數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)報(bào)告(二次函數(shù))

班級(jí)：高二（6）班課題組長(zhǎng)：余杭銀課題成員：王鈺瑩、王金玉、王鈺樺、葉堯棟、徐李忺、朱佳威、顧棋鋒指導(dǎo)老師：王少波研究性學(xué)習(xí)課題開題報(bào)告2014年5月30日班級(jí)高二（6）班研究課程數(shù)學(xué)課題名稱二次函數(shù)圖象特點(diǎn)的應(yīng)用小組成員王鈺瑩、王金玉、王鈺樺、葉堯棟、徐李忺、朱佳威、顧棋鋒組長(zhǎng)余杭銀指導(dǎo)教師王少波選擇本課題的主要原因隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)如火如荼的實(shí)施，其核心理念“為了我們每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展”越來越受到人們的關(guān)注與重視。課程改革已成為轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式的一場(chǎng)革命，學(xué)習(xí)已成為人的主體性、能動(dòng)性、獨(dú)立性、創(chuàng)造性不斷生成、張揚(yáng)、發(fā)展和提升的過程。在這一背景下，我們成立了“二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)和應(yīng)用”的課題研究小組。開展本課題研究的目的與意義(1)順應(yīng)當(dāng)前教育發(fā)展的需要。在如今交流工具網(wǎng)絡(luò)化和全球經(jīng)濟(jì)一體化的推動(dòng)下，知識(shí)更新的速度越來越快，教育面臨著前所未有的挑戰(zhàn)。按照素質(zhì)教育要求，教師的職責(zé)不僅僅是傳道授業(yè)解惑了，單單讓我們學(xué)生從書本上獲取知識(shí)是很難面向未來的。人要在一生中不斷學(xué)習(xí)，才能適應(yīng)社會(huì)的快速發(fā)展，所以學(xué)校教育不但要教給我們學(xué)生各方面的知識(shí)，更重要的是，激發(fā)我們學(xué)生自主探究的積極性，培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)的能力，為今后持續(xù)不斷的發(fā)展打下堅(jiān)定的基礎(chǔ)。我們學(xué)生一旦學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)的方法與能力，知識(shí)的獲取將是無限的。(2）促進(jìn)我們學(xué)生發(fā)展的需要。教育的核心應(yīng)著眼于我們學(xué)生的全面發(fā)展，應(yīng)立足于我們學(xué)生本位教育。教學(xué)改革的真實(shí)意義：“即是使每個(gè)人發(fā)展自己的才能和創(chuàng)造潛力。”因此，堅(jiān)持以我們學(xué)生為本的改革方向，堅(jiān)持教育培養(yǎng)的應(yīng)該是有主體性的人，只有這樣的人才能主動(dòng)、積極地參與社會(huì)活動(dòng)，并為社會(huì)進(jìn)步作出貢獻(xiàn)。教育過程中通過啟發(fā)、引導(dǎo)受教育者內(nèi)存的教育需求，創(chuàng)設(shè)和諧、寬松、民主的教育環(huán)境，有目的、有計(jì)劃地組織、規(guī)范各種教育活動(dòng)，從而把我們培養(yǎng)成為自主地、能動(dòng)地、創(chuàng)造性地進(jìn)行認(rèn)識(shí)和實(shí)踐活動(dòng)的社會(huì)主體。這就必須讓我們從小在“探究”的教育活動(dòng)中鍛煉自己，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，獲得終身發(fā)展的知識(shí)和能力。(3)具體到專題上，二次函數(shù)在數(shù)學(xué)上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中還作為重點(diǎn)學(xué)習(xí)，而且在生活二次函數(shù)應(yīng)用廣泛，如雜技表演，在物理上也相當(dāng)重要，如速度等，組織我們學(xué)生個(gè)人研究，小組討論，探討，進(jìn)而形成結(jié)論有利于我們學(xué)生形成正確的知識(shí)體系，體會(huì)研究的快樂，激發(fā)我們學(xué)生的的興趣。稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。

常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0，c）

拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=

b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=

b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=

b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=

-b±√b^2－4ac

的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=

-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

定義域：R

值域：（對(duì)應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請(qǐng)讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）

奇偶性：偶函數(shù)

周期性：無

二次函數(shù)圖像的應(yīng)用

二次函數(shù)可謂應(yīng)用廣泛。在具有代表性的信息時(shí)代技術(shù)領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)鼠標(biāo)的每一舉動(dòng)，都會(huì)變?yōu)橐幌盗械亩魏瘮?shù)命令，于是熒幕上的箭頭，才得擺動(dòng)。信息的傳遞，傳遞和存儲(chǔ)也少不了二次函數(shù)。在日常生活中。許多常見事物中都有二次函數(shù)的身影。如橋梁建設(shè)，籃球出手時(shí)的拋物線等。

典型題目如：（一）、圖像與性質(zhì)問題：已知函數(shù)f（x）=x2-6x+8并且函數(shù)的最小值是f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？解得a的取值范圍是（1,3].

利用圖象可以直觀的解決和圖象有關(guān)的問題。

（二）、最值問題：已知函數(shù)分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的表達(dá)式。

解的函數(shù)的表達(dá)式為h（t）=t2+5t-1……

運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法。

（三）、實(shí)根問題：設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的兩根x1和x2，滿足0＜x1＜x2＜1，求a的取值范圍。解得0＜a＜3-2√（2）.

用數(shù)型結(jié)合的思想來做的。

（四）、綜合應(yīng)用問題：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=-bx，其中a，b，c滿足a＞b＞c，a+b+c=o（a，b，c∈R且a≠0），求線段AB在x軸上的影射A1B1之長(zhǎng)的取值范圍。解得A1B1的取值范圍是（√3,2√3）.

二次函數(shù)和一次函數(shù)的共同問題。

生活實(shí)際運(yùn)用如：（一）、某果園有100棵橙子樹，每一棵平均結(jié)600個(gè)橙子。現(xiàn)在準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高質(zhì)量，但若多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所受的陽光就會(huì)減少。據(jù)經(jīng)驗(yàn)分析，每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子。假設(shè)果園增種x棵橙子樹，果園橙子總產(chǎn)量為y個(gè)。

（1）請(qǐng)寫出y與x之間的關(guān)系式；

（2）增種多少棵橙子樹，可使果園的橘子總產(chǎn)量最高？最大值為多少？

解：（1）由題意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。

（2）由y=-5x2+100x+6000得

當(dāng)x=-b/2a=10時(shí)，

Ymax=（4ac-b2）/2a=60500

所以增種10棵橙子樹時(shí)，橙子的總產(chǎn)量最高，為50600個(gè)。

（二）、利用二次函數(shù)解決圖形面積極值的問題。

已知矩形的周長(zhǎng)為6，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，它的面積為y，寫出它們的關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，矩形的面積最大，并求出最大值。

解：關(guān)系式為y=-x2+3x（0＜x＜3）

Y=-（x-3/2）2+9/4，又因?yàn)?＜x＜3

所以當(dāng)x=3/2時(shí)，矩形的面積最大，為9/4。

（三、拱橋問題。

有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)，水面AB寬為20米，如果水位上升3米時(shí)，水面CD寬為10米,

求拋物線的的關(guān)系式；現(xiàn)有一輛卡車需通過，汽車以每小時(shí)40千米的速度從距此橋280千米的地方開來，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25米的速度上漲，卡車按原來的速度行駛，是否能安全通過此橋，請(qǐng)說明理由；如不能，卡車的速度應(yīng)達(dá)到多少？

解：由題意可知，拋物線的關(guān)系式為y=-（1/25）x2

；

計(jì)算可知卡車不能安全通過，若要安全通過i，速度應(yīng)超過60

千米/時(shí)。

……

二次函數(shù)在生活上具有非常廣泛的應(yīng)用，地位很高，所以我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)該部分知識(shí)。3.

二次函數(shù)圖象在古代建筑中的應(yīng)用

趙州橋是一座空腹式的圓弧形石拱橋，是世界上現(xiàn)存最早、保存最好的巨大石拱橋。趙州橋是入選世界紀(jì)錄協(xié)會(huì)世界最早的敞肩石拱橋，創(chuàng)造了世界之最。河北民間將趙州橋與滄州鐵獅子、定州開元寺塔、正定隆興寺菩薩像并稱為“華北四寶”。橋長(zhǎng)50.82米，跨徑37.02米，券高7.23米，兩端寬9.6米,橋的設(shè)計(jì)完全合乎科學(xué)原理，施工技術(shù)更是巧妙絕倫。唐朝的張嘉貞說它“制造奇特，人不知其所以為”。根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算得出，趙州橋滿足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，這就是二次函數(shù)圖像的實(shí)際應(yīng)用。研究性學(xué)習(xí)課題結(jié)題報(bào)告（成果報(bào)告）課題名稱二次函數(shù)圖象特點(diǎn)的應(yīng)用完成時(shí)間2014年5月30日課題評(píng)價(jià)小組自評(píng)通過以上的研究和探討，我們解決了有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用問題，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖象在解決各