高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課件第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講函數(shù)的奇偶性與周期性（含解析）

第三講函數(shù)的奇偶性與周期性課標(biāo)要求考情分析1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義1.本講以理解函數(shù)的奇偶性、會(huì)用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，加強(qiáng)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用意識(shí).2.題型以選擇、填空題為主，中等難度奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱1.函數(shù)的奇偶性【名師點(diǎn)睛】(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).(3)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【名師點(diǎn)睛】函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列結(jié)論正確的為()

A.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則必有f(0)＝0 B.若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱 C.若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱 D.2π是函數(shù)f(x)＝sinx，x∈(－∞，0)的一個(gè)周期

答案：BCD題組二走進(jìn)教材2.(教材改編題)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x＋a)

x為奇函數(shù)，則a＝________.

答案：－1

3.(教材改編題)已知函數(shù)

f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________.

答案：－2題組三真題展現(xiàn)4.(2021年全國甲)設(shè)

f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且答案：C5.(2021年新高考Ⅱ)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；③f′(x)是奇函數(shù).答案：f(x)＝x2

考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性：

解：(1)由于f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2)f(x)的定義域?yàn)?－2,2)，f(－x)＝＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(4)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；綜上可知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).【題后反思】(1)判斷函數(shù)奇偶性的兩個(gè)必備條件①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域.

②判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系.

在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以將問題轉(zhuǎn)化為f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立.【變式訓(xùn)練】1.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x))是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

解析：∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴|f(x)|是偶函數(shù)，|g(x)|是偶函數(shù).根據(jù)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤、C正確；由兩個(gè)偶函數(shù)的和還是偶函數(shù)知B正確；由f(x)g(x)為奇函數(shù)得|f(x)g(x)|為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選BC.答案：BC

解：取

x＞0，則－x＜0，

∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x).

取x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).又f(0)＝0，∴f(x)為奇函數(shù).

考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值(范圍)函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，y＝x3為R上的奇函數(shù)，故y＝a·2x－2－x也為R上的奇函數(shù)，所以y|x＝0＝a·20－20＝a－1＝0，所以a＝1.答案：1解析：答案：C【題后反思】(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象，確定函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，解決某些求值或參數(shù)問題.

(3)由函數(shù)奇偶性延伸可得到一些對(duì)稱性結(jié)論，如函數(shù)f(x＋a)為偶函數(shù)(奇函數(shù))，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱(關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱).【變式訓(xùn)練】

解析：函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有意義，∴f(0)＝0，得a＝1.又g(x)為偶函數(shù)，∴g(－1)答案：D

2.設(shè)函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(3)＝0，且g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，則不等式g(2－2x)<0的解集為______.

解析：由已知可得g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(2)＝0，又g(x)為偶函數(shù)，∴g(2－2x)<0可化為g(2－2x)<g(2)，∴|2－2x|<2，∴－2<2x－2<2，解得0<x<2.答案：(0,2)考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用考向1單調(diào)性與奇偶性的綜合問題

通性通法：1.利用偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，實(shí)現(xiàn)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.2.注意偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)的應(yīng)用.[例3](2020年全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()答案：D考向2周期性與奇偶性的綜合問題

通性通法：此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.解析：∵f(x＋1)為奇函數(shù)，∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)為偶函數(shù)，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令t＝－x，則f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝ax2＋b.f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－4a－b，f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，∵f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)＝－2x2＋2，答案：D考向3單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題

通性通法：對(duì)于與函數(shù)性質(zhì)結(jié)合的題目，函數(shù)的周期性有時(shí)需要通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對(duì)稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律.因此在解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.

[例5]已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：

①f(2)＝0；②x＝－4為函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[8,10]上單調(diào)遞增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－8.

以上命題中所有正確命題的序號(hào)為________.

解析：據(jù)已知抽象函數(shù)關(guān)系式f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函數(shù)為偶函數(shù)，故有f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)?f(2)＝0，即①正確；因此f(x)＝f(x＋4)，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象必關(guān)于y軸即直線x＝0對(duì)稱，又其周期為4，故x＝－4也為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，即②正確；又已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，故將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)周期長度單位，其單調(diào)性不變，即在區(qū)間[8,10]上也單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤；如圖2-3-1所示，若方程f(x)＝m在區(qū)間[－6，－2]上有兩根，則此兩根必關(guān)于直線x＝－4對(duì)稱，即x1＋x2＝－8，故④正確，綜上所述，命題①②④正確.圖2-3-1答案：①②④

【考法全練】

1.(考向1)(2020年新高考Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足x·f(x－1)≥0的x的取值范圍是()A.[－1,1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞)D.[－1,0]∪[1,3]

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖D3(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖D3(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x＞0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3].故選D.(1)(2)圖D3答案：D2.(考向2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝)－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，則( A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B.f(－25)＜f(80)＜f(11) C.f(80)＜f(11)＜f(－25) D.f(11)＜f(80)＜f(－25)

解析：根據(jù)題意，定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝－f(x)，則有f(x＋8)＝f(x)，故函數(shù)的周期為8.f(－25)＝f[(－1)＋(－3)×8]＝f(－1)，f(80)＝f(0＋8×10)＝f(0)，f(11)＝f(3)＝f[(－1)＋4]＝－f(－1)＝f(1)，根據(jù)奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，可得f(x)在[－2,0]上也單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞增，則有f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11).故選B.答案：B

3.(考向3)(多選題)(2021年日照聯(lián)考)已知定義在

R上的函數(shù)

f(x)滿足條件f(x＋2)＝－f(x)，且函數(shù)f(x－1)為奇函數(shù)，則()A.函數(shù)f(x)是周期函數(shù)B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱C.函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)D.函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)

解析：因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函數(shù)，A正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x－1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱，B正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x－1)為奇函數(shù)，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，C正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x－1)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝0，又函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(1)＝0，所以函數(shù)f(x)不單調(diào)，D錯(cuò)誤.答案：ABC⊙函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用結(jié)論一：若函數(shù)f(x)