2024屆一輪復習人教A版 第六章立體幾何第六講空間坐標系與空間向量 課件（56張）

第六講空間坐標系與空間向量課標要求考情分析1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，能判斷向量的共線.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的垂直本講是空間向量的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及空間直角坐標系、空間向量的有關(guān)概念、定理、公式及四種運算等內(nèi)容.一般不單獨命題，常以簡單幾何體為載體，以解答題的形式出現(xiàn)，考查平行、垂直關(guān)系的判斷和證明及空間角的計算，解題要求有較強的運算能力名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量1.空間向量的有關(guān)概念2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).項目向量表示坐標表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夾角余弦值(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量. (2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l

αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0(3)空間位置關(guān)系的向量表示【常用結(jié)論】

考點一空間向量的線性運算圖6-6-1答案：D2.(多選題)已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，則下列四式中正確的有()解析：作出平行六面體ABCD-A′B′C′D′的圖形，如圖D39，可圖D39答案：ABC【題后反思】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.考點二共線定理、共面定理的應用[例1]如圖6-6-2，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點.圖6-6-2(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)求證：BD∥平面EFGH.由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點共面.圖6-6-3所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD

平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【題后反思】證明三點共線和空間四點共面的方法比較【變式訓練】圖6-6-4

考點三空間向量數(shù)量積及其應用

[例2]如圖6-6-5所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點. (1)求證：EG⊥AB； (2)求EG的長；(3)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.圖6-6-5【題后反思】(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點在線段上的位置.(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角.(3)可以通過|a|＝

，將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解.【變式訓練】

如圖6-6-6所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，底面為平行四邊形，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1

的長；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1

與AC夾角的余弦值.圖6-6-6考點四向量法證明平行、垂直

[例3]如圖6-6-7，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角.求證：圖6-6-7(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.證明：以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖6-6-8所示的空間直角坐標系Cxyz.圖6-6-8∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，

又∵PA∩DA＝A，PA，DA?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.【題后反思】(1)用向量證明平行的方法①線線平行，只需證明兩直線的方向向量是共線向量；②線面平行，證明直線的方向向量能用平面的兩個基底表示，或證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

③面面平行，證明兩平面的法向量是共線向量.(2)用向量證明垂直的方法①線線垂直，只需證明兩直線的方向向量互相垂直；②線面垂直，證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；③面面垂直，證明兩平面的法向量互相垂直.【變式訓練】

如圖6-6-9，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1

，和F分別為BC和A1C的中點. (1)求證：EF∥平面A1B1BA；(2)求證：平面AEA1⊥平面BCB1.圖6-6-9證明：因為AB＝AC，E為BC的中點，所以AE⊥BC.因為AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以以過E作平行于BB1

的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖D40所示的空間直角坐標系.圖D40因為AB＝3，BE＝

，所以AE＝2，

⊙用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問題

[例4]如圖6-6-10，正方形

ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求證：AC⊥BF； (2)在線段BE上是否存在一點P，使得平面的值；若不存PAC⊥平面BCEF？若存在，求出在，請說明理由.圖6-6-10

(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.

過點A作AH⊥BC于點H，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.

(2)解：存在.由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直.圖6-6-11

假設在線段BE上存在一點P滿足題意，則易知點P不與點B，E重合，【題后反思】解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理.

(2)探索性問題的關(guān)鍵是設點：①空間中的點可設為(x，y，z)；②坐標平面內(nèi)的點其中一個坐標為0，如xOy面上的點為(x，y，0)；③坐標軸上的點兩個坐標為0，如z軸上的點為(0，0，z)；或直接利用向量運算.【高分訓練】(2021年泰安市一模)如圖6-6-12，在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2

，E，G分別為PC，PA的中點. (1)求證：平面BCG⊥平面PAC； (2)在線段AC上是否存在一點N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論.

圖6-6-12(1)證明：∵PB⊥平面