等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式２１等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第一課時(shí)在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系情景引入地球和月球快與慢思考1：實(shí)數(shù)可以比較大小，對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有哪幾種可能？a＞b，a＝b，a＜b思考2：任何一個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，那么大數(shù)與小數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系如何？右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大點(diǎn)的關(guān)系：數(shù)的關(guān)系：點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)a＞b點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)a＜b點(diǎn)A和點(diǎn)B重合a=babAB思考關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的大小，有以下基本事實(shí)：如果a-b是正數(shù)，那么a＞b;如果a-b等于0，那么a=b;如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a＜b基本事實(shí)也可以表示為：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b?概念要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與０的大?。北容^（＋２）（＋３）和（＋１）（＋４）的大小．例題講解分析：通過(guò)考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與０的大小關(guān)系，可以得出它們的大小關(guān)系．作差法解：因?yàn)椋ǎ玻ǎ常ǎ保ǎ矗剑?＋５＋６）－（2＋５＋４）＝２＞０，所以（＋２）（＋３）＞（＋１）（＋４）作差步驟：作差，變形，定號(hào)【練習(xí)】1比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大小：12＋3與3；2已知a，b均為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大小．針對(duì)練習(xí)2a3＋b3－a2b＋ab2＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2a－b－b2a－b＝a－ba2－b2＝a－b2a＋b．∵a>0，b>0且a≠b，∴a－b2>0，a＋b>0∴a3＋b3－a2b＋ab2>0，即a3＋b3>a2b＋ab2

針對(duì)練習(xí)【練習(xí)】，y，∈R，比較52＋y2＋2與2y＋4＋2－2的大小．∵52＋y2＋2－2y＋4＋2－2＝42－4＋1＋2－2y＋y2＋2－2＋1＝2－12＋－y2＋－12≥0，∴52＋y2＋2≥2y＋4＋2－2，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)＝?且＝1時(shí)取等號(hào)練習(xí)3針對(duì)練習(xí)如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是（）趙爽，又名嬰，字君卿，生平不詳約182---250年。中國(guó)數(shù)學(xué)家。東漢末至三國(guó)時(shí)代吳國(guó)人。他是我國(guó)歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。情景引入勾股定理趙爽弦圖觀察圖形的變化趙爽弦圖你能從左邊的圖中找出哪些相等關(guān)系和不等關(guān)系呢？

4個(gè)直角三角形的面積和為２ab，正方形的面積為a2＋b2．由于正方形ABCD的面積大于４個(gè)直角三角形的面積和，我們就得到了一個(gè)不等式a2＋b2＞２ab思考：當(dāng)a=b時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況？正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2＋b2＝２ab一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥２ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．思考能否利用作差比較a2＋b2與２ab的大小解:a2＋b2－２ab＝（a－b）2因?yàn)閍，b∈R，（a－b）2≥０，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，所以a2＋b2≥２ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立思考證明：圓的面積大于與它具有相同周長(zhǎng)的正方形的面積．并據(jù)此說(shuō)明，人們通常把自來(lái)水管的橫截面制成圓形，而不是正方形的原因．分析：設(shè)周長(zhǎng)相等為L(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)和正方形的周長(zhǎng)公式分別求得圓的半徑和正方形的邊長(zhǎng)；再利用圓的面積公式和正方形的面積公式分別表示出它們的面積進(jìn)行比較即可解決問(wèn)題．1我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b，那么（ab）2的值是？解：根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理a2b2=13，四個(gè)三角形的面積=4×ab=13-1，∴2ab=12，聯(lián)立解得：（ab）2=1312=25．故答案為：25．點(diǎn)評(píng)：注意觀察圖形：發(fā)現(xiàn)各個(gè)圖形的面積和a，b的關(guān)系．針對(duì)練習(xí)針對(duì)練習(xí)>b>c，且a＋b＋c＝0，則b2－4ac0填“>”“<”或“＝”解析：∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a＋c，∴b2＝a2＋c2＋2ac∴b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝a－c2∵a>c，∴a－c2>0，∴b2－4ac>0針對(duì)練習(xí)3．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，abc>0，則＋＋的值(

)A．一定是正數(shù) B．一定為負(fù)數(shù)C．可能為0 D．正負(fù)不定4．已知，y均為正數(shù)，設(shè)m＝＋n＝，比較m和n的大小．針對(duì)練習(xí),y滿足0<y<1且0<y<1y,那么,y的取值范圍是。A>1且y>1 B0<<1且y<1C0<<1且0<y<1 D>1且0<y<1解析：∵y<1y,∴-yy-1<0,∴1-yy-1<0,∴-11-y<0,∴-1y-1>0,∴>1,y>1或<1,y