題,每小題4分,共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（4分）sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=（）A．B．C．D．1考點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：應(yīng)用兩角差的正弦公式，直接把所給式子化為sin30°，再求出30°的正弦值即可．解答：解:sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角差的正弦公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的形式．2．（4分）數(shù)列｛an}中，a1=1，an+1=an+2（n∈N＊），那么a8的值是（)A．﹣14B．15C．﹣15D．17考點(diǎn)：等差數(shù)列．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析:由題意得出an+1﹣an=2,從而判斷數(shù)列是以等差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,進(jìn)而求出通項(xiàng)公式，從而求解．解答:解：∵數(shù)列｛an}中，a1=1,an+1=an+2，∴an+1﹣an=2，∴數(shù)列是以等差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列∴an=1+2（n﹣1)=2n﹣1∴a8=2×8﹣1=15，故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由an+1﹣an=2,判斷數(shù)列是以等差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,是解題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．3．(4分）等比數(shù)列{an｝中,a3=﹣1，那么a1a2A．﹣4B．﹣5C．﹣1D．1考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：若m，n,p，q∈N*，且m+n=p+q,則有aman=apaq，可得a1a2a3a解答：解：在等比數(shù)列｛an｝中，若m，n，p，q∈N＊,且m+n=p+q，則有aman=apaq．所以根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得:a1a2a3a故選C．點(diǎn)評(píng):解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，即在等比數(shù)列{an}中，若m，n，p,q∈N＊，且m+n=p+q，則有aman=apaq．4．（4分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，則∠A的大小是（)A．B．C．D．考點(diǎn)：余弦定理．專題：解三角形．分析：利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．解答：解：已知等式變形得：a2﹣b2+2bc﹣c2=bc，即b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理得：cosA==，∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=．故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．5．(4分）在△ABC中,若sinAcosB=sinC，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形考點(diǎn)：三角形的形狀判斷．專題：計(jì)算題；解三角形．分析：在△ABC中，利用sin（A+B）=sinC，再利用兩角和的正弦展開(kāi)，合并整理即可判斷△ABC的形狀．解答：解：∵在△ABC中，sin（A+B）=sinC,∴sinAcosB=sinC=sin(A+B）=sinAccosB+cosAsinB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0,∴在△ABC中，A為直角．∴△ABC為直角三角形．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，考查用兩角和的正弦與誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（4分)等差數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S9＜0,S11＞0，那么下列結(jié)論正確的是（）A．S9+S10＜0B．S10+S11＞0C．?dāng)?shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，且前9項(xiàng)的和最小D．?dāng)?shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)的和最小考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得a5＜0,且a6＞0，從而得出結(jié)論．解答:解：由S9==9a5＜0，可得a5＜0．再由S11==9a6＞0，可得a6＞0．故此等差數(shù)列是遞增的等差數(shù)列,前5項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，故前5項(xiàng)的和最小，故選D．點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（4分）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，某課外小組的同學(xué)在岸邊選取C，D兩點(diǎn)，測(cè)得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°,∠BCD=120°，∠ACD=30°，則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A．mB．mC．100mD．100m考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．專題：解三角形．分析：在△ACD中，計(jì)算AC，在△BCD中，求BC，在△ABC中，利用勾股定理，即可求得結(jié)論．解答:解:∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∴在△ACD中，∴AC=100（+1)在△BCD中，∵∠BDC=15°，∠BCD=120°,∴∴BC=100（﹣1）在△ABC中，∠ACB=90°,∴AB==m故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查勾股定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（4分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠B=30°，c=6，記b=f（a），若函數(shù)g(a)=f（a）﹣k（k是常數(shù)）只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．｛k｜0＜k≤3或k=6}B．{k｜3≤k≤6｝C．｛k｜k≥6}D．{k｜k≥6或k=3｝考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由余弦定理可得b=f(a）的解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得f（a)的最小值為3,f（a）的增區(qū)間為［3，+∞），減區(qū)間為(0，3），且f(0)趨于6，由此可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．解答：解：在△ABC中，∠B=30°,c=6，記b=f（a），而由余弦定理可得b===≥3，即f（a）的最小值為3．由于函數(shù)g(a）=f（a）﹣k（k是常數(shù))只有一個(gè)零點(diǎn),故方函數(shù)y=f（a）與直線y=k有唯一交點(diǎn)，由于函數(shù)f（a）的增區(qū)間為［3，+∞)，減區(qū)間為（0，3），且f（0）趨于6，結(jié)合函數(shù)b=f（a）的圖象可得k≥6,或k=3,故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題,每小題4分,共24分,把答案填在題中橫線上.9．（4分）已知，則cos2α=．考點(diǎn)：二倍角的余弦．專題：三角函數(shù)的求值．分析：把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為關(guān)于sinα的式子，將sinα的值代入即可求出值．解答:解：因?yàn)閟inα=,所以cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×（）2=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．10．（4分）已知等比數(shù)列1，a,b,﹣8，…，此數(shù)列的第7項(xiàng)是64．考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析:直接由給出的等比數(shù)列的首項(xiàng)和第四項(xiàng)求出公比，然后再帶入通項(xiàng)公式即可求解．解答:解：在等比數(shù)列1，a，b，﹣8，…,中,a1=1，a4=﹣8,設(shè)其公比為q，所以﹣8=1×q3,則q=﹣2．所以=64．故答案為64．點(diǎn)評(píng)：本題考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，若已知等比數(shù)列的兩項(xiàng)，則等比數(shù)列的所有量都可以求出,只要簡(jiǎn)單數(shù)字運(yùn)算時(shí)不出錯(cuò)，問(wèn)題可解，是基礎(chǔ)題．11．（4分）公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=a4，則=．考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,代入條件化簡(jiǎn)得a1和d的關(guān)系，再代入所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．解答:解：設(shè)等差數(shù)列{an｝的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S4=a4，得4a1+6d=a1+3d，得a1=﹣d，∴==，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（4分)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b，c，如果a=2，c=，A=30°，那么△ABC的面積等于2或．考點(diǎn)：正弦定理．專題：解三角形．分析：由A的度數(shù)求值sinA的值，再由a、c的值，利用正弦定理求出sinC的值,再利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，進(jìn)而求出B的度數(shù)，確定出sinB的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解答：解：∵a=2,c=2，A=30°，∴由正弦定理=得：sinC==，∴C=60°或120°，∴B=90°或30°，則S△ABC=acsinB=2或．故答案為：2或點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦定理，三角形的面積公式,以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．13．（4分）數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和是Sn．若2Sn=nan+2（n≥2，n∈N＊）,a2=2，則a1=1；an=．考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：由2Sn=nan+2(n≥2，n∈N＊），a2=2，令n=2，可求出a1的值．由2Sn=nan+2,知2Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1+2，由此可求出，最后利用疊乘法即可求出通項(xiàng)公式．解答:解：當(dāng)n=2時(shí)，∵2(a1+a2）=2a2+2,∴a1=1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn﹣1=（n﹣1)an﹣1+2，∴2an=nan﹣（n﹣1）an﹣1，即(n﹣2)an=（n﹣1）an﹣1，∴當(dāng)n≥3時(shí)，有,∴,，，…,，以上n﹣2個(gè)式相乘得，，∴an=2n﹣2,當(dāng)n=2時(shí)a2=2符合上式,an=．故答案為：1，．點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法和應(yīng)用，解題要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．14．(4分）將如圖所示的三角形數(shù)陣中所有的數(shù)按從上至下、從左至右的順序排列成數(shù)列a11,a21，a22，a31，a32，…．若所得數(shù)列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，且a11=2，a33=12，則①數(shù)陣中的數(shù)aii可用i表示為i2+i；②若amn+a（m+1)（n+1）=a（m+2）（n+2），則m+n的值為5．考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：①不妨設(shè)等差數(shù)列a11,a21,a22，a31，a32，…為{bn｝,則由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2，故bn=2n．而aii可為等差數(shù)列{bn｝中的第1+2+3+…+i=個(gè),由此可得aii的值．②先求出amn=m2﹣m+2n．再由已知的等式化簡(jiǎn)可得m2﹣3m﹣4+2n=0，由于n＞0，可得m2﹣3m﹣4＜0，解得m的范圍，結(jié)合m≥n＞0，可得m和n的值，從而求得m+n的值．解答：解:①不妨設(shè)等差數(shù)列a11，a21,a22,a31,a32，…為{bn},則由a11=2，a33=12可得b1=2，公差d=2．故bn=2n．而aii可為等差數(shù)列｛bn}中的第1+2+3+…+i=個(gè)，∴aii=2×=i（i+1）=i2+i，故答案為i2+i．②由題意可得，amn=b1+2+3+…+（m﹣1）+n=2［1+2+3+…+（m﹣1)+n]=m2﹣m+2n．∴a(m+1)（n+1）=（m+1）2﹣(m+1)+2（n+1),a（m+2）（n+2）=(m+2)2﹣（m+2）+2（n+2）．再由amn+a（m+1)（n+1)=a(m+2)（n+2),可得m2﹣m+2n+(m+1）2﹣(m+1）+2（n+1）=（m+2）2﹣（m+2）+2（n+2），化簡(jiǎn)可得m2﹣3m﹣4+2n=0，由于n＞0，∴m2﹣3m﹣4＜0，解得﹣1＜m＜4,∴m=1，2,3，再由m≥n＞0，可得，∴m+n=5，故答案為5．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．三、解答題：本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。15．（11分）已知函數(shù)f(x）=．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[]上的最大值和最小值．考點(diǎn)：二倍角的正弦；二倍角的余弦；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．專題:三角函數(shù)的求值．分析:本題要先利用三角恒等變換公式,化簡(jiǎn)整理后，將f（x）=變?yōu)閒（x）=（I）由正弦函數(shù)的單調(diào)性,令相位屬于正弦函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間，解出x的取值范圍，即得到函數(shù)的遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（II）先由x的范圍得出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案．解答：解：（Ⅰ)=…（2分）=…（3分）由（k∈Z）得（k∈Z）．由（k∈Z）得（k∈Z）．…（6分)所以f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．(Ⅱ)因?yàn)椋裕?8分)所以當(dāng)，即時(shí)，f（x）取得最大值;當(dāng),即時(shí)，f(x）取得最小值﹣1．…（11分）點(diǎn)評(píng)：本題是三角函數(shù)中的常規(guī)題型，近幾年高考中這種類型也比較常見(jiàn),其步驟是先化簡(jiǎn)整理,再由公式進(jìn)行求解，求單調(diào)區(qū)間，求最值等，此類題掌握好解題規(guī)律即可順利解出,中檔題．16．（11分）已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=﹣40，a5=﹣3．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ)設(shè)首項(xiàng)為a1和公差為d,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，代入條件列出方程組，再求出a1和d代入通項(xiàng)公式;另解：前n項(xiàng)和公式選的是，利用性質(zhì)“a1+a10=a5+a6”求出a6，再求出公差和通項(xiàng)公式；（Ⅱ）把（Ⅰ）的結(jié)果代入bn，根據(jù)bn的特點(diǎn)選用分組求和法,分別利用等差和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)．解答:解：(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an｝的首項(xiàng)為a1、公差為d．∵a5=﹣3，S10=﹣40，∴解得：a1=5，d=﹣2．∴an=7﹣2n．另解:∵a5=﹣3，S10=﹣40，∴．解得a6=﹣5．∴an=a5+（n﹣5）×（﹣2)=7﹣2n．(Ⅱ）由（Ⅰ）知，等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)是5，公差是﹣2．則=7﹣2n+27﹣2n,∴==．點(diǎn)評(píng):本題考查了等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，通項(xiàng)公式的應(yīng)用,以及一般數(shù)列求和方法：分組求和，考查了計(jì)算能力．17．（11分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．(Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠CAD=，CD=1,求c的值．考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理．專題:解三角形．分析：（Ⅰ）方法一:利用正弦定理把邊化角，利用兩角和差的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由內(nèi)角的范圍取舍，求出角B的值，方法二:利用余弦定理把角化邊，化簡(jiǎn)后代入余弦定理的推論，求出B的余弦值，再求出B的值；（Ⅱ）由正弦定理在△ACD，△ABD中分別列出兩個(gè)方程，再由（1）和條件，用內(nèi)角和定理求出∠ABC，再把條件代入方程化簡(jiǎn)，由內(nèi)角的范圍求出角C的值,分情況判斷三角形的形狀求出對(duì)應(yīng)的c．解答：解：（Ⅰ)方法一:∵，∴．∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴．∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC．∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．∵A∈（0,π）,∴sinA≠0．∴．∵B∈（0，π),∴．方法二:∵(2a﹣c）cosB=bcosC，∴，化簡(jiǎn)得a2+c2﹣b2=ca,∴,∵B∈(0,π），∴，（Ⅱ)在△ACD,△ABD中，．由（Ⅰ)知：．∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，,∴∠ABC=π﹣=，∴，化簡(jiǎn)得，∵,∴2C∈(0，π)，∴2C=或，即或，當(dāng)時(shí)，△ABC為等邊三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；當(dāng)時(shí)，，所以△ABD為等邊三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．綜上得，c=2或c=1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正（余）弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用：邊角互化或求值，以及內(nèi)角和定理，倍角的正弦公式，注意求出三角函數(shù)值再求角時(shí)，一定要判斷角的范圍．18．（11分）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知．（Ⅰ）若a1=1，求a2，a3，a4;（Ⅱ)若a1=a（a為常數(shù))，求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式;數(shù)列的函數(shù)特性．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）直接利用數(shù)列的遞推公式,分別令n=1,2,3依次計(jì)算可求得a2,a3，a4;（Ⅱ)在中，分別以2n，2n﹣1代n（第Ⅰ問(wèn)已做了由特殊到一般的鋪墊），得出a2n+1+a2n=4n﹣1,a2n﹣a2n﹣1=4n﹣3．繼而得出a3=2﹣a1，a2n+3+a2n+1=2，所以a2n+3=a2n﹣1（n∈N*)．當(dāng)n=2k(k∈N＊)時(shí)，a4k+3=a4k﹣1=…=a3=2﹣a1；當(dāng)n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，a4k+1=a4k﹣3=…=a1．由已知可得a4k﹣1+a4k﹣2=8k﹣5，a