第八章分離變量法-數(shù)學(xué)物理方法

第八章分離變數(shù)法（傅立葉級(jí)數(shù)法）1、兩個(gè)變數(shù)的齊次微分方程、齊次邊界條件的分離變量的求解方法2、兩個(gè)變數(shù)的非齊次微分方程、齊次邊界條件的傅立葉級(jí)數(shù)的求解方法3、非齊次邊界條件的處理方法4、三維泊松方程的特解求解方法重點(diǎn)§8、1齊次方程的分離變數(shù)解法、線性定解問題的疊加性質(zhì)L稱為算符，偏微分方程可以用算符作用在函數(shù)上標(biāo)示出來非齊次方程L[u]=f(x,y,z,t)齊次方程L[u]=01.算符2.性質(zhì)則其組合u2是齊次方程的解L[u2]=0L[u1]=f1)分別是齊次方程的

2)是非齊次方程的解則是非齊次方程的解:3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2性質(zhì)（3）對(duì)邊界條件，初始條件常常用到。二、分離變數(shù)法解齊次偏微分方程的基本思路：1、兩個(gè)變數(shù)方程的求解方法則1、設(shè)解的形式解的形式為u(x,y)=X(x)T(t)帶入方程中，得出兩個(gè)常微分方程：2、分離變量分離過程：l-==)()()()(2xXxXtTatTxxtt代入邊界條件：

3、本征值問題：本征值方程由約束條件和方程本身稱為方程的本征值問題二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：當(dāng)x=0，l時(shí)X=0,l時(shí)無意義,則不能無意義,則不能=0x=0,l時(shí)則有則必有所以n=1,2,3……又因?yàn)樗杂刑卣鹘猓?、通解：5、由廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開法確定方程中的系數(shù)：

則有

把等式右端展為傅立葉級(jí)數(shù)，比較兩邊系數(shù)得：6、物理意義：（1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解un是駐波

波腹——振動(dòng)總是最大點(diǎn)，波節(jié)——振幅總是為零點(diǎn)（2）、u

n(x,t)特解稱為本征振動(dòng)模式它與初始條件無關(guān)。稱固有振動(dòng)模式（4）、有初始條件確定通解系數(shù)（傅立葉展開）7、分離變量法概要：（1）、將齊次偏微分方程分為若干常微分方程（2）、參數(shù)常微分方程與齊次邊界條件構(gòu)成本征值問題（3）、將本征解疊加無窮級(jí)數(shù)，給出通解例1、研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題。初始時(shí)刻桿的一端溫度為零，另一端溫度為u0，桿上溫度梯度均勻，零度的一端保持溫度不變，另一端跟外界絕熱，試求桿上溫度的變化。邊界條件：初始條件：(2)分離變數(shù)：(3)、求解本征值問題：X=0,l時(shí)x=0,l時(shí)則有則必有（k=0,1,2……）故有：本征解（4）、通解中常數(shù)確定分離變量法也適用于Laplace方程例2解若λ>0，例3帶電的云跟大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)靜電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度是豎直的。水平架設(shè)的輸電線出在這個(gè)靜電場(chǎng)之中，輸電線是導(dǎo)體圓柱。柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)電荷，圓柱鄰近的靜電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)的了，不過離圓柱

“無限遠(yuǎn)“處的靜電場(chǎng)應(yīng)保持為勻強(qiáng)的?，F(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場(chǎng)。+++++++++++________解如圖選擇坐標(biāo)系，電荷具有面對(duì)稱性,形成的電場(chǎng)也具有面對(duì)稱性.在圓柱外,電勢(shì)滿足Laplace

方程.yx設(shè)導(dǎo)體上的電勢(shì)為0,有下列邊界條件:+++++++++++________yx定解問題為:1)形式解2)代入方程分離變量3)求解本征值問題得本征值和本征函數(shù):徑向方程為:解為3)通解為4)代入邊界條件確定系數(shù)由(1)和(2)得:代入給出符合題意的解:說明該方法只適應(yīng)于齊次偏微分方程，齊次邊界條件的定解問題，對(duì)于齊次方程非齊次邊界條件不適合。

k=1,2,3…

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3…

§8、2非齊次振動(dòng)方程和輸送方程基本思路：對(duì)于定解問題：、傅立葉級(jí)數(shù)法（1）、根據(jù)方程的線性，將解設(shè)為分離變量形式的解：(2)、根據(jù)邊界條件，將X(x)形式寫成滿足邊界條件的函數(shù)形式（3）、構(gòu)成滿足邊界條件、給出需待定的級(jí)數(shù)解：（4）、將級(jí)數(shù)解帶入偏微分方程中，且將展為同樣級(jí)數(shù)形式f(x,t)、

其中代入方程例1

求解定解問題：（以一維弦振動(dòng)為例）二、應(yīng)用舉例：（2）、考慮齊次方程和齊次邊界條件下的級(jí)數(shù)形式（3）、代入非齊次方程中，有：n=1二階常系數(shù)非齊次線性微分方程則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程具有形如

的特解，其中

是與

同次（m次）的多項(xiàng)式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解歸結(jié)為求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程本身的一個(gè)特解

而k按不是特征方程的根，是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取為0，1或2。（4）、將級(jí)數(shù)解u(x,y)代入初始條件作傅立葉展開有：代入可得其解1、例2解：2、5、將系數(shù)代入u(x,t),得解：4、例3

分布方程非齊次方程、齊次邊界條件的定解問題的一般處理方法定解問題：三、沖量定理法1、沖量定理法的基本思想定解問題1）持續(xù)作用力看成前后相繼的瞬時(shí)力的疊加；定解問題中，持續(xù)力是作用時(shí)間0--t表為瞬時(shí)力的疊加2）持續(xù)力引起的振動(dòng)看成是瞬時(shí)力引起振動(dòng)的疊加。是時(shí)刻有瞬時(shí)力引起的位移。代入泛定方程，有由于瞬時(shí)力是作用在時(shí)間段上，從時(shí)間上，瞬時(shí)力沒有起作用，仍然是靜止的，所以有瞬時(shí)力引起的位移所滿足的方程瞬時(shí)力引起的位移滿足的初始條件由于瞬時(shí)力作用時(shí)間極短，作用結(jié)束后弦線來不及振動(dòng)，所以由沖量定理判斷其作用后的速度，考慮單位長(zhǎng)度的弦：將考慮時(shí)刻以后的定解問題，瞬時(shí)力還沒有來得及起作用，則：將時(shí)間間隔取為單位時(shí)間，且將，則該定解問題可以用分離變量方法求解。例1解§8、3非齊次邊界條件的處理