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培優(yōu)課三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達標練1.若函數(shù)是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.設(shè)函數(shù)既有極大值又有極小值,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C., D.,3.在等比數(shù)列中,,是函數(shù)的極值點,則()A.或2 B. C.2 D.4.若函數(shù)在上有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是.5.已知函數(shù),若過點可作函數(shù)圖象的兩條切線,則實數(shù).6.設(shè)函數(shù).(1)求在處的切線方程;(2)求的極值點和極值.7.已知函數(shù).(1)若函數(shù)在點處的切線方程為,求,的值;(2)當(dāng),時,記在區(qū)間上的最大值為,最小值為,求的取值范圍.B層能力提升練8.若函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)既存在最大值也存在最小值,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.對于三次函數(shù),現(xiàn)給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是的導(dǎo)數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”,任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù),則()A. B.0 C.1 D.10.設(shè),若為函數(shù)的極大值點,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù),其中實數(shù),,則下列結(jié)論錯誤的是()A.必有兩個極值點B.當(dāng)有且僅有3個零點時,的取值范圍是C.當(dāng)時,點是曲線的對稱中心D.當(dāng)時,過點可以作曲線的3條切線12.(多選題)函數(shù),下列對函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是()A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.若,則函數(shù)有極值點C.若,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若函數(shù)有且只有3個零點,則的取值范圍是13.已知函數(shù),若對恒成立,則實數(shù)的取值范圍為.14.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且,,則下列說法正確的是.(填序號)①;②曲線在處的切線斜率最??;③函數(shù)在內(nèi)存在極大值和極小值;④在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.15.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)是否存在,,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1?若存在,求出,的所有值;若不存在,說明理由.16.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,,且,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.C層拓展探究練17.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).(1)若,且在內(nèi)有且只有一個零點,求的值.(2)若,且有三個不同的零點,問是否存在實數(shù)使得這三個零點成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.(3)若,,試討論是否存在,使得.培優(yōu)課三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分層作業(yè)A層基礎(chǔ)達標練1.D2.B3.C4.(,)(,3)5.0或16.(1)解,所以,,在處的切線方程為,即.(2)令,則,解得,.當(dāng)時,可得,即的單調(diào)遞減區(qū)間為,;當(dāng)或時,可得,即的單調(diào)遞增區(qū)間為,,,所以的極大值點為,極小值點為.因為,,所以極大值是,極小值是.7.(1)解由題知,,,,即解得(2)當(dāng),時,,.令,即,解得.因為,所以,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,所以,即.因為,,,所以,即,所以.令,則,即函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即,所以的取值范圍是,.B層能力提升練8.A[解析]由,得或,可以判斷在處取得極小值,在處取得極大值.令,得或;令,得或.作出的大致圖象如圖所示,由題意知函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最大、最小值只能在和處取得,則解得.故的取值范圍是.故選.9.B[解析]由,得,所以.由,得,解得,而,即的對稱中心為,所以,則.故選.10.D[解析]若,則為單調(diào)函數(shù),無極值點,不符合題意,故,所以有和兩個不同零點,且在左右附近是不變號的,在左右附近是變號的.依題意,為函數(shù)的極大值點,所以在左右附近都是小于零的.當(dāng)時,由,,畫出的圖象如圖1所示.圖1由圖可知,,故.當(dāng)時,由,,畫出的圖象如圖2所示.圖2由圖可知,,故.故選.11.B[解析]對于,.令,得或.因為,所以令,得或,令,得,所以在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,在處取得極小值,故正確;對于,要使有且僅有3個零點,只需即所以,所以的取值范圍是,故錯誤;對于,當(dāng)時,,,,所以點是曲線的對稱中心,故正確;對于,,設(shè)切點為,所以在點處的切線方程為.又因為切線過點,所以,解得.令,,所以過點可以作曲線的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點個數(shù).令,得或.因為,所以令,得或,令,得,則在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,.如圖,當(dāng)時,與的圖象有3個交點,即過點可以作曲線的3條切線,故正確.故選.12.AD[解析]對于,因為,所以,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,故正確;對于,,當(dāng)時,,函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),此時函數(shù)沒有極值點,故錯誤;對于,當(dāng)時,由,得,又因為當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故錯誤;對于,,當(dāng)時,,函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù),故不存在三個零點,不符合題意,當(dāng)時,由,得.又因為時,,時,,時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的極小值是,極大值是因為函數(shù)有三個不同的零點,所以解得,故正確.故選.13.,)[解析]令,易可知恒成立,且,則當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增,則對恒成立,滿足題意;當(dāng)時,因為函數(shù)為奇函數(shù),所以可得,解得,則.綜上,實數(shù)的取值范圍為.14.②③④[解析]因為,,所以,即.因為,所以,,即,,,的符號不確定,故①錯誤;由,可得在處取得最小值,即在處的切線斜率最小,故②正確;由,可得與軸有兩個交點,則函數(shù)在內(nèi)存在極大值和極小值,故③正確;于是,,,當(dāng)時,因為,,則在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點,當(dāng)時,因為,,則在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點,故導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點,故④正確.15.(1)解的定義域為,.令,解得或.①當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時,函數(shù)在,,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減.③當(dāng)時,函數(shù)在,,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減.(2)由(1),得①當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,,解得,,滿足條件.②當(dāng)時,函數(shù)在,上單調(diào)遞減.當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,則解得滿足題意.當(dāng),即時,函數(shù)在,上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,則的最小值為,化簡得.而,,所以的最大值為或.若解得,矛盾,舍去.若解得或,矛盾,舍去.綜上,存在或滿足條件.16.(1)解由題意,函數(shù),可得.①當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減.③當(dāng)時,令,即,解得或;令,即,解得,所以在,,,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時,函數(shù),由(1)可知在上單調(diào)遞減.不妨設(shè),則,,所以,即,即對任意的,成立,所以在上單調(diào)遞增,則,即對恒成立.令,可得.令,即,解得;令,即,解得或,所以在,上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,當(dāng)時,函數(shù)取得最大值,最大值為,所以,即實數(shù)的取值范圍為,.C層拓展探究練17.(,,[解析]函數(shù)令,則.令,得,.①當(dāng),即時,令,即,解得或;令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,,,單調(diào)遞減區(qū)間是,.又因為,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,,,單調(diào)遞減區(qū)間是,,,滿足條件,故(此種情況函數(shù)的圖象如圖1).圖1②當(dāng),即時,,函數(shù)的圖象如圖2,則的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,滿足條件,故.圖2③當(dāng),即時,令,即,解得或;令,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,,,單調(diào)遞減區(qū)間是,.又因為,所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,,,單調(diào)遞減區(qū)間是,,,要使在上單調(diào)遞增,必須滿足,即.又因為,所以(此種情況函數(shù)的圖象如圖3).圖3綜上,實數(shù)的取值范圍是.18.(1)解,函數(shù),.令,可得或.當(dāng)時,,由三次函數(shù)的圖象可知,,在內(nèi)沒有零點,所以,在內(nèi)有且只有一個零點,可得,即,解得.(2),當(dāng)時,,此時不存在三個不同的零點;當(dāng)時,函數(shù),,,有兩個根,.要使有三個不同的零點,則極大值與極小值的乘積小于0,即.不妨設(shè)的三個零點為,,,且,則,,,,,
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