材料力學答案解析單輝祖版全部答案解析

1/1材料力學答案解析單輝祖版全部答案解析**

其次章軸向拉壓應力與材料的力學性能

2-1試畫圖示各桿的軸力圖。

題2-1圖

解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。

圖2-1

2-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸勻稱分布，集度為q。

題2-2圖

(a)解：由圖2-2a(1)可知，

qx

qa

x

F-

=2

)(

N

軸力圖如圖2-2a(2)所示，

qa

F2

max

,

N

=

圖2-2a(b)解：由圖2-2b(2)可知，

qa

F=

R

**

qaFxF==R1N)(

22R2N2)(qxqaaxqFxF-=--=

軸力圖如圖2-2b(2)所示，

qaF=maxN,

圖2-2b

2-3圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm2

，載荷F=50kN。試

求圖示斜截面m-m上的正應力與切應力，以及桿內(nèi)的最大正應力與最大切應力。

題2-3圖

解：該拉桿橫截面上的正應力為

100MPaPa1000.1m

10500N

105082

63=?=??==－AFσ斜截面m-m的方位角，50-=α故有

MPa3.41)50(cosMPa100cos22=-?==ασσα

MPa2.49)100sin(MPa502sin2

-=-?==ασ

τα

桿內(nèi)的最大正應力與最大切應力分別為

MPa100max==σσ

MPa502

max==

σ

τ2-5某材料的應力-應變曲線如圖所示，圖中還同時畫出了低應變區(qū)的詳

圖。試確定材料的彈性模量E、比例極限pσ、屈服極限sσ、強度極限bσ與伸長率δ，并推斷該材料屬于何種類型（塑性或脆性材料）。

題2-5

**

解：由題圖可以近似確定所求各量。220GPaPa102200.001

Pa10

220ΔΔ96

=?=?≈=

εσEMPa220p≈σ,MPa240s≈σ

MPa440b≈σ,%7.29≈δ

該材料屬于塑性材料。

2-7一圓截面桿，材料的應力-應變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d

=10mm，桿長l=200mm，桿端承受軸向拉力F=20kN作用，試計算拉力作用時與卸去后桿的軸向變形。

題2-6圖

解：

255MPaPa1055.2m0.010πN1020482

23=?=???==AFσ

查上述εσ-曲線，知此時的軸向應變?yōu)?/p>

%39.00039.0==ε

軸向變形為

mm780m108700390m)2000(Δ4lεl=?=?==-

拉力卸去后，有

00364.0e=ε，00026.0p=ε

故殘留軸向變形為

0.052mmm105.2000260(0.200m)Δ5p=?=?==-.lεl

2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=32kN，板寬b

=100mm，板厚=δ15mm，孔徑d=20mm。試求板件橫截面上的最大拉應力（考慮應力集中）。

題2-9圖

解：依據(jù)

2.0m)100.0m/(020.0/==bd

查應力集中因數(shù)曲線,得

42.2≈K

依據(jù)

**

δ

dbF

σ)(n-=

，nmaxσσK=得

64.5MPaPa1045.60.015m

0.020)(0.100N

103242.2)(72

3nmax=????=-==＝－δdbKFKσσ2-10圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=36kN，板寬

b1=90mm，b2=60mm，板厚δ=10mm，孔徑d=10mm，圓角半徑R=12mm。

試求板件橫截面上的最大拉應力（考慮應力集中）。

題2-10圖

解：1.在圓孔處依據(jù)

111100.090m

m010.01.bd==查圓孔應力集中因數(shù)曲線，得6.21≈K

故有

117MPaPa1017.1m

010.0)010.0090.0(N

10366.2)(82

311n1max1=?=???===－－δdbFKσKσ2．在圓角處

依據(jù)

1.50.060m

m

090.021===bbdD2.00.060m

m012.02===bRdR查圓角應力集中因數(shù)曲線，得74.12≈K

故有

104MPaPa1004.10.010m0.060N103674.182

322n2max2

=?=???===δbFKσKσ3.結(jié)論

MPa117max=σ（在圓孔邊緣處）

2-14圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設各桿的橫截面面積均為A，許用

應力均為，試確定載荷F的許用值[F]。

**

題2-14圖

解：先后以節(jié)點C與B為討論對象，求得各桿的軸力分別為

FF2N1=

FFF==N3N2

依據(jù)強度條件，要求][2σ≤A

F

由此得

2

][A

Fσ=

2-15圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應力為[σ]。若在節(jié)點B

和C的位置保持不變的條件下，試確定使結(jié)構重量最輕的α值（即確定節(jié)點A的最佳位置）。

題2-15圖

解：1.求各桿軸力

設桿AB和BC的軸力分別為N1F和N2F，由節(jié)點B的平衡條件求得

αFFα

FFctansinN2N1==

，2.求重量最輕的值

由強度條件得

ασF

AσFActan]

[]sin[21==

，α

結(jié)構的總體積為

)ctansin22

(][ctan][cos]sin[2211αα

σFlασFlαlασFlAlAV+=+?=

+=

由

0dd=α

V

得

**

01cos32=-α由此得使結(jié)構體積最小或重量最輕的α值為

4454opt'=α

2-16圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應力為[σ]。若節(jié)點A

和C間的指定距離為l，為使結(jié)構重量最輕，試確定θ的最佳值。

題2-16圖

解：1.求各桿軸力

由于結(jié)構及受載左右對稱，故有

θ

F

FFsin2N2N1=

=2.求θ的最佳值由強度條件可得

θ

σF

AA]sin[221=

=

結(jié)構總體積為

θ

σFl

θlθσFlAV]sin2[cos2]sin[211=

?=

=由0dd=θ

V

得

0cos2=θ

由此得θ的最佳值為

45opt=θ

2-17

圖示桿件，承受軸向載荷F作用。已知許用應力＝120MPa，許

用切應力＝90MPa，許用擠壓應力[

bs]＝240MPa，試從強度方面考慮，建立

桿徑d、墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。

題2-17圖

解：依據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強度，得載荷F的許用值分別為

**

][4π][2

tσdF=

(a)][4

)(π][bs22bσdDF-=

(b)

][π][sτdhF=

(c)

抱負的狀況下，

sbt][FFF==在上述條件下，由式（a）與（c）以及式（a）與（b），分別得dh]

[4]

[τσ=

dDbs

]

[1σσ+=

于是得

1:]

[4]

[:][1::bsτσσσ+

=dhD由此得

1:333.0:225.1::=dhD

2-18圖示搖臂，承受載荷F1

與F2

作用。已知載荷F1

=50kN，F(xiàn)2

=35.4kN，

許用切應力[τ]=100MPa，許用擠壓應力][bsσ=240MPa。試確定軸銷B的直徑d。

題2-18圖

解：1.求軸銷處的支反力

由平衡方程0=∑xF與0=∑yF，分別得kN25cos4521=-=FFFBx

kN25sin452==FFBy

由此得軸銷處的總支反力為

kN435kN252522.FB=+=

2.確定軸銷的直徑

由軸銷的剪切強度條件（這里是雙面剪）

][π22

sτdFAFτB

≤==

得

m0150m10100104.352][26

3

.τFdB=????=≥ππ

由軸銷的擠壓強度條件

**

][bsbbsσdFdFσB

≤==

δ

δ得

m014750m102400100104.35][6

3

bs..σδFdB=???=≥

結(jié)論：取軸銷直徑15mmm015.0=≥d。

2-19圖示木榫接頭，承受軸向載荷F=50kN作用，試求接頭的剪切與

擠壓應力。

題2-19圖

解：剪應力與擠壓應力分別為

MPa5)m100.0)(m100.0(N

10503=?=τ

MPa5.12)

m100.0)(m040.0(N

10503bs=?=σ

2-20圖示鉚接接頭，鉚釘與板件的材料相同，許用應力[

]=160MPa，

許用切應力=120MPa，許用擠壓應力[bs]=340MPa，載荷F=230kN。

試校核接頭的強度。

題2-20圖

解：最大拉應力為

MPa3.153)

m)(010.0)(020.0170.0(N

1023023max=-?=σ

最大擠壓與剪切應力則分別為

MPa2300.010m)5(0.020m)(N

102303bs=?=σ

MPa4.146π(0.020m)

5N1023042

3=???=τ2-21圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F=

45kN作用。已知木桿的截面寬度b=250mm，沿木紋方向的許用拉應力[σ]=6MPa，許用擠壓應力][bsσ=10MPa，許用切應力[τ]=1MPa。試確定鋼板的尺寸δ與l以及

木桿的高度h。

**

題2-21圖

解：由拉伸強度條件][)

2(σδhbF

σ≤-=

得

0.030mm10

625001045][26

3

=???=≥-.σbFδh（a）

由擠壓強度條件][2bsbsσbδ

F

σ≤=

得

mm9m0090m1010250.021045][26

3

bs==????=≥.σbFδ

（b）

由剪切強度條件

][2τbl

Fτ≤=得

mm90m0900m10

1250.021045][26

3

==????=≥.bFlτ取m009.0=δ代入式（a），得

48mmm0480m)009.02030.0(==?+≥.h

結(jié)論：取

mm9≥δ，mm90≥l，mm48≥h。

2-22圖示接頭，承受軸向載荷F作用。已知鉚釘直徑d=20mm，許用

應力[σ]=160MPa，許用切應力[τ]=120MPa，許用擠壓應力][bsσ=340MPa。板

件與鉚釘?shù)牟牧舷嗤?。試計算接頭的許用載荷。

題2-22圖

解：1.考慮板件的拉伸強度由圖2-22所示之軸力圖可知，

4/3N2N1FFFF==，

**

][)(1N11σδ

dbFAFσ≤-==

432kNN104.32N10160015.0)02023000(][)(56=?=???=-≤.-.σδdbF

][)2(432N22σδ

dbF

AFσ≤-==

512kNN105.12N10160015.0)040.0200.0(3

4

][)2(3456=?=???-=-≤σδdbF

圖2-22

2.考慮鉚釘?shù)募羟袕姸?

sF

F=][π842sτd

FAFτ≤==

302kNN1002.3N101202300π2][π25622=?=????=≤.τdF

3．考慮鉚釘?shù)臄D壓強度

]

[44

bsbbsbσδδσ≤===

dFdFFF

kN408N1008.4N103400.0200.0154][456bs=?=????=≤σdFδ

結(jié)論：比較以上四個F值，得

kN302][=F

2-23圖a所示鋼帶AB，用三個直徑與材料均相同的鉚釘與接頭相連接，

鋼帶承受軸向載荷F作用。已知載荷F=6kN，帶寬b=40mm，帶厚=2mm，鉚釘直徑d=8mm，孔的邊距a=20mm，鋼帶材料的許用切應力=100MPa，許用擠壓應力[

bs]=300MPa，許用拉應力

=160MPa。試校核鋼帶的強度。

題2-23圖

解：1．鋼帶受力分析

分析表明，當各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時，通常即認為各鉚釘剪切面的剪力相同。

**

鉚釘孔所受擠壓力Fb等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力Fb相同，鋼帶的受力如圖b所示，擠壓力則為

N100.23

N106333b?=?==FF

孔表面的最大擠壓應力為

][MPa125Pa1025.1)

m008.0)(m002.0(N

100.2bs83bbs

σδσ<=?==?==dF在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b），切應力為

][MPa25Pa105.2)

m020.0)(m002.0(2N

100.2273bτδτ<=?==?==aF

鋼帶的軸力圖如圖c所示。由圖b與c可以看出，截面1-1減弱最嚴峻，而截

面2-2的軸力最大，因此，應對此二截面進行拉伸強度校核。

截面1-1與2-2的正應力分別為

σδσ<=?-?=-==MPa3.83m)002.0(m)008.02.040m03(N)106(2)23(231N11dbFAF

σδσ<=-?=-==MPa8.93m)

002.0(m)008.0.040m0(N106)(32N22dbFAF

**

第三章軸向拉壓變形

3-2一外徑D=60mm、內(nèi)徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長l=400mm，

兩端承受軸向拉力F=200kN作用。若彈性模量E=80GPa，泊松比μ=0.30。試計算該桿外徑的轉(zhuǎn)變量

D及體積轉(zhuǎn)變量V。

解：1.計算D

由于EA

FDD

εEAFεμμε-

=-=='=

Δ，故有

0.0179mm

m1079.1m020.00600(π1080060

.01020030.04)(π4Δ52

29322-=?-=-???????-=--=-='=-）.dDEFDEAFD

DεDμμ

2.計算

V

變形后該桿的體積為)211)(1(])[(4

π

)(222εεVεεAldεdDεDllAlV'++≈'++='+-'++=''='ε

故有

3

373

9

3

mm400m1000.4)

3.021(m1080400.010200)212(Δ=?=?-???=-='+=-'=-μEFlεεVVVV3-4圖示螺栓，擰緊時產(chǎn)生l?=0.10mm的軸向變形。已知：d1

=8.0mm，

d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，

[σ]=500MPa。試求預緊力F，并校核螺栓的強度。

題3-4圖

解：1.求預緊力F

各段軸力數(shù)值上均等于F，因此，

)(π4)(Δ23

3222

211332211dldldlEFAlAlAlEFl++=++=

由此得

kN6518N108651N)007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ42

223

923

3222211..dldl

dllEF=?=++?????=++=-

2.校核螺栓的強度

**

514MPaPa1014.5m

00680πN

1065.184π482

2322minmax=?=???===.dFAFσ此值雖然超過][σ，但超過的百分數(shù)僅為2.6％，在5％以內(nèi)，故仍符合強度要求。

3-5圖示桁架，在節(jié)點A處承受載荷F作用。從試驗中測得桿1與桿2的

縱向正應變分別為1ε=4.0×10-4與

2ε=2.0×10-4。已知桿1與桿2的橫截面面積A1=A2=200mm2，彈性模量E1=E2=200GPa。試確定載荷F及其方位角θ之值。

題3-5圖

解：1.求各桿軸力16kNN1061N10200100.4102004649111N1=?=?????==--.AεEF

8kNN108N10200100.2102003649222N2=?=?????==--AεEF

2.確定F及θ之值

由節(jié)點A的平衡方程0=∑xF和0=∑yF得

0sin30sinsin30N1N2=-+FθFF

0coscos30cos30N2N1=-+θFFF

化簡后，成為

θFFFsin2N2N1=-

及

θFFFcos2)(3N2N1=+

聯(lián)立求解方程(a)與(b)，得

1925.010

)816(310)816(3tan3

3

N2N1N2N1=?+?-=+-=FFFFθ由此得

9.1089.10≈=θ

kN2.21N102.12N89

10sin210)816(2sin4

3N2N1=?=?-=-=

.θFFF3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。已知板的厚度為

，長度為l，

左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E。試計算板的軸向變形。

**題3-6圖

解：對于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為

x

x

b

E

F

x

x

EA

F

ll

l

d

)

(

d

)

(

Δ

?

?=

=

δ

(a)

由圖可知，若自左向右取坐標x，則該截面的寬度為

x

l

b

b

b

x

b1

2

1

)

(

-

+

=

代入式(a)，于是得

1

2

1

2

1

2

1

ln

)

(

d

1

Δ

b

b

b

b

Eδ

Fl

x

x

l

b

b

b

δ

E

F

ll

-

=

?

?

?

?

?-

+

=?

3-7圖示桿件，長為l，橫截面面積為A，材料密度為ρ，彈性模量為E，

試求自重下桿端截面B的位移。

題3-7圖

解：自截面B向上取坐標y，y處的軸力為

gAy

Fρ=

N

該處微段dy的軸向變形為

y

E

gy

y

EA

gAy

Δ

y

d

d

d

ρ

ρ

=

=

于是得截面B的位移為

E

gl

y

y

E

g

Δl

Cy2

d

2

ρ

ρ

=

=?)(↓

3-8圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩

擦力所支持。設沿地樁單位長度的摩擦力為f，且f=ky2，式中，k為常數(shù)。已知地

樁的橫截面面積為A，彈性模量為E，埋入土中的長度為l。試求地樁的縮短量δ。

題3-8圖

解：1.軸力分析

**

摩擦力的合力為

3

dd3

02

klykyyfFl

l

y=

==??

依據(jù)地樁的軸向平衡，

Fkl=3

3

由此得

33l

Fk=

（a）截面y處的軸力為

3

dd3

02

NkyykyyfFy

y

=

==*

**

??

2.地樁縮短量計算

截面y處微段dy的縮短量為EA

y

FδddN=

積分得

EA

klyyEAkEAyFδll12d3d4

030N=

==??

將式(a)代入上式，于是得

EA

Fl

δ4=

3-9圖示剛性橫梁AB，由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設鋼絲繩的軸向

剛度（即產(chǎn)生單位軸向變形所需之力）為k，試求當載荷F作用時端點B的鉛垂位移。

題3-9圖

解：載荷F作用后，剛性梁AB傾斜如圖(見圖3-9)。設鋼絲繩中的軸力為NF，

其總伸長為lΔ。

圖3-9

以剛性梁為討論對象，由平衡方程∑=0AM得

)2(NNbaFbaFaF+=++

由此得

FF=N

由圖3-9可以看出，

)2(bay+=θ?

)2(Δ21babaaΔΔlyy+=++=+=θθθ

**

可見，

lΔyΔ=

(b)

依據(jù)k的定義，有ykΔlkF==ΔN于是得

k

F

kFΔy==

N

3-10圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計算節(jié)點A的水

平與鉛垂位移。

題3-10圖

（a）解：

利用截面法，求得各桿的軸力分別為

（拉力）N2N1FFF==

（壓力）2N4FF=

0N3=F

于是得各桿的變形分別為

)(21伸長EA

Fl

ll=?=?

)(2224伸長＝EA

Fl

EAlFl?=

?

03=?l

如圖3－10(1)所示，依據(jù)變形l1與l4確定節(jié)點B的新位置B’,然后，過該

點作長為l+

l2的垂線，并過其下端點作水平直線，與過A點的鉛垂線相交于A’,

此即結(jié)構變形后節(jié)點A的新位置。

于是可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為

0=AxΔ

EA

Fl

EAFlEAFlEAFllllΔAy2

12222241+=++=

?+?+?=

**

圖3-10

（b）解：明顯，桿1與桿2的軸力分別為

（拉力）

N1FF=0N2=F

于是由圖3－10(2)可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為

EAFllΔAx=

?=1EAFllΔAy=?=13-11圖示桁架ABC，在節(jié)點B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性

模量均為E，橫截面面積分別為A1=320mm2與A2=2580mm2。試問在節(jié)點B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點B的鉛垂位移最小，θ應取何值（即確定節(jié)點A

的最佳位置）。

題3-11圖

解：1.求各桿軸力由圖3-11a得

θFFθ

F

FctansinN2N1==

，

圖3-11

2.求變形和位移由圖3-11b得

**

2

2

22N221211N11ctanΔsin22ΔEAθ

FlEAlFlθEAFlEAlFl===＝，及

)ctansinsin22(tanΔsinΔ2

21221AθθθAEFlθlθlΔBy+=+=

3.求θ的最佳值由0d/d=θΔBy，得

0cscctan2sin2sin)sin2cossincos22(222221=?-+-Aθ

θθ

θθθθθA

由此得

0)cos31(cos22231=--θAθA

將21AA與的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得

003125.4cos09375.12cos23=-+θθ

解此三次方程，舍去增根，得

5649670cos.θ=

由此得θ的最佳值為

6.55opt=θ

3-12圖示桁架，承受載荷F作用。設各桿的長度為l，橫截面面積均為A，

材料的應力應變關系為n=B，其中n與B為由試驗測定的已知常數(shù)。試求節(jié)點

C的鉛垂位移。

題3-12圖

解：兩桿的軸力均為

α

cos2NF

F=

軸向變形則均為

BlAFlB

lln

n

?????===?ασεcos2于是得節(jié)點C的鉛垂位移為

α

α1cos2cos+=?=nnnnCyBAl

FlΔ

3-13圖示結(jié)構，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料

均相同。在梁的中點C承受集中載荷F作用。已知載荷F=20kN，各桿的橫截面面積均為A=100mm2，彈性模量E=200GPa，梁長l=1000mm。試計算該點的水

**平與鉛垂位移。

題3-13圖

解：1.求各桿軸力由0=∑xF，得0N2=F由∑=0yF，得kN102N3N1===F

FF

2．求各桿變形0Δ2=l3

4

-693N11Δ0.50mmm105.0m1010010200000

.11010ΔlEAl

Fl==?=?????==-3．求中點C的位移由圖3-13易知，圖3-13)(mm50.0Δ)(mm50.0Δ11↓==→==lΔlΔyx，3-14圖a所示桁架，承受載荷F作用。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試求節(jié)點B與C間的相對位移B/C。題3-14圖解：1.內(nèi)力與變形分析