山東省威海市乳山市銀灘高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一9月模塊考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間150分鐘．考試結(jié)束后，將答卷紙和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（共60分）注意事項(xiàng)1．答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的班級(jí)、姓名、座號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上，并將答題卡上的考號(hào)、科目、試卷類型涂好．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答案不能答在試卷上．3．第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆在答卷紙各題的答題區(qū)域內(nèi)作答；不能寫在試題卷上，不按以上要求作答的答案無(wú)效．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A． B． C． D．2．如圖，在三棱柱中，M為的中點(diǎn)，若，，，則下列向量與相等的是（）A． B． C． D．3．若平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，則平面的法向量可以是（）A． B． C． D．4．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，是直線l的一個(gè)方向向量，則直線l與平面的位置關(guān)系是（）A．平行或直線在平面內(nèi) B．垂直C．相交但不垂直 D．不能確定5．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為（）A． B． C． D．6．如圖，已知正方形ABCD和正方形ADEF的邊長(zhǎng)均為6，且它們所在的平面互相垂直，O是BE的中點(diǎn)，，則線段OM的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．在正方體中，若F，G分別是棱AB，的中點(diǎn)，則直線FG與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，則二面角的大小為（）A．30° B．60° C．120° D．150°二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）命題，其中真命題為（）A． B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為10．下列命題中正確的是（）A．A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面B．已知為空間向量的一組基底，若，則也是空間向量的一組基底C．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線D．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線l與平面所成角的正弦值為11．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此之間的夾角都是60°，則下列說(shuō)法中正確的是（）A． B．C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為12．若將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則下列結(jié)論正確的有（）A．AD與BC所成的角為45° B．AC與BD所成的角為90°C．BC與平面ACD所成角的正弦值為 D．平面ABC與平面BCD所成角的正切值是第Ⅱ卷（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題目中橫線上）13．已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)x的值為______．14．已知，，，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)，則______．15．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面ABC，，M為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面MAB的距離為______．16．如圖，在三棱錐中，，且，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)，則異面直線SM與BN所成角的余弦值為______，直線SM與平面SAC所成角的大小為______．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為棱PC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足，求線段PF的長(zhǎng)．18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，平面ABCD，，．（1）求異面直線PB與CD所成角的大?。唬?）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．19．如圖1，在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，，現(xiàn)沿對(duì)角線BD把△ABD折起，折起后（如圖2）使的余弦值為．（1）求證：平面平面CBD；（2）若M是AB的中點(diǎn)，求折起后AC與平面MCD所成角的正弦值．20．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，．（1）求證：平面PAD；（2）在棱AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，說(shuō)明理由．21．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是梯形，，，，，，M為CD的中點(diǎn)，N為PB上一點(diǎn)，且．（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面PAD；（2）若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為，求異面直線AD與CN所成角的余弦值．22．如圖，四棱錐的底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，是等邊三角形，，E，F(xiàn)，G分別是棱PD，PC，BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面EFG；（2）求二面角的大??；（3）若線段PB上存在一點(diǎn)Q，使得平面ADQ，且，求的值．2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一9月模塊考試數(shù)學(xué)試題答案全解全析一、單項(xiàng)選擇題1．A∵復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．2．A．3．D設(shè)平面的法向量為，對(duì)于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，，且不共線向量，有共同的始點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確．故選D．4．A因?yàn)?，所以，故直線平面或直線平面．故選A．5．B解：∵向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，，∴，∴到的距離．6．B由題意可得DA，DC，DE兩兩互相垂直．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，．因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋?，所以，即線段OM的長(zhǎng)為．故選B．7．D解法一：過(guò)F作BD的平行線交AC于點(diǎn)M，連接MG，易證得平面，所以，即為直線FG與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，易得，，所以．解法二：以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，易得平面的一個(gè)法向量，，，所以．設(shè)直線FG與平面所成的角為，則．8．C取BC中點(diǎn)M，連接DM，由已知可得四邊形ADMB為正方形，易得DM，DA，DP兩兩互相垂直，故以點(diǎn)D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，易得，，所以即令，則，所以，所以．易知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的大小為120°．故選C．二、多項(xiàng)選擇題9．BD解析：解：，，A錯(cuò)誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；的虛部為，D正確．10．ABD對(duì)于A，A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則，，共面，則A，B，M，N四點(diǎn)共面，故A正確；對(duì)于B，已知為空間向量的一組基底，所以，，不共面，若，則，，也不共面，故也是空間向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋灾本€l與平面所成角的正弦值為，故D正確．故選ABD．11．AB由題意可知平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，所以，，所以A正確．，所以B正確．向量，顯然為等邊三角形，故，所以向量與的夾角是120°，即向量與的夾角是120°，所以C不正確．因?yàn)?，，所以，，，所以，所以D不正確．故選AB．12．BCD取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO．若將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則，，，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，∴，，∴，∴AD與BC所成的角為60°，故A不正確；易得，，∵，∴，故B正確；設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，則取，則，∴，又，設(shè)BC與平面ACD所成的角為，∴，故C正確；易知平面BCD的一個(gè)法向量，，，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則取，則，，∴，設(shè)平面ABC與平面BCD所成的角為，則，∴，，∴平面ABC與平面BCD所成角的正切值是，故D正確．故選BCD．三、填空題13．解：向量，，若，則，解得．故答案為：1．14．解：由共面向量定理，可設(shè)，其中x，，于是代入點(diǎn)的坐標(biāo)有：，得方程組：得，故答案為：1115．答案解析易知，，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)點(diǎn)B且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由M為PC的中點(diǎn)可得，，，．設(shè)為平面MBA的一個(gè)法向量，則即令，則，所以，所以點(diǎn)P到平面MAB的距離．16．答案；解析因?yàn)椋砸許為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，，所以，，所以，所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為．易得平面SAC一個(gè)法向量為，則由得，所以直線SM與平面SAC所成角的大小為．四、解答題17．解析（1）證明：易得AB，AD，AP兩兩互相垂直，故以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，∴，，∴，∴．（5分）（2）由（1）可得，，，由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)，，∴．∵，∴，解得，∴，即線段PF的長(zhǎng)為．（10分）18．解析（1）易得AB，AD，AP兩兩互相垂直，故以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，（2分）所以，．設(shè)異面直線PB與CD所成的角為，則，（4分）所以異面直線PB與CD所成角的大小為．（6分）（2）設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，由（1）可得，則即取，得，（9分）所以點(diǎn)D到平面PBC的距離．（12分）19．解析（1）證明：在菱形ABCD中，記AC，BD的交點(diǎn)為O，則，∵，∴．將折起后變成三棱錐，在中，．在中，，∴，即．又，，∴平面CBD．又平面ABD，∴平面平面CBD．（5分）（2）由（1）知OC，OD，OA兩兩互相垂直，故以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，（7分）則，，，，，（8分）∴，，．設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量為，則即取，則，，∴．（10分）設(shè)AC與平面MCD所成的角為，則，∴AC與平面MCD所成角的正弦值為．（12分）20．解析（1）證明：取PA的中點(diǎn)G，連接EG，DG．因?yàn)?，且，，所以，且，所以四邊形BEGA為平行四邊形，所以，且．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，，所以，且，所以四邊形CDGE為平行四邊形，所以．因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD．（4分）（2）易得AB，AD，AP兩兩互相垂直，故以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，（5分）所以，，．設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為，則令，則，，所以．（8分）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，如圖，連接EF，DF，DE，則，．設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為，則令，則，，所以．（10分）因?yàn)槠矫嫫矫鍼CE，所以，即，所以，故存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)．（12分）21．解析（1）證明：當(dāng)時(shí)，，在PA上取，連接EN，DE．∵，，，∴，且．∵M(jìn)為CD的中點(diǎn)，，∴．又∵，∴，，∴四邊形DMNE是平行四邊形，∴，又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．（5分）（2）過(guò)點(diǎn)D作于H，則，故DH，DC，DP兩兩互相垂直．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，（6分）則，，，，，∴，，，，則．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，則即令，則，，∴．（9分）設(shè)直線AN與平面PBC所成的角為，則，解得或（舍去），則，，設(shè)異面直線AD與CN所成的角為，易知，所以，所以異面直線AD與CN所成角的余弦值為．（12分）22．解析（1）證明：取AD的中點(diǎn)H，連接EH，GH．∵E，F(xiàn)，G，H分別是PD，PC，BC，