各向異性纖維復(fù)合材料平面斷裂問題的解析解

各向異性纖維復(fù)合材料平面斷裂問題的解析解

1邊值問題1.1正交異性纖維復(fù)合材料板彎曲問題基本方程關(guān)于各向異性纖維材料的平坦問題和反平坦問題，基本公式如下。a22?4U?x4-2a26?4U?x3?y+(2a12+a66)?4U?x2?y2-2a16?4U?x2?y2+a11?4U?y4=0(1)和C55?2w?x2+2C45?2w?x?y+C44?2w?y2=0(2)而對于各向異性纖維復(fù)合材料板的彎曲問題,其基本方程為:D11?4w?x4+4D16?4w?x3?y+2(D12+2D66)?4w?x2?y2+4D26?4w?x?y3+D22?4w?y4=0(3)對于正交異性纖維復(fù)合材料板的平面問題、反平面問題及彎曲問題,其基本方程依次為:b22?4U?x4+(2b12+b66)?4U?x2?y2+b11?4U?y4=0(4)C55?2w?x2+C44?2w?y2=0(5)Q11?4w?x4+2(Q12+2Q66)?4w?x2?y2+Q22?4w?y4=0(6)1.2偏微分方程材料的斷裂問題正交異性(φ=π2)、各向異性(φ≠π2)纖維復(fù)合材料板的復(fù)合型(Ⅰ+Ⅱ型)裂紋如圖1所示,其邊界條件為:y=0,|x|＜a:?2U?x2=σy=0,-?2U?x?y=τxy=0|y|→∞:?2U?x2=σy=σ,-?2U?y2=τxy=τ|x|→∞:-?2U?x?y=τxy=τ(7)特別地,Ⅰ型裂紋和Ⅱ型裂紋的邊界條件依次為:y=0,|x|＜a:?2U?x2=σy=0,-?2U?x?y=τxy=0|y|→∞:?2U?x2=σy=σ,-?2U?x?y=τxy=0|x|→∞:-?2U?x?y=τxy=0(8)和y=0,|x|＜a:?2U?x2=σy=0,-?2U?x?y=τxy=0|y|→∞:?2U?x2=σy=0,-?2U?x?y=τxy=τ|x|→∞:-?2U?x?y=τxy=τ(9)正交異性(φ=π2)、各向異性(φ≠π2)纖維復(fù)合材料板的Ⅲ型裂紋如圖2所示,其邊界條件為:|y|→∞:C44?2w?y+C45?w?x=τyz=τy=0,|x|＜a:C44?2w?y+C45?w?x=τyz=0(10)特別地,對于正交異性材料,C45=0.正交異性(φ=π2)、各向異性(φ≠π2)纖維復(fù)合材料板,受彎曲載荷M0和扭曲載荷H0的混合作用,如圖3所示,其邊界條件為:|y|→∞:Μy=Μ0?Ηxy=Η0y=0,|x|＜a:Μy=0?Ηxy=0(11)特別地,受彎載荷M0作用、受純扭載荷H0作用條件下,其邊界條件依次為|y|→∞:Μy=Μ0?Ηxy=0y=0,|x|＜a:Μy=0?Ηxy=0(12)|y|→∞:Μy=0?Ηxy=Η0y=0,|x|＜a:Μy=0?Ηxy=0(13)這樣,根據(jù)偏微分方程和附加的邊界條件的不同,探討正交異性、各向異性復(fù)合材料板的斷裂問題歸結(jié)為求十四個偏微分方程的邊值問題。利用復(fù)變函數(shù)方法,借助柯西-黎曼方程等公式,先將偏微分方程化為廣義重調(diào)和方程或廣義調(diào)和方程,繼而借助邊界條件求出應(yīng)力函數(shù)U(x,y)和位移(撓度)函數(shù)w(x,y)。2廣義調(diào)和方程探討正交異性纖維復(fù)合材料板的Ⅲ型裂紋的斷裂問題,轉(zhuǎn)化為求解偏微分方程的邊值問題(5)、(10)。設(shè):w=U(x+μy)(14)代入(5),得到特征方程:C44μ2+C55=0(15)它有兩個根:μ1=i√C55C44=iβ,μ2=ˉμ1(16)記z1=x+μ1y=x1+iy1(17)其中x1=x,y1=βy,則偏微分方程(5)化為:?12U=?2U?x12+?2U?y12=0(18)眾所周知,調(diào)和方程是:?2U=?2U?x2+?2U?y2=0(19)故將(18)稱為廣義調(diào)和方程。從而易知方程(18)有實(shí)值解析解:w=U=a1Re(ˉU1)+b1Ιm(ˉU1)(20)其中dUˉ1dz1=U1,U1=U1(z1)(21)將(20)代入應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系和應(yīng)變—位移關(guān)系:τyz=C44γyz,τzx=C55γxz(22)和γyz=?w?y,γzx=?w?x(23)注意到(21),(17),(16),得到:τyz=c44β[-a1Ιm(U1)+b1Re(U1)]τzx=c44β2[a1Re(U1)+b1Ιm(U1)](24)考慮到受反平面剪切載荷τ作用,選取函數(shù):U1=τz1(z12-a2)1/2(25)由(25),(17),可知y→+∞:U1=τy=0,|x|＜a:U1=-iτx(a2-x2)1/2(26)將(24),(26)代入邊界條件(10),有:a1=0,b1=1c44β(27)注意到(25),當(dāng)z1→a時U1=τa[2a(z1-a)]1/2,定義Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子如下:ΚⅢ=limz1→a[2(z1-a)]1/2U1(28)由(28),(25),在裂紋尖端附近(當(dāng)z1→a時),有:U1=ΚⅢ[2(z1-a)]1/2(z1→a)(29)將(27),(29)代入(24),則Ⅲ型裂紋尖端附近的應(yīng)力場公式為:τyz=ΚⅢ21/2Re[1(z1-a)1/2]τzx=-ΚⅢ21/2Re[μ1(z1-a)1/2](30)3廣義重調(diào)和方程求解受純扭載荷H0作用下正交異性纖維復(fù)合材料板的斷裂問題歸結(jié)為研究偏微分方程的邊值問題(6),(13)。將(14)代入偏微分方程(6),得到特征方程:Q22μ4+2(Q12+2Q66)μ2+Q11=0(31)記Δ=[2(Q12+2Q66)Q22]2-4Q11Q22(32)則當(dāng)Δ>0時,方程(31)的根為:μ1=iβ1,μ2=iβ2,μ3=μˉ1,μ4=μˉ2(33)其中β1>0,β2>0。當(dāng)Δ<0時,方程(31)的根為:μ1=α+iβ,μ2=-α+iβ,μ3=μˉ1,μ4=μˉ2(34)其中α>0,β>0。令zj=x+μjy=xj+iyj(j=1,2)(35)則偏微分方程(6)化為:?12?22W=(?2?x12+?2?y12)(?2?x22+?2?y22)W=0(36)與重調(diào)和方程對比,故將(36)稱為廣義重調(diào)和方程。從而易知方程(36)有實(shí)值解析解:W=∑j=12[ajRe(Wˉˉj)+bjΙm(Wˉˉj)](37)其中Wˉˉj=Wˉˉj(x+μjy)=Wˉˉj(zj)(38)dWˉˉjdzj=Wˉj,dWˉjdzj=Wj(39)將(37)代入下列彎矩Mx,My和扭矩Hxy公式:Μx=-(Q11?2W?x2+Q12?2W?y2);Μy=-(Q12?2W?x2+Q22?2W?y2);Ηxy=-2Q66?2W?x?y(40)注意到(35),(38),(39),有:Μx=-∑j=12{ajRe[(Q11+μj2Q12)Wj]+bjΙm[(Q11+μj2Q12)Wj]}Μy=-∑j=12{ajRe[(Q12+μj2Q22)Wj]+bjΙm[(Q12+μj2Q22)Wj]}Ηxy=-2Q66∑j=12[ajRe(μjWj)+bjΙm(μjWj)](41)考慮到受純扭曲載荷H0作用,選取函數(shù)Wj=Wj(zj)=Η0zj(zj2-a2)1/2(42)其中zj如(35)所示,則:y→+∞:Wj=H0y=0,|x|＜a:Wj=-iΗ0x(a2-x2)1/2(43)引入受純扭裂紋板的Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為:ΚⅡ=limzj→a[2(zj-a)]1/2Wj(zj)(44)由(42),在裂紋尖端附近(當(dāng)zj→a時),有:Wj=Wj(zj)ΚⅡ[2(zj-a)]1/2(zj→a)(45)(1)配線彎矩、扭矩計(jì)算將(41),(43)代入邊界條件(13),注意到(33),得到:(Q12-β12Q22)a1+(Q12-β22Q22)a1=0,β1b1+β2b2=-12Q66(Q12-β12Q22)b1+(Q12-β22Q22)b1=0,β1a1+β2a2=0(46)解該方程組,有a1=a2=0b1=-(Q12-β22Q22)2(β1-β2)(Q12+β1β2Q22)Q66,b2=Q12-β12Q222(β1-β2)(Q12+β1β2Q22)Q66(47)將(33),(45),(47)代入(41),推出裂紋尖端附近的彎矩、扭矩計(jì)算公式如下:Μx=ΚⅡ21/212(β1-β2)(Q12+β1β2Q22)Q66[(Q11-β12Q12)(Q12-β22Q12)Ιm1(zj-a)1/2-(Q11-β22Q12)(Q12-β12Q12)Ιm1(z2-a)1/2]Μy=ΚⅡ21/2(Q12-β12Q22)(Q12-β22Q22)2(β1-β2)(Q12+β1β2Q22)Q66Ιm[1(z1-a)1/2-1(z2-a)1/2]Ηxy=ΚⅡ21/21(β1-β2)(Q12+β1β2Q22)[β1(Q12-β22Q22)Re1(z1-a)1/2-β2(Q12-β12Q22)Re1(z2-a)1/2](48)(2)材料中構(gòu)造上的構(gòu)造即1/2,2Μx=ΚⅡ21/214α[(Q12+(α2+β2)Q22)Q66[(Q122+2(α2-β2)Q12Q22+(α2+β2)Q222]Re[1(z1-a)1/2-1(z2-a)1/2]+2αβ(Q11Q22-Q122)Ιm[1(z1-a)1/2-1(z2-a)1/2]Μy=ΚⅡ21/214α[(Q12+(α2+β2)Q22)Q66[(Q122+2(α2-β2)Q12Q22+(α2+β2)2Q222]Re[1(z1-a)1/2-1(z2-a)1/2]Ηxy=ΚⅡ21/212α(Q12+(α2+β2)Q22)