垂徑定理“十校聯(lián)賽”一等獎

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2.3垂徑定理知識回顧1.什么叫圓內(nèi)接四邊形?頂點都在圓上的四邊形叫作圓內(nèi)接四邊形.2.

圓內(nèi)接四邊形有怎樣的性質(zhì)?

圓內(nèi)接四邊形的對角互補.3.圓周角定理的推論2是什么?

直徑所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑.

圓的內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角．

在下圖的⊙O中,AB是任一條弦,CD是⊙O的直徑,且CD⊥AB,垂足為E.試問:

AE與BE，與，與

分別相等嗎？動腦筋CDE·OABCDEOB

因為圓是軸對稱圖形,將⊙O沿直徑CD對折,如下圖,我發(fā)現(xiàn)AE與BE重合,

，分別與,重合,即AE=BE,

=，=從而∠AOC=∠BOC.下面我們來證明這個結(jié)論.在下圖中,連接OA,OB.∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形.∵OE⊥AB，∴AE=BE,∠AOD=∠BOD.==∴由此得到垂徑定理：數(shù)學符號語言：∵

CD是⊙O的直徑,且CD⊥AB==∴AE=BE·OABCDE結(jié)論

垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.下列圖形是否具備垂徑定理的條件？是否是否OEDCAB垂徑定理的幾個基本圖形：CD過圓心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD

解連接OA.設OA=rcm,則OE=(r-2)cm.∵

CD⊥AB，由垂徑定理得=4(cm).在Rt△AEO中,由勾股定理得OA2=OE2+AE2解得r=5.

∴

CD=2r=10(cm).即r2=(r-2)2+4·OABCDE范例分析

例1如圖所示,弦AB=8cm,CD是⊙O的直徑,

CD⊥AB,垂足為E,DE=2cm,求⊙O的直徑CD的長.證明作直徑EF⊥AB，∴

又AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.∴

因此即例2證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.已知:如圖,在⊙O中,弦AB與弦CD平行.求證：=

如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,AC=8cm,AB=10cm,OD⊥BC于點D,求BD的長.∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.在Rt△ACB

中，AC=8cm，AB=10cm，∴BC=6cm.又∵OD⊥BC，∴解練

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