數(shù)學物理方程 3Bessel 函數(shù)

本章主要內(nèi)容第3章Bessel

函數(shù)用分離變量法求解多個自變量的方程，自變量個數(shù)3.1二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法二階線性常微分方程的如下形式y(tǒng)

+p(x)y

+q(x)y=f(x)稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性方程.

f

(x)稱為自由項，當

f(x)0時，稱為二階線性非齊次微分方程，簡稱二階線性非齊次方程.

當

f(x)恒為

0時，稱為二階線性齊次常微分方程，

簡稱二階線性齊次方程.

定理

1

如果函數(shù)y1

與y2

是線性齊次方程的兩個解，y=C1y1+C2y2仍為該方程的解，其中

C1，

C2

是任意常數(shù).則函數(shù)

定義設函數(shù)y1(x)和y2(x)

是定義在某區(qū)間I

上的兩個函數(shù)，k1y1(x)+

k2y2(x)

=0如果存在兩個不全為0的常數(shù)k1和k2，使在區(qū)間I

上恒成立.則稱函數(shù)y1(x)與y2(x)在區(qū)間上是線性相關的，否則稱為線性無關.

定理

2如果函數(shù)y1

與y2

是二階線性齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的兩個線性無關的解，y=C1y1+C2y2是該方程的通解，則其中C1,C2為任意常數(shù).

定理

3如果函數(shù)y*

是線性非齊次方程的一個特解，y=Y+y*，是線性非齊次方程的通解.Y是該方程所對應的線性齊次方程的通解，則求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：

(1)

求線性齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的線性無關的兩個解y1與y2，得該方程的通解Y=C1y1+C2y2.

(2)

求線性非齊次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)的一個特解y*.那么，線性非齊次方程的通解為y=Y+y*.

y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)+f2

(x)，y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)，和y

+p(x)y

+q(x)y=f2

(x)則是方程①

的特解.定理

4設二階線性非齊次方程為①②③的特解，3.1.1二階常系數(shù)線性常微分方程的解法如果二階線性常微分方程為y

+py

+qy=f(x)，其中p、q均為常數(shù)，則稱該方程為二階常系數(shù)線性常微分方程.設二階常系數(shù)線性齊次方程為y

+py

+qy=

0.考慮到左邊p，q均為常數(shù)，我們可以猜想該方程具有y=erx形式的解，其中r

為待定常數(shù).將y

=rerx,y

=r2erx

及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.二階常系數(shù)線性齊次常微分方程的解法由于erx

0，因此，只要r

滿足方程r2+pr+q=0，即r

是上述一元二次方程的根時，

y=erx就是④式的解.方程⑤稱為方程④的特征方程.特征方程的根稱為特征根.④⑤得1

特征方程具有兩個不相等的實根r1與r2，因而方程的通解為所以y1

與y2

線性無關，都是④的解，即r1

r2.那么，這時函數(shù)2

特征方程具有兩個相等的實根，即這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個解y1=erx.還需再找一個與y1線性無關的解y2，將y2

及其一階、二階導數(shù)y

2=(c(x)erx)

=erx(c(x)+rc(x))，為此，設y2=c(x)y1，其中c(x)為待定函數(shù).y

2=erx(c(x)+2rc(x)+r2c(x))，代入方程y+py+qy=0中，得注意到是特征方程的重根，所以有r2+

pr+

q=0及2r

+

p=0.且erx

0，因此只要c(x)滿足則y2=cerx就是④式的解，為簡便起見，取方程c(x)=0的一個解c(x)=x，于是得到方程④且與y1=erx

線性無關的解y2=xerx.因此，④式的通解為

3

特征方程具有一對共軛復根r1=a+ib與r2=a–ib.這時有兩個線性無關的解y1=e(a+ib)x與y2=e(a-ib)x.這是兩個復數(shù)解，為了便于在實數(shù)范圍內(nèi)討論問題，我們再找兩個線性無關的實數(shù)解.由歐拉公式可得于是有由定理1知，以上兩個函數(shù)eax

cosbx與eaxsinbx

均為④

式的解，且它們線性無關.因此，這時方程的通解為上述求二階常系數(shù)線性齊次常微分方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：(1)

寫出所給方程的特征方程；(2)

求出特征根；

(3)

根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應的特解，并寫出其通解.例

1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

-2r–3=0,它有兩個不等的實根r1=-1，r2=3,

其對應的兩個線性無關的特解為y1=e-

x

與y2=e3x,所以方程的通解為

例

2

求方程y

-4y

+4y=0

的滿足初始條件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

該方程的特征方程為r2

-4r

+4=0，求得將y(0)=1，y

(0)=4代入上兩式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其對應的兩個線性無關的特解為y1=e2x

與y2=xe2x，所以通解為因此，所求特解為它有重根r=2.例

3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為2r2

+2r

+3=0，它有共軛復根對應的兩個線性無關的解為所以方程的通解為例

4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

+4=0，它有共軛復根r1,2=2i.即a=0，b=2.對應的兩個線性無關的解

y1=cos2x.

y2=sin2x.所以方程的通解為注：第二章分離變量法經(jīng)常出現(xiàn)的兩個常微分方程通解為通解為二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程的解法1

自由項

f(x)為多項式Pn(x).設二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程為y

+

py

+

qy=Pn(x),其中Pn(x)為x

的n

次多項式.當原方程⑥

中

y

項的系數(shù)q

0時，k

取

0；當q

=0，但

p

0時，k

取

1；當p

=0，q

=0時，k取2.⑥因為方程中p、q均為常數(shù)且多項式的導數(shù)仍為多項式，所以可設⑥

式的特解為其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項式，例

5

求方程y

-2y+y

=x2

的一個特解.解

因為自由項f(x)

=x2

是x的二次多項式，則代入原方程后，有且y

的系數(shù)q=10，取k=0.所以設特解為比較兩端x

同次冪的系數(shù)，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解為例

6

求方程y

+

y

=x3–x+

1的一個特解.解

因為自由項f(x)

=x3–x+

1是一個x的三次多項式，則代入原方程后，有且y

的系數(shù)q=0，p=1

0，取k=1.所以設方程的特解為比較兩端x

同次冪的系數(shù)：解得故所求特解為2

自由項

f(x)為Aeax

型設二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程為y

+

py

+

qy=Aeax，其中a，A

均為常數(shù).由于p，q

為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，其中B為待定常數(shù)，

當

a

不是⑦

式所對應的線性齊次方程的特征方程

r2+pr+q=0的根時，取

k=0；當

a

是其特征方程單根時，取

k=1；

當

是其特征方程重根時，取

k=2.⑦因此，我們可以設⑦

的特解當

a

不是特征方程

r2+pr+q=0的根時，取

k=0；當

a

是其特征方程單根時，取

k=1；當

是其特征方程重根時，取

k=2.例

7

求方程y

+

y+y

=2e2x

的通解.

解

a=2不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設特解為.B72=例

8

求方程y

+2y

-3y

=ex

的特解.

解

a=1是特征方程r2+2r

-3=0的單根，取k=1，則代入方程，得故原方程的特解為所以，設特解為,41=B注：第二章分離變量法出現(xiàn)的非齊次常微分方程P42一個特解為3

自由項

f(x)為eax

(Acoswx+Bsinwx)型設二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程為y

+

py

+

qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A

，B

均為常數(shù).由于p，q

為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，因此,我們可以設⑧有特解⑧其中C，D

為待定常數(shù).取

k=0，是根時，取

k=1。

當

a+wi

不是

⑧

式所對應的齊次方程的特征方程的根時，當

a+wi

不是

特征方程的根時，取k=0當

a+wi

是

特征方程的根時，取k=1例9

求方程y

+3y

-

y

=excos2x

的一個特解.

解

自由項f(x)=excos2x

為eax(Acoswx+Bsinwx)

型的函數(shù)，則且a

+

wi

=

1+2i，它不是對應的常系數(shù)線性齊次常微分方程的特征方程r2

+3r–1=0的根，取k=0，所以設特解為代入原方程，得比較兩端cos2x與sin2x的系數(shù)，得解此方程組，得故所求特解為例

10

求方程y

+

y

=sinx

的一個特解.

解

自由項f(x)

=sinx

為eax(Acoswx+Bsinwx)型的函數(shù)，且a

=

0，w=1，則代入原方程，得且a

+

wi

=

i

是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，設特解為比較兩端sinx

與cosx

的系數(shù)，得故原方程的特解為而對應齊次方程y

+

y=0的通解為Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解為例11

方程y

+4y

=x+1+sinx

的通解.

解

自由項f(x)

=x+1+sinx可以看成f1

(x)

=x+1和f2

(x)

=sinx

之和，y

+4y

=x+1，y

+4y

=sinx.和⑨⑩方程⑨

的特解易求得，設方程

⑩

的特解為的特解.所以分別求方程代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解原方程所對應的線性齊次方程為

y

+4y

=0，其通解為Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解為3.1.2變系數(shù)線性方程的冪級數(shù)解法定理3.1考慮下面的二階變系數(shù)線性常微分方程

y

+p(x)y

+q(x)y=0(3.1.3)如果p(x)、q(x)在x0的鄰域解析，即在該鄰域可展成Taylor級數(shù)，則方程（3.1.3）有如下形式的解析解其中可由待定系數(shù)法求出。例12求解下列方程根據(jù)定理3.1，可設解為將該級數(shù)求一階和二階導數(shù)并將y(x),y

(x)和y(x)代入到原方程或，它們都是R上的解析函數(shù)。解：本題此即可得將上面的結果代入到得系數(shù)全為零解：此題，它們都是R上的解析函數(shù)。根據(jù)定理3.1，可設，將該級數(shù)帶入原方程，可得或又代入到（1），可得展開可得系數(shù)全為零，可得代入，可得

例13

求解下列方程根據(jù)定理3.1，可設解為將該級數(shù)求一階和二階導數(shù)并將y(x),y

(x)和y(x)代入到原方程，它們在(-1,1)解析。解：本題此即系數(shù)全為零或將上面的結果代入到得可得作業(yè)P76習題3第一題(2)(4)

3.2Bessel函數(shù)3.2.1Γ函數(shù)記為Γ函數(shù)。它對任意有定義，該廣義積分收斂。Γ函數(shù)具有下面兩條性質(zhì)證明下面求記利用極坐標變換可得所以利用性質(zhì)還可得到例1計算下列積分解（1）延拓問題，將定義域延拓到定義則在區(qū)間（-1,0）有定義。類似可以定義在區(qū)間（-2，-1）上的值，如此繼續(xù)下去，可以擴充到整個實軸（去掉負實數(shù)點集），其圖象如下：3.2.2

Bessel方程和Bessel函數(shù)設，二階線性常微分方程稱為r階Bessel方程。r階Bessel方程可以寫成利用冪級數(shù)解法，待定系數(shù)，注意到定理3.2考慮下面的二階變系數(shù)線性常微分方程

y

+p(x)y

+q(x)y=0(3.1.5)如果解析，即，方程(3.1.5)有如下形式的解析解其中可由待定系數(shù)法求出。在的鄰域最多為p(x),q(x)的一階和二階極點。則在該去心鄰域令其中和為待定常數(shù)。有帶入(1)，得即整理，有有即比較前面的系數(shù)，可得由于，故有首先取則由（4）可得如果選取，則有代入到得到原方程的一個解此函數(shù)稱為r階Bessel函數(shù)，通常記如果則由（4）式可得如果選取，則有代入到得到原方程的另一個解此函數(shù)稱為-r階Bessel函數(shù)，通常記注1

當r為正整數(shù)時，例如，取對于，當時的系數(shù)等于零。特別r=m(m為正整數(shù))時，有所以，對所有的實數(shù)r，都有意義。求解過程失效。

注2

記表達式中冪級數(shù)部分的系數(shù)為，直接計算可得即表達式中冪級數(shù)部分的收斂半徑為無窮大。類似可證表達式中冪級數(shù)部分的收斂半徑也為無窮大。因此，中冪級數(shù)部分是兩個在實數(shù)軸上的解析函數(shù)。

注3

注意到在x=0右連續(xù)而在x=0的鄰域無界，故當r>0不等于整數(shù)時，是線性無關的，它們構成原方程的一個基解組。當r=m(m為正整數(shù))時，直接計算可得令n階第一類貝塞爾函數(shù)

1

r不為整數(shù)時，貝塞爾方程的通解和線性無關n階第二類貝塞爾函數(shù)（Neumann函數(shù)）

n為整數(shù)時2

r為整數(shù)時，貝塞爾方程的通解A、B為任意常數(shù)，n為任意正整數(shù)作業(yè)P76習題3第七題(1)第十三題(3)(4)3.2.3貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1有界性

性質(zhì)2奇偶性

當n為正整數(shù)時