楚雄州數(shù)學(xué)一模試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2017年云南省楚雄州高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1．若集合A={y｜y=2x+2},B={x｜﹣x2+x+2≥0｝，則（）A．A?B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=?2．已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R），若z的虛部為2，則|z|=（）A．2 B．2 C． D．3．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，前n項和為Sn，若?n∈N*，都有Sn≤S10，則(）A．?n∈N*，都有an＜an﹣1 B．a(chǎn)9?a10＞0C．S2＞S17 D．S19≥04．“牟合方蓋"是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成,相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是(）A． B． C． D．5．若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是(）A．4 B．5 C．6 D．76．已知隨機變量x服從正態(tài)分布N(3，σ2），且P(x≤4）=0。84，則P(2＜x＜4）=（）A．0。84 B．0。68 C．0.32 D．0。167．使（x2+）n（n∈N)展開式中含有常數(shù)項的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知拋物線y2=2px(p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點A在l上的射影為A1．若｜AB｜=|A1B|,則直線AB的斜率為(）A．±3 B．±2 C．±2 D．±9．已知球O是某幾何體的外接球,而該幾何體是由一個側(cè)棱長為2的正四棱錐S﹣ABCD與一個高為6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，則球O的表面積為(）A． B．64π C．100π D．10．已知函數(shù)f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3,用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x)=min{f（x)，g（x）｝，則函數(shù)h（x)的零點個數(shù)為（)A．1 B．2 C．3 D．411．已知曲線f（x）=ex﹣與直線y=kx有且僅有一個公共點,則實數(shù)k的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．212．公差不為0的等差數(shù)列{an｝的部分項an1，a,a,…構(gòu)成等比數(shù)列{a}，且n2=2，n3=6,n4=22,則下列項中是數(shù)列｛a}中的項是（）A．a(chǎn)46 B．a(chǎn)89 C．a(chǎn)342 D．a(chǎn)387二、填空題（本大題共四小題,每小題5分)13．已知向量=（x﹣z，1），=(2，y+z），且，若變量x，y滿足約束條件，則z的最大值為．14．拋物線y2=﹣12x的準(zhǔn)線與雙曲線﹣=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于．15．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ)（A＞0,ω＞0,|φ|＜）的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的解析式為．16．在等比數(shù)列｛an}中，a3a7=8，a4+a6=6，則a2+a8=．三、解答題（本大題滿分60分，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17．（12分）如圖，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的長．（結(jié)果用θ表示）；(2)當(dāng)AB+BC=6時,試判斷△ABC的形狀．18．（12分）某單位利用周末時間組織員工進行一次“健康之路，攜手共筑”徒步走健身活動,有n人參加，現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為［25，30），［30，35］，[35，40）,［40，45）,[45，50）,［50，55］六組，其頻率分布直方圖如圖所示．已知［35,40）之間的參加者有8人．（1）求n的值并補全頻率分布直方圖；(2）已知［30,40）歲年齡段中采用分層抽樣的方法抽取5人作為活動的組織者，其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在[30，35）歲的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ)．19．（12分）如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．20．(12分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸為半徑的圓與直線2x﹣y+6=0相切．（1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）已知點A，B為動直線y=k(x﹣2)（k≠0）與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在點E，使2+?為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值，若不存在，說明理由．21．（12分)已知函數(shù)f(x)=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ)當(dāng)a=﹣1時，求函數(shù)f（x）的最小值;（Ⅱ)若x≥0時，f(﹣x)+ln（x+1）≥1，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ)求證：．請考生在第22、23兩題中選定一題作答，多答按所答第一題評分.作答時使用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：ρ2=4ρ(cosθ+sinθ）﹣6．若以極點O為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．(Ⅰ)求圓C的參數(shù)方程；（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點P（x,y）是圓C上動點,試求x+y的最大值，并求出此時點P的直角坐標(biāo)．[選修4-5：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+｜2x﹣1｜的最小值為a．(1）求a的值；（2）已知m,n＞0，m+n=a，求的最小值．

2017年云南省楚雄州高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．若集合A={y|y=2x+2}，B={x｜﹣x2+x+2≥0}，則（)A．A?B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=?【考點】18:集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】y=2x+2＞2，可得集合A=（2，+∞）．由﹣x2+x+2≥0，化為x2﹣x﹣2≤0,解出可得B=[﹣1，2]．再利用集合的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解:y=2x+2＞2,∴集合A=｛y｜y=2x+2}=（2,+∞）．由﹣x2+x+2≥0，化為x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴B={x｜﹣x2+x+2≥0}=[﹣1,2］．∴A∩B=?，故選:D．【點評】本題考查了集合的運算性質(zhì)、不等式的解法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．已知復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R）,若z的虛部為2，則｜z|=(）A．2 B．2 C． D．【考點】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算化簡復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足zi=2i+x（x∈R）,可得z==2﹣xi．若z的虛部為2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z｜=2故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算,復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，考查計算能力．3．若等差數(shù)列{an｝的公差d≠0，前n項和為Sn，若?n∈N*，都有Sn≤S10，則（）A．?n∈N*,都有an＜an﹣1 B．a(chǎn)9?a10＞0C．S2＞S17 D．S19≥0【考點】85：等差數(shù)列的前n項和；82：數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】由?n∈N*,都有Sn≤S10，a10≥0,a11≤0，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷．【解答】解：∵?n∈N＊，都有Sn≤S10,∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故選：D．【點評】本題注意等差數(shù)列的性以及等差數(shù)列的前n項和公式，是基礎(chǔ)題，4．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線．當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是()A． B． C． D．【考點】L7:簡單空間圖形的三視圖．【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合）在一起的方形傘（方蓋）．根據(jù)三視圖看到方向,可以確定三個識圖的形狀,判斷答案．【解答】解：∵相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合)在一起的方形傘（方蓋）．∴其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，∵俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上∴俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選:B【點評】本題考查了幾何體的三視圖,屬于基礎(chǔ)題．5．若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是(）A．4 B．5 C．6 D．7【考點】EF：程序框圖．【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語句，一旦不滿足條件就退出循環(huán)，執(zhí)行語句輸出i，從而到結(jié)論．【解答】解：模擬程序的運行，可得n=10,i=1執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n是奇數(shù)，n=5,i=2不滿足條件n=1，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件n是奇數(shù)，n=16，i=3不滿足條件n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n是奇數(shù)，n=8，i=4不滿足條件n=1，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n是奇數(shù)，n=4，i=5不滿足條件n=1,執(zhí)行循環(huán)體,不滿足條件n是奇數(shù)，n=2，i=6不滿足條件n=1,執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件n是奇數(shù)，n=1,i=7滿足條件n=1，退出循環(huán)，輸出i的值為7．故選：D．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，注意循環(huán)的變量的計算，考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題．6．已知隨機變量x服從正態(tài)分布N（3，σ2)，且P（x≤4）=0。84，則P(2＜x＜4）=（）A．0。84 B．0。68 C．0。32 D．0.16【考點】CP：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)對稱性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P(x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4)=0.84，∴P（x＞4)=1﹣0。84=0。16∴P（x＜2）=P(x＞4）=0.16，∴P（2＜x＜4）=P（x≤4)﹣P（x＜2）=0。84﹣0。16=0。68故選B．【點評】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,注意根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性解決問題．7．使（x2+）n(n∈N）展開式中含有常數(shù)項的n的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】DC：二項式定理的應(yīng)用．【分析】在二項展開式的通項公式中,令x的冪指數(shù)等于0，求出n與r的關(guān)系值,即可求得n的最小值．【解答】解：（x2+）n（n∈N）展開式的通項公式為Tr+1=??x2n﹣5r，令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常數(shù)項的n的最小值是5，故選：C．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．8．已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過點F的直線交拋物線于A,B兩點，點A在l上的射影為A1．若|AB|=|A1B|,則直線AB的斜率為（）A．±3 B．±2 C．±2 D．±【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)A，B到準(zhǔn)線的距離分別為2a，a，由拋物線的定義可得|AB｜=3a，利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出直線AB的斜率．【解答】解:設(shè)A在第一象限，直線AB的傾斜角為α．過B作準(zhǔn)線的垂線BB′,作AA′的垂線BC,∵｜AB|=|A1B|，∴C是AA′的中點．設(shè)｜BB′|=a,則|AA′｜=2a,∴｜AB｜=|AA′|+|BB′|=3a．∴cosα=cos∠BAC==,∴tanα=2,由拋物線的對稱性可知當(dāng)A在第四象限時,tanα=﹣2．∴直線AB的斜率為±2．故選：B．【點評】本題考查拋物線的定義,考查直線的斜率的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．9．已知球O是某幾何體的外接球，而該幾何體是由一個側(cè)棱長為2的正四棱錐S﹣ABCD與一個高為6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，則球O的表面積為（）A． B．64π C．100π D．【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】設(shè)球的半徑為R,AB=2x，S到平面ABCD的距離為+3=R,由勾股定理可得R2=32+2x2,由此求出R，即可求出球的表面積．【解答】解:設(shè)球的半徑為R，AB=2x,則球心到平面A1B1C1D1的距離為3S到平面ABCD的距離為+3=R,由勾股定理可得R2=32+2x2，∴R=5，x=2∴球的表面積為4πR2=100π．故選:C．【點評】本題考查球的表面積,考查學(xué)生的計算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵．10．已知函數(shù)f（x）=｜lnx｜﹣1,g（x）=﹣x2+2x+3，用min｛m,n｝表示m，n中的最小值,設(shè)函數(shù)h（x)=min{f（x），g(x）}，則函數(shù)h（x）的零點個數(shù)為(）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】根據(jù)min｛m，n｝的定義，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【解答】解：作出函數(shù)f(x）和g（x）的圖象如圖，兩個圖象的下面部分圖象,由g(x)=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x)=｜lnx｜﹣1=0，得x=e或x=,∵g（e）＞0,∴當(dāng)x＞0時,函數(shù)h（x）的零點個數(shù)為3個，故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．注意函數(shù)定義域的作用．11．已知曲線f（x)=ex﹣與直線y=kx有且僅有一個公共點,則實數(shù)k的最大值是()A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】由題意可得曲線和直線均過原點，判斷f（x）為奇函數(shù)且在R上遞增,當(dāng)直線y=kx與曲線相切，切點為(0，0），求得切線的斜率為2，討論k的變化，即可得到符合題意的k的最大值．【解答】解：由曲線f（x）=ex﹣與直線y=kx均過原點（0，0)，由f(﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x)=﹣f（x),可得f（x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱，且f′（x）=ex+e﹣x＞0，f（x)在R上遞增,由題意可得f（x）與直線y=kx有且僅有交點為（0，0),當(dāng)直線y=kx與曲線相切，切點為（0，0），切線的斜率為k=e0+e0=2，當(dāng)k＜0時，顯然只有一個交點（0，0），當(dāng)0≤k≤2時,顯然只有一個交點（0，0），當(dāng)k＞2時,有3個交點．則符合條件的k的最大值為2．故選：D．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于中檔題．12．公差不為0的等差數(shù)列｛an}的部分項an1,a，a，…構(gòu)成等比數(shù)列{a｝，且n2=2，n3=6，n4=22,則下列項中是數(shù)列｛a}中的項是(）A．a(chǎn)46 B．a(chǎn)89 C．a(chǎn)342 D．a(chǎn)387【考點】84：等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意a2，a6，a22成等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的公比q，從而寫出等比數(shù)列{akn｝的通項公式，再驗證選項是否正確即可．【解答】解：等差數(shù)列｛an｝中，a2，a6，a22構(gòu)成等比數(shù)列，∴（a1+5d）2=(a1+d）（a1+21d），且d≠0，解得d=3a1，∴等比數(shù)列的公比為q===4；又等差數(shù)列｛an｝的通項公式為an=a1+（n﹣1）×3a1=3a1n﹣2a1=（3n﹣2）a1，∴等比數(shù)列｛akn｝的通項公式為akn=a1×4n﹣1，且a46=a1+45d=136a1，a89=a1+88d=265a1，a342=a1+341d=1024a1=a1?45，a387=a1+386d=1159a1,∴a342是數(shù)列｛a｝中的項．故選：C．【點評】本題考查了數(shù)列中某一項的判斷問題，解題時要認(rèn)真審題,注意等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)的合理運用．二、填空題（本大題共四小題，每小題5分）13．已知向量=（x﹣z，1），=（2,y+z），且，若變量x，y滿足約束條件,則z的最大值為3．【考點】7C:簡單線性規(guī)劃；9R:平面向量數(shù)量積的運算．【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域；將目標(biāo)函數(shù)變形，畫出其相應(yīng)的圖象；結(jié)合圖，得到直線平移至（1,1）時，縱截距最大，z最大，求出z的最大值．【解答】解:由得（x﹣z，1)（2，y+z）=0，即z=2x+y，畫出不等式組的可行域，如右圖，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋簔=2x+y，作出y=﹣2x的圖象，并平移，由圖可知，直線過B點時，在y軸上的截距最大，此時z的值最大：求出B點坐標(biāo)(1,1）Zmax=2×1+1=3，故答案為：3．【點評】本題考查畫不等式組表示的平面區(qū)域、平面向量數(shù)量積的運算，考查數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值．14．拋物線y2=﹣12x的準(zhǔn)線與雙曲線﹣=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于．【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線的方程算出其準(zhǔn)線方程為x=3，由雙曲線的方程算出漸近線方程為y=±x，從而得到它們的交點M、N的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式算出△OMN的面積，可得答案．【解答】解:∵拋物線方程為y2=﹣12x，∴拋物線的焦點為F（﹣3,0），準(zhǔn)線為x=3．又∵雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x．∵直線x=3與直線y=±x相交于點M(3，）,N（3，﹣），∴三條直線圍成的三角形為△MON，以MN為底邊、O到MN的距離為高,可得其面積為S=×|MN｜×3=×［﹣（﹣)］×3=3．故答案為:．【點評】本題給出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形，求三角形的面積．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．15．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0，|φ｜＜）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為y=sin（2x+）．【考點】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的周期，進而求出ω和φ即可得到結(jié)論．【解答】解：由圖象得A=，=﹣=，則周期T=π=，則ω=2，則y=sin（2x+φ)，當(dāng)x=時，y=﹣,則sin(2×+φ)=﹣，即sin（π+φ）=﹣1即π+φ=﹣+2kπ，即φ=﹣+2kπ,k∈Z，∵｜φ|＜，∴當(dāng)k=1時，φ=﹣+2π=，則函數(shù)的解析式為y=sin(2x+），故答案為:y=sin（2x+)【點評】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，根據(jù)三角函數(shù)圖象求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．16．在等比數(shù)列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6,則a2+a8=9．【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6,解得,．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6,解得,．∴q2=2或．則a2+a8==9．故答案為:9．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題．三、解答題（本大題滿分60分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（12分）（2017?楚雄州一模）如圖,在△ABC中,∠B=，AC=2．（1)若∠BAC=θ，求AB和BC的長．（結(jié)果用θ表示）；（2）當(dāng)AB+BC=6時，試判斷△ABC的形狀．【考點】GZ：三角形的形狀判斷．【分析】(1）根據(jù)正弦定理來求邊AB、BC的長度;（2)由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6,結(jié)合和差化積公式得到θ的值,由此可以判定△ABC的形狀為鈍角三角形．【解答】解：（1)由正弦定理得:=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ)．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以,8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ)=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=,或θ=．∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查了三角形形狀的判斷．解題時,利用了正弦定理，和差化積公式等知識點，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分)（2017?楚雄州一模)某單位利用周末時間組織員工進行一次“健康之路,攜手共筑”徒步走健身活動，有n人參加，現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為［25，30），［30，35］,［35，40），[40，45）,［45，50）,［50,55］六組，其頻率分布直方圖如圖所示．已知［35,40）之間的參加者有8人．(1）求n的值并補全頻率分布直方圖;(2）已知［30，40）歲年齡段中采用分層抽樣的方法抽取5人作為活動的組織者,其中選取3人作為領(lǐng)隊，記選取的3名領(lǐng)隊中年齡在［30，35）歲的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差;B8：頻率分布直方圖；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）先求出年齡在［35,40）之間的頻率,由此能求出n，從而能求出第二組的頻率,進而能求出第二組的矩形高,由此能補全頻率分布直方圖．(2）由（1)知,[30,35）之間的人數(shù)為12，又［35，40)之間的人數(shù)為8，采用分層抽樣抽取5人,其中［30,35）歲中有3人，［35，40)歲中有2人，由題意，隨機變量ξ的甩有可能取值為1,2,3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）年齡在[35,40)之間的頻率為0。04×5=0。2，∵=0。2，∴n==40，∵第二組的頻率為：1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，∴第二組的矩形高為:=0。06，∴頻率分布直方圖如右圖所示．（2）由（1）知，[30，35)之間的人數(shù)為0。06×5×40=12，又[35，40）之間的人數(shù)為8，∵[30,35）歲年齡段人數(shù)與［35，40）歲年齡段人數(shù)的比值為12：8=3：2,∴采用分層抽樣抽取5人，其中［30,35）歲中有3人，［35，40）歲中有2人，由題意，隨機變量ξ的甩有可能取值為1,2,3,P（ξ=1)==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列為：ξ123PEξ==．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．19．(12分）（2017?楚雄州一模）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）證明：AB⊥A1C;（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．【考點】MR:用空間向量求平面間的夾角；MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（Ⅰ）取AB中點O，連CO，OA1，A1B,由題設(shè)條件推導(dǎo)出△A1AB為正三角形，從而得到A1O⊥AB,由CA=CB，得到CO⊥AB,由此能夠證明AB⊥A1C．(Ⅱ)以O(shè)A為x軸，以O(shè)A1為y軸，以O(shè)C為z軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明:取AB中點O，連CO，OA1，A1B，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，∴△A1AB為正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O=O，∴AB⊥平面COA1，∵A1C?平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解:∵AB=CB=2,AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°,∴CO=A1O==，∵A1C=，∴=，∴OC⊥A1O，∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，建立如圖空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，O（0，0，0），A（1，0，0）,，C（0，0,）,設(shè)平面AA1C的法向量為，則，,∴，∴=(，1,1），平面向量ACB的法向量=（0，1，0），cos＜＞==．∴二面角B﹣AC=A1的余弦值為．【點評】本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．20．（12分)（2017?楚雄州一模）已知橢圓C：=1（a＞b＞0)的離心率為，以原點O為圓心,橢圓C的長半軸為半徑的圓與直線2x﹣y+6=0相切．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）已知點A，B為動直線y=k（x﹣2）（k≠0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在點E，使2+?為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值，若不存在，說明理由．【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）求得圓O的方程，由直線和圓相切的條件：d=r,可得a的值,再由離心率公式,可得c的值，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b，由此能求出橢圓的方程；(2）由直線y=k(x﹣2）和橢圓方程，得(1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韋達定理、向量的數(shù)量積,結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點E，使?為定值,定點為(，0）．【解答】解：(1）由離心率為，得=,即c=a,①又以原點O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2，且與直線相切,所以，代入①得c=2，所以b2=a2﹣c2=2．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．(2）由，可得（1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2)（12k2﹣6)＞0，即為6+6k2＞0恒成立．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2)，所以x1+x2=，x1x2=，根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點E（m，0），使得為定值,則有=（x1﹣m，y1)?(x2﹣m，y2）=（x1﹣m)?(x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m)+k2(x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+(4k2+m2）=（k2+1）?﹣（2k2+m）?+（4k2+m2）=,要使上式為定值，即與k無關(guān)，則應(yīng)3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即，此時=為定值，定點E為．【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題,注意韋達定理、向量的數(shù)量積、橢圓性質(zhì)的合理運用．21．（12分）（2017?楚雄州一模）已知函數(shù)f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R)．(Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時，求函數(shù)f(x）的最小值；(Ⅱ)若x≥0時,f（﹣x)+ln（x+1）≥1,求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）求證：．【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值;（Ⅱ）得到ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（＊）令g（x）=ex+ax+ln(x+1）﹣1，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足條件的a的具體范圍即可;(Ⅲ)令a=2，得到，從而證出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時,f(x)=e﹣x+x，則．…1分令f’（x）=0，得x=0．當(dāng)x＜0時,f'（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f’（x）＞0．…2分∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞減,在區(qū)間（0，+∞)上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值,其值為f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0時，f（﹣x）+ln(x+1）≥1，即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（＊）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，則．①若a≥﹣2，由(Ⅰ)知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x,故ex≥1+x．∴．…4分∴函數(shù)g(x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)