數(shù)字圖像處理 第3章

第三章圖像變換3.1概述3.2傅立葉變換和性質(zhì)3.3其他可分離變換3.4霍特林變換3.1概述

為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析常常需要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進(jìn)行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖像空間以得到所需要的效果。3.1概述圖像變換可分離變換統(tǒng)計(jì)變換霍特林變換傅里葉變換快速傅里葉變換離散余弦變換沃爾什變換哈達(dá)瑪變換

3.1概述一、圖像變換的引入

1.方法：對(duì)圖像信息進(jìn)行變換，使能量保持但重新分配。

2.目的：有利于加工、處理（濾除不必要信息(如噪聲)，加強(qiáng)/提取感興趣的部分或特征）。

3.1概述二、用途

1．提取圖像特征（如）：（1）直流分量；（2）目標(biāo)物邊緣：F（u,v）高頻分量。2．圖像壓縮：正交變換能量集中，對(duì)集中（?。┎糠诌M(jìn)行編碼。3．圖像增強(qiáng)：低通濾波，平滑噪聲；高通濾波，銳化邊緣。3.1概述

圖像變換是圖像處理和分析技術(shù)的基礎(chǔ)。在圖像處理和分析技術(shù)的發(fā)展中，傅里葉變換曾經(jīng)起過(guò)并仍起著重要的作用。圖像傅立葉變換的物理意義

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。

如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。

傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)

傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，通常用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，記為z=f(x,y)。又因空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就必須由梯度來(lái)表示，這樣我們才能通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖

像梯度的分布圖。當(dāng)然，頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這一點(diǎn)與是否采取移頻處理沒(méi)有關(guān)系。

對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾。一幅頻譜圖如果帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)上就可以看出，除了中心以外還存在以另一點(diǎn)為中心、對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的。這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。3.1二維離散傅里葉變換（DFT）尺寸為M×N的離散圖像函數(shù)的DFT反變換可以通過(guò)對(duì)F(u,v)求IDFT獲得（3.3）（3.4）

DFT變換進(jìn)行圖像處理時(shí)有如下特點(diǎn)：（1）直流成分為F(0,0)。（2）幅度譜|F(u,v)|對(duì)稱于原點(diǎn)。（3）圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。（3.5）（3.6）

頻率域幅值與頻率

空間域灰度傅立葉變換舉例

傅立葉頻譜圖上明暗不一的亮點(diǎn)的意義圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。傅立葉頻譜圖上明暗不一的亮點(diǎn)的意義一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們就可以直觀地看出圖像的能量分布：如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較?。?；反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的、邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。傅立葉變換在圖像處理的重要作用1.圖像增強(qiáng)與圖像去噪

絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過(guò)低通濾波器來(lái)濾除高頻—噪聲;邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過(guò)添加高頻分量來(lái)增強(qiáng)原始圖像的邊緣；2.圖像分割之邊緣檢測(cè)。提取圖像高頻分量3.圖像特征提?。?/p>

形狀特征：傅里葉描述子

紋理特征：直接通過(guò)傅里葉系數(shù)來(lái)計(jì)算紋理特征

其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅里葉變換來(lái)使特征具有平移、

伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性4.圖像壓縮

可以直接通過(guò)傅里葉系數(shù)來(lái)壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實(shí)變換；

二維離散傅立葉變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)：2.比例性質(zhì)：3.可分離性：可分離性二維離散傅立葉變換DFT可分離性的基本思想是：二維DFT可分離為兩次一維DFT

應(yīng)用：二維快速傅立葉算法FFT，是通過(guò)計(jì)算兩次一維FFT實(shí)現(xiàn)的可分離性傅立變換的可分離性質(zhì)先進(jìn)行列變換，然后進(jìn)行行變換。可分離性可分離性二維的傅立葉變換可以通過(guò)兩次一維傅立葉變換得到。因此對(duì)圖像進(jìn)行傅立葉變換可以先對(duì)行（水平方向）進(jìn)行一維的傅立葉變換，得出的結(jié)果再對(duì)列（垂直方向）進(jìn)行一維的傅立葉變換。這樣就是使得圖像的傅立葉變換實(shí)際上把頻率分成水平分量和垂直分量，即u分量和v分量。圖像是一幅只包括單條水平線的簡(jiǎn)單圖像，顯然它只在垂直方向上有灰度跳變（垂直方向是梯度的方向），所以從它的頻譜圖中只能看到垂直分量。這樣就能很好的解釋變換前后所出現(xiàn)的垂直現(xiàn)象。4.空間位移：5.頻率位移：二維離散傅立葉變換的性質(zhì)

當(dāng)圖像在頻率域時(shí)移動(dòng)時(shí)需要用到頻率位移性質(zhì)。頻率位移性質(zhì)圖像中心化把圖像進(jìn)行傅立葉變換后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上頻率位移即將f（x,y）的圖像頻譜（圖像能量集中在低頻的4個(gè)角，見(jiàn)下圖(a)）從原點(diǎn)（0，0）移到中心（N/2,N/2），得到一個(gè)完整的頻譜，稱為頻譜中心化(見(jiàn)下圖(b))將f(x,y)與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其變換后的頻域中心移動(dòng)到新的位置。F(u,v)與一個(gè)指數(shù)項(xiàng)相乘就相當(dāng)于把其反變換后的空域中心移動(dòng)到新的位置。圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：1、若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。2、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）

（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖圖3.5圖像頻譜的中心化變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮;平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大。平均值平均值定義：由傅立葉變換定義：因此，f(x,y)的平均值與傅立葉變換系數(shù)的關(guān)系為：6.平均值：

如果是一幅圖像，在原點(diǎn)的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級(jí)，也稱作頻率譜的直流成分。

7.離散卷積定理設(shè)f(x,y)和g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個(gè)數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理

（3.12）（3.13）卷積定理：f(x,y)*g(x,y)<=>F(u,v)G(u,v)f(x,y)g(x,y)<=>F(u,v)*G(u,v)【例3.2】用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。解：MATLAB程序如下：

A=imread('pout.tif'); %讀入圖像imshow(A);%顯示圖像A2=fft2(A); %計(jì)算二維傅里葉變換A2=fftshift(A2); %將直流分量移到頻譜圖的中心 figure,imshow(log(abs(A2)+1),[010]);%顯示變換后的頻譜圖

（a）原始圖像（b）圖像頻譜圖3.7傅里葉變換3.2二維離散余弦變換（DCT）

任何實(shí)對(duì)稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項(xiàng)，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡(jiǎn)化DFT的重要方法。DCT逆變換為：

（3.15）（3.15）二維離散余弦變換離散余弦變換，經(jīng)常被信號(hào)處理和圖像處理使用，用于對(duì)信號(hào)和圖像(包括靜止圖像和運(yùn)動(dòng)圖像)進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強(qiáng)的"能量集中"特性:大多數(shù)的自然信號(hào)(包括聲音和圖像)的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分。例如，在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG中，在運(yùn)動(dòng)圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中都使用了離散余弦變換。在這些標(biāo)準(zhǔn)制中都使用了二維的離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。這時(shí)對(duì)應(yīng)離散余弦變換中的n是8，并用公式對(duì)每個(gè)8x8塊的每行進(jìn)行變換，然后每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)8x8的變換系數(shù)矩陣。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置表示不同頻率的交流分量。

【例3.3】應(yīng)用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif'); %讀入圖像I=dct2(A); %對(duì)圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A);%顯示原圖像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);（a）原圖（b）DCT系數(shù)圖3.10離散余弦變換3.3其他可分離變換1923年，美國(guó)數(shù)學(xué)系J.LWalsh提出walsh函數(shù)。[1]函數(shù)展開(kāi)有三種：Walsh序的Walsh函數(shù)，佩利序的Walsh函數(shù)，哈達(dá)瑪序的Walsh函數(shù)。沃爾什變換主要用于圖像變換，屬于正交變換。這種變換壓縮效率低，所以實(shí)際使用并不多。但它快速，因?yàn)橛?jì)算只需加減和偶爾的右移操作。沃爾什變換的定義如下：給定一個(gè)NXN像素塊Pxy（N必須是2的冪），二維WHT定義為：1、沃爾什變換3.3其他可分離變換

沃爾什（Walsh）變換是一種可分離變換。當(dāng)時(shí)，變換核為：

3.3其他可分離變換離散沃爾什變換W(u)為：是z的二進(jìn)制表達(dá)中的第k位。例如n=3，則對(duì)z=6（1102），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。3.3其他可分離變換由沃爾什變換核組成的矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣并且其行和列正交（即各行向量與各列向量的內(nèi)積為0，互相獨(dú)立），即：

所以離散沃爾什反變換為：

3.3其他可分離變換2-D的沃爾什正變換核和反變換核由以下2式給出：

這2個(gè)核完全相同，所以下面2式給出的2-D沃爾什正變換和