談?wù)剻C(jī)械能守恒定律

談?wù)剻C(jī)械能守恒定律李樹祥（特級教師）一、 如何判定系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒？判定機(jī)械能守恒方法有二：一是從力做功的情況來分析，當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)只有重力或彈力做功，而沒有其他外力和內(nèi)力做功（或其他內(nèi)力和外力所做功的代數(shù)和為零）則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。二是從能量轉(zhuǎn)化的情況來分析，若系統(tǒng)只涉及動能、重力勢能和彈性勢能之間的相互轉(zhuǎn)化，而與外界沒有發(fā)生機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。例如圖1中，在光滑的水平面上放置一光滑的斜面，當(dāng)一小球從光滑斜面的頂端滑下時(shí)，若判斷小球和斜面所組成的系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒，就可以從兩種方法來判定：從做功的情況來看，當(dāng)小球從斜面上滑下時(shí)，由于小球?qū)π泵娴膲毫κ剐泵嫜厮椒较蜻\(yùn)動，從而導(dǎo)致兩物體之間的作用力對兩物體做功，使小球和斜面兩個(gè)物體的機(jī)械能都不守恒，但對小球和斜面組成的系統(tǒng)而言，兩物體間作用力做功的代數(shù)和為零，即系統(tǒng)除重力和這個(gè)內(nèi)部作用力外，不再有其他力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。其次從能量轉(zhuǎn)化的角度來看，小球和斜面之間只有重力勢能和動能之間的轉(zhuǎn)化，與外界沒有發(fā)生機(jī)械能轉(zhuǎn)化，故機(jī)械能守恒。當(dāng)然，如果斜面不光滑，則二者的機(jī)械能由于部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則系統(tǒng)的機(jī)械能就不守恒了。二、 如何用機(jī)械能守恒定律來解題？1、 首先確定研究對象。研究對象的選取有兩種情況：①當(dāng)只有重力做功時(shí)，?？扇∫粋€(gè)物體（其實(shí)是物體和地球組成的系統(tǒng)）作為研究對象，②當(dāng)物體之間有彈力做功時(shí)，必須將這幾個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對象（使彈力成為內(nèi)力），例如圖2中，一小球從空中落下，在落到彈簧上之前，小球只受重力，則小球的機(jī)械能守恒。而落到彈簧上之后，小球受重力和彈簧彈力作用，小球的機(jī)械能不再守恒，但對小球和彈簧組成的系統(tǒng)，除重力和內(nèi)部彈力外，無其他外力做功，故小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。2、 確定研究對象所經(jīng)歷的過程及初末態(tài)，并分析研究對象在過程中的受力情況，弄清各個(gè)力做功情況（或分析能量轉(zhuǎn)化情況），看是否符合機(jī)械能守恒條件，只有符合條件才能用機(jī)械能守恒定律。3、 正確選擇機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式來列方程，可分過程列式，也可對全過程列式必要時(shí)再由題設(shè)條件列出其他輔助方程求解。三、 機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式有哪幾種？試舉例說明其應(yīng)用。機(jī)械能守恒定律有三種表達(dá)式，分別是：表達(dá)式一:系統(tǒng)減少（或增加）的動能等于系統(tǒng)增加（或減少）的勢能，表達(dá)式為呱=吧例1如圖3所示，長度相同的三根輕桿構(gòu)成一個(gè)正三角形支架，在A處固定質(zhì)量為2m的小球，在B處固定質(zhì)量為m的小球，支架懸掛在O點(diǎn)，可繞O點(diǎn)并與支架所在的平面垂直的固定軸轉(zhuǎn)動。開始時(shí)OB與地面垂直，放手后支架開始運(yùn)動，在不計(jì)任何阻力的情況下，下列說法正確的是（）。圖3

圖3(A)A球到達(dá)最低點(diǎn)的速度為零(B)A球機(jī)械能減少量等于B球機(jī)械能增加量B球向右擺動所能達(dá)到的最高位置應(yīng)高于A球的初始高度當(dāng)支架從左向右回?cái)[時(shí)，A球一定能回到起始高度解析：A、B兩小球在運(yùn)動過程中，除重力做功外，連接兩者的細(xì)桿也對它們做了功，所以各自的機(jī)械能都不守恒。因?yàn)锽球的動能和重力勢能都增大，機(jī)械能增加，說明桿對B球的彈力做了正功；同時(shí)桿對A球施加了大小相同，方向相反的彈力，該力對A球做負(fù)功，使A球的機(jī)械能減少。由于兩個(gè)彈力做功的絕對值大小相同，所以桿做的總功為零，說明A球與B球的機(jī)械能總量是不變的，不過通過桿對兩者分別做功，使機(jī)械能從A球轉(zhuǎn)移到B球。由此可見，當(dāng)將A、B球及支架全部看成一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，該系統(tǒng)機(jī)械能守恒。根據(jù)機(jī)械能守恒定律AEk=-AEp，有AEkA+AEkB=-(AEpA+AEpB)o當(dāng)A球擺到最低點(diǎn)時(shí)，A、B球的線速度相同，設(shè)為V,貝01122mv2+2mv2=2mgh-mgh3所以v2=2gho說明A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)、B球到達(dá)A球的初始高度時(shí)速度不為零，系統(tǒng)還可以繼續(xù)向左擺動。當(dāng)支架回?cái)[后，由于物體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，當(dāng)支架停止、動能為零時(shí)，具有和初始狀態(tài)相同的重力勢能，因此A球回到起始高度。故應(yīng)選(B)、(C)(D)表達(dá)式二：若系統(tǒng)由A、B兩部分組成，則A部分物體機(jī)械能的增加量與B部分機(jī)械能的減少量是相等的，其表達(dá)式為：AEA增=AEB減。A增 B減例2圖4中A的質(zhì)量m1=4m,B的質(zhì)量m2=m，斜面固定在水平地面上，傾角為30°度。開始時(shí)將B按在地面上不動，然后放手，讓A沿斜面下滑而B上升，A與斜面無摩擦。設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑S后，細(xì)線突然斷了，求E上升的最大高度Ho圖4解析 選A、B為研究對象，設(shè)A沿斜面下滑S時(shí)，速度為V，B的速度也是V,此時(shí)A的機(jī)械能減少了AEA減=m1gSsin30°-m1V2/2=2mgS-2mv2B的機(jī)械能增加了AEB增=m2gS-m2V2/2=mgS+mv2/2由AEA=aeb得AB2mgS-2mv2=mgS+mv2/2 ……①細(xì)線突然斷后，此后B以初速度V做豎直上拋運(yùn)動，設(shè)繼續(xù)上升高度為h，對B,由機(jī)械能守恒定律有mv2/2=mgh ……②B上升的最大高度為H=S=h……③聯(lián)立①②③式解得H=1.2S表達(dá)式三：系統(tǒng)(或物體)初態(tài)的機(jī)械能等于系統(tǒng)(或物體)末態(tài)的機(jī)械能，其表達(dá)式為：E1=E2o或Ek1+Ep1=已臨+已戸厶需注意：應(yīng)用該式時(shí)，要先選取零勢面，

且系統(tǒng)的初末狀態(tài)的重力勢能應(yīng)對應(yīng)同一參考面來計(jì)算。例3如圖5所示，半徑為r質(zhì)量不計(jì)的圓盤面與地面垂直，圓心處有一個(gè)垂直于盤面的光滑水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，在O點(diǎn)的正下方離O點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B，放開盤讓其自由轉(zhuǎn)動，問：（1）當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩小球的重力勢能之和減少了多少？（2）A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線速度是多少？（3）在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？解析由于盤上的兩個(gè)小球都做變速圓周運(yùn)動，優(yōu)先考慮從能量方面去解，又由于兩球的運(yùn)動相互牽連，可用系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律，還要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）找準(zhǔn)零勢面，正確寫出各個(gè)狀態(tài)的機(jī)械夢；（2）找出A、B兩球的關(guān)聯(lián)物理量，由于兩球固定在同一個(gè)圓盤上，任一瞬間，A、B兩球的角速度相同。圖6 圖7取過圓心O的水平面為零勢能參考面，則釋放時(shí),兩球的重力勢能之和Ep產(chǎn)-gr/2,當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，兩球的重力勢能之和Ep2=-mgr所以兩小球重力勢能減少之和r1為Ep1-Ep2=-mg2一（-mgr）=込mgr°如圖6,設(shè)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)式的速度為VA,此刻B球的速度為VB，有公式v=g,得VA/VB=2/1，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒列r11-mg2=-mgr+2mvA2+2mvB2。gr解得Va=2\：+A球轉(zhuǎn)至最低點(diǎn)后，由于慣性繼續(xù)向左轉(zhuǎn)動，當(dāng)A球的速度為零時(shí)，半徑OA向左偏離豎直方向的角度達(dá)到最大，設(shè)此刻OA與豎直線的夾角為&，如圖7所示，根據(jù)機(jī)械能守恒定律的rr-mg丁=mg丁sin0+vA2+（-mgrco曲）.22A33解此方程，可得sin歸5，所以歸arcsin5零勢能面的選取是任意的，不影響題目的結(jié)果，但選好了，可以使解題過程簡便，所以在確定零勢能面時(shí)要有所選擇。本題也可以用“表達(dá)式一”或“表達(dá)式二”求解，同學(xué)們不妨一試。四、應(yīng)用機(jī)械能守恒解決的問題能用牛頓定律解決嗎？對于恒力做功問題，能用機(jī)械能解決的問題，也能用牛頓運(yùn)動定律解決。但是在使

用機(jī)械能守恒定律時(shí)，可以只考慮初、末狀態(tài)時(shí)的動能和勢能，而不必考慮運(yùn)用過程的細(xì)節(jié)，就能簡化解題的步驟。對于變力作用下物體的運(yùn)動分析問題，在高中階段我們無法用牛頓運(yùn)動定律解決此類問題，而機(jī)械能守恒卻顯示方便簡潔。例如：圖8所示，求物體沿光滑且高為h的曲面下滑到底端時(shí)的速度的大小。如果用牛頓運(yùn)動定律，則物體在曲面上的加速度時(shí)刻變化，速度的方向也在時(shí)刻變化，物體在變力作用下的問題我們還無法解決。但是如果考慮到物體在運(yùn)動過程中，曲面對物體的彈力始終與物體運(yùn)動方向垂直，彈力始終不做功的實(shí)際情況,則在整個(gè)運(yùn)動過程中，只有重力對物體做功，物體的機(jī)械能守恒， ，所以將地面作為重力勢能的零勢能面，則mgh=2物體運(yùn)動必到曲面底端時(shí)的速度大小為v=■v'2gh.五當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)除重力和彈力外還有其他力做功，且做功代數(shù)和不為零時(shí)，會使機(jī)械能發(fā)生怎樣的變化？除系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈力外，其他所有的外力和內(nèi)力做功的代數(shù)和等于系統(tǒng)的機(jī)