第2章-應變分析修改課件

2023/9/27周書敬第二章應變分析1在靜力學理論中，通常假定物體是剛性的，即在力的作用下，構成該物體質(zhì)點之間的距離保持不變。前章建立平衡條件時，就忽略了固體變形，即假定固體是剛體。實際上剛體是不存在，所有物體在某種程度上都是可以變形的，也即是說，在力的作用下，實際物體質(zhì)點之間的距離總是要發(fā)生變化的。一個物體是否可以被假定為剛體，關鍵在于剛體假定的有效范圍。本章從幾何學的觀點出發(fā)分析研究物體的變形。反映物體變形規(guī)律的數(shù)學方程也有兩類，即幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程。由于這兩類方程都是基于物體連續(xù)性的假定從幾何學出發(fā)得到的，并不涉及產(chǎn)生變形的原因和物體的材料性質(zhì)，所以它們均屬于“普適方程”。2023/8/7周書敬第二章應變分析1在2023/9/27周書敬第二章應變分析2前面討論了受力物體的應力，現(xiàn)在開始討論物體的變形。在外力作用下，物體各點的位置要發(fā)生改變，即發(fā)生位移。如果物體各點發(fā)生位移后仍保持各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體實際上只產(chǎn)生了剛體移動和轉(zhuǎn)動，將這種位移稱為剛體位移。如果物體各點發(fā)生位移后改變了各點間初始狀態(tài)的相對位置，則物體就同時產(chǎn)生了形狀的變化，統(tǒng)稱該物體產(chǎn)生了變形。（書圖2－1）2023/8/7周書敬第二章應變分析2前2023/9/27周書敬第二章應變分析3第一節(jié)

一點的應變狀態(tài)應變與位移的關系

為了確定正應變的定義，在一受拉桿上有線段AB，在變形后，變?yōu)椋ㄒ娪覉D）。若線段AB的長度為，變形后的A點的物體不論是發(fā)生空間的剛體運動或?qū)嵭螤畹淖兓?，終歸體現(xiàn)為物體內(nèi)部每一點產(chǎn)生位移；因而，只要確定了物體內(nèi)各點的位移，物體的變形狀態(tài)也就確定了。因此研究物體內(nèi)一點的變形是很重要的。2023/8/7周書敬第二章應變分析3第一節(jié)一點的應2023/9/27周書敬第二章應變分析4下面我們討論一般情況，給出應變的概念。設在直角坐標系中，變形前A點的坐標是（x，y，z），變形后的坐標是（x+u，y+v，z+w），這里u，v，w是A點的位移在x，y，z三軸上的投影，它們都是坐標x，y，z的連續(xù)函數(shù)，而且位移的導數(shù)也是連續(xù)的。定義：正應變（2－1）顯然，如果變形的分布是均勻的，則有:即：材料力學的拉伸應變。（2－2）位移是u，而B點的位移是u+

u，則線段增加了

u。2023/8/7周書敬第二章應變分析4下面我們討2023/9/27周書敬第二章應變分析5

設由變形體中取出一個微小六面體（見書中圖2－3變形體的投影），在研究微小六面體的變形時，采用的分析方法是將六面體的各面投影到直角坐標系的各個坐標平面上，研究這些平面投影的變形，并根據(jù)這些投影的變形規(guī)律來判斷整個平行六面體的變形。由于變形很微小，所以可以認為兩個平行面在坐標面上的投影只相差高階的微量，因而，兩個平行面的投影可以合并為一個投影面。2023/8/7周書敬第二章應變分析52023/9/27周書敬第二章應變分析6首先，研究平行六面體在xoz面上的投影ABCD（見書中圖2－4）。在變形前六面體A點的坐標為（x，y，z），在六面體變形時，投影上的A點移到了點，同時而整個ABCD移到。設A點的位移是u，w，它們是坐標的函數(shù)，因此有：

（2－3）

2023/8/7周書敬第二章應變分析6首先，研究2023/9/27周書敬第二章應變分析7而B點的坐標為（x+dx，y，z），因此B點在x方向的位移為：

根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，可得：

略去高階項后得到：（2－4）

由于則AB在x軸上的投影的伸長量為，則有：

2023/8/7周書敬第二章應變分析7而B點的坐標為（x2023/9/27周書敬第二章應變分析8同理可得平行于y軸和z的邊長的正應變，因此有：（2－5）

下面研究六面體的剪應變，即各直角的改變。（見圖）

取變形前的直角BAC或，變形時，棱邊轉(zhuǎn)動一個角度，棱邊轉(zhuǎn)動一個角度，在xoz平面內(nèi)，角應變用表示，其值為和之和，即：

（2－6）

若A點在z軸方向的位移為，

當大于零時，表示線段伸長，反之表示縮短。2023/8/7周書敬第二章應變分析8同理可得平行于y2023/9/27周書敬第二章應變分析9圖：位移矢量在xoz平面上的投影返回2023/8/7周書敬第二章應變分析9圖：位移矢量在xo2023/9/27周書敬第二章應變分析10則B點在Z軸方向的位移為，

B點與A點沿Z軸方向的位移之差為:

在直角三角形中，可得：

在分母中（）與1相比是一個微量，故可以略去，因而得出，

2023/8/7周書敬第二章應變分析10則B點在Z軸方2023/9/27周書敬第二章應變分析11同理可得：

所以有剪應變：同理可得另外兩個剪應變。即有剪應變的表達式（2－7）

（2－7）

說明：剪應變的正負號2023/8/7周書敬第二章應變分析11同理可得：所以2023/9/27周書敬第二章應變分析12所以，正應變和剪應變的表達式為（2－8）：（2－8）

式（2－8）稱為柯西（Cauchy）幾何關系。[式(2－8)的提出者：法國工業(yè)學院的數(shù)學教授柯西（Cauchy）(1789－1857)，于1822年發(fā)表的論文提出的]注意：書中P48給出了幫助記憶的圖形（圖2－5）?？芍喝绻阎灰品至靠梢院芎唵蔚那蟪鰬兎至浚环粗?，則問題比較復雜。2023/8/7周書敬第二章應變分析12所以，正應變和剪2023/9/27周書敬第二章應變分析13利用類似的方法，可以導出柱坐標表示的幾何方程為式（2－9）：

（2－9）2023/8/7周書敬第二章應變分析13利用類似2023/9/27周書敬第二章應變分析14其中，分別表示一點位移在徑向（r方向），環(huán)向（方向）以及軸向（z方向）的分量。

對于平面問題，柱坐標變?yōu)闃O坐標，則平面極坐標表示的幾何方程為：

（2－10）

下面給出式（2－10）的推導過程。

2023/8/7周書敬第二章應變分析14其中，2023/9/27周書敬第二章應變分析15首先假定只有徑向位移而沒有環(huán)向位移：

如圖（2－6）所示，在P點沿徑向和環(huán)向取兩個微段PA和PB，設PA移到了，位移為u；PB移到了，則P，A，B三點的位移分別為：徑向位移圖2023/8/7周書敬第二章應變分析15首先假定只有徑向2023/9/27周書敬第二章應變分析16則PA的正應變?yōu)椋?/p>

PB的正應變?yōu)椋?/p>

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為：

所以有：

2023/8/7周書敬第二章應變分析16則PA的正應變?yōu)?023/9/27周書敬第二章應變分析17其次，假定只有環(huán)向位移而沒有徑向位移:

見圖2－7，由于P點的環(huán)向位移v，徑向線段PA移段到了，環(huán)向線段PB移到了，則P，A，B三點的位移分別為：

可見：徑向線段PA的正應變?yōu)椋簣D2-7環(huán)向位移圖2023/8/7周書敬第二章應變分析17其次，假定只有環(huán)2023/9/27周書敬第二章應變分析18環(huán)向線段PB的正應變?yōu)椋?/p>

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為：

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為：

2023/8/7周書敬第二章應變分析18環(huán)向線段PB的正2023/9/27周書敬第二章應變分析19所以剪應變?yōu)椋?/p>

因此，如沿徑向和環(huán)向都有位移，則根據(jù)疊加原理可得式（2－10）。

對于軸對稱問題：，，則式（2－10）的平面極坐標幾何方程為（2－11）

（2－11）

對于球?qū)ΨQ問題：變形的幾何方程為式（2－12）

（2－12）

2023/8/7周書敬第二章應變分析19所以剪應變?yōu)椋?023/9/27周書敬第二章應變分析20注意：書中P47對方程（2－10）的相關項進行了解釋，自己看一下。2023/8/7周書敬第二章應變分析20注意：2023/9/27周書敬第二章應變分析21第二節(jié)

應變狀態(tài)分析

現(xiàn)在已知物體內(nèi)任一點P的六個應變分量，試求經(jīng)過該點（P點）的沿N方向的任一微小線段PN＝dr的正應變，以及經(jīng)過P點的微小線段PN和的夾角的改變。

令PN的方向余弦為l、m、n，則PN在坐標軸上的投影為：

2023/8/7周書敬第二章應變分析21第二節(jié)應變2023/9/27周書敬第二章應變分析22（2－13）

設P點的位移分量為u，v，w，則N點的位移分量為：略去高階項（小量）得：

同理可得：即有式（2－14）2023/8/7周書敬第二章應變分析22（2－13）設2023/9/27周書敬第二章應變分析23（2－14）

在變形后，線段PN在坐標軸上的投影為（2－15）式：即

（2－15）

2023/8/7周書敬第二章應變分析23（2－14）在2023/9/27周書敬第二章應變分析24令線段PN的正應變?yōu)?，則該線段變形后的長度為：而且有

（2－16）

上式兩邊同除以，并利用（2－13）式得：

2023/8/7周書敬第二章應變分析24令線段P2023/9/27周書敬第二章應變分析25因為和位移分量的導數(shù)都是微小的，它們的平方和乘積可以不計，可得：

利用，上式可得：

再利用幾何方程可得：

（2－17）

2023/8/7周書敬第二章應變分析25因為2023/9/27周書敬第二章應變分析26下面來求PN和的夾角的改變

設PN在變形后的方向余弦為，則由式（2－13）和式（2－15）可以得到：

注意到，都是微小量，在展開上式后，略去二階以上的微小量得：

2023/8/7周書敬第二章應變分析26下面來求PN和2023/9/27周書敬第二章應變分析27同理可得出，即得出式（2－18）

（2－18）

與此類似，設線段在變形之前的方向余弦為，則其在變形后的方向余弦為：2023/8/7周書敬第二章應變分析27同理可得出2023/9/27周書敬第二章應變分析28（2－19）

（2－20）

其中，是的正應變。

令PN和在變形之前的夾角為，變形之后的夾角為，則有：

2023/8/7周書敬第二章應變分析28（2－19）（2023/9/27周書敬第二章應變分析29將式（2－18）和（2－19）代入，并略去高階微量可得：

利用幾何方程，并注意到，則有：（2－21）

由此可求出，進而可求得。

2023/8/7周書敬第二章應變分析29將式（2－18）2023/9/27周書敬第二章應變分析30由此可見：在物體內(nèi)的任一點，如果已知六個應變分量，就可以求出經(jīng)過該點的任一線段的正應變，也可以求得經(jīng)過該點的任意兩線段之間的夾角的改變。這就是說，六個應變分量完全決定了這一點的應變狀態(tài)。

2023/8/7周書敬第二章應變分析30由此2023/9/27周書敬第二章應變分析31第三節(jié)主應變在研究一點的應力狀態(tài)時，可以找到三個相互垂直的沒有剪應力作用的平面，將這些面稱為主平面，而這些平面的法線方向稱為主方向。在研究應變問題時，同樣可以找到三個相互垂直的平面，在這些平面上沒有剪應變，將這些面稱為應變主平面，而這些平面的法線方向稱為應變主方向。對應于該主方向的正應變稱為主應變。2023/8/7周書敬第二章應變分析31第三節(jié)主應變2023/9/27周書敬第二章應變分析32一點的應變狀態(tài)也可以用張量表示，這時引進符號

（2－22）（書：2－13）

則應變張量為：

（2－23）（書：2－14）

通常稱為“工程剪應變”2023/8/7周書敬第二章應變分析32一點的應2023/9/27周書敬第二章應變分析33應變張量還可以寫為：

式中的不同符號可以交換使用，這就要看在某些特定用途中哪個用起來更方便。2023/8/7周書敬第二章應變分析33應變張量還可以寫2023/9/27周書敬第二章應變分析34下面分析如何確定主應變：

在直角坐標系空間中取一微小線段，設A點在x方向的位移為u，則有B點在x方向的位移為：

圖2-8略去高階微量得：

顯然（或由全微分概念）有：

2023/8/7周書敬第二章應變分析34下面分析如何確定2023/9/27周書敬第二章應變分析35進一步可寫成式（2－24）（書：2－15）

（2－24）（書：2－15）

這里要注意的是：當一個物體從一個位置變形到另一個空間位置（圖2－9）時，其中可能包括一部分剛體位移（平動或轉(zhuǎn)動），而這部分位移不引起形變，其實式（2－24）中的和恰恰表示物體的微小剛性轉(zhuǎn)動。（下頁圖）

圖2-92023/8/7周書敬第二章應變分析35進一步可寫成式（2023/9/27周書敬第二章應變分析36B點的三部分位移一般來說，對于可變形固體而言，與物體內(nèi)任一點A無限臨近的一點B的位移有三個部分組成：1、隨同A點的一個平動位移，如圖中的所示；2、繞A點的剛性轉(zhuǎn)動在B點所產(chǎn)生的位移，如圖中的所示；3、由于A點臨近微元體的形狀變化在B點引起的位移，如圖所示，這部分位移與應變張量分量有關。2023/8/7周書敬第二章應變分析36B點的三部分位移2023/9/27周書敬第二章應變分析37因此，當考慮純變形時有：

（2－25）（書：2－16）

如果用張量表示，則為

其中，j稱為“啞標”（表示求和）。

現(xiàn)在取一微小四面體O123（圖2－10），為法線方向，設斜面123上只有正應變（即主平面），則有：2023/8/7周書敬第二章應變分析37因此，當考慮純變2023/9/27周書敬第二章應變分析38并且一定為要求的主應變。

（成比例是因為與方向一致）

（書：2－17）

代入式（2－25）（書：2－16）得出：（書：2－18）

（2－26）（書：2－18）

2023/8/7周書敬第二章應變分析38并且一定為2023/9/27周書敬第二章應變分析39若上式有非零解，必須有“系數(shù)行列式為零”，可得：

（2－27）（書：2－19）

其中，為應變第一、二、三不變量，且有：

（2－28）（書：2－20）

2023/8/7周書敬第二章應變分析39若上式有非零解，2023/9/27周書敬第二章應變分析40若方程式（2－27）可以因式分解，則應有：

式中，為主應變。用主應變表示的應變不變量將為：

（書：2－20）

在主應變平面上，剪應變?yōu)榱?。則由方程（2－27）可以求出三個主應變。

2023/8/7周書敬第二章應變分析40若方程式（2－22023/9/27周書敬第二章應變分析41增例1：已知物體中任意一點的位移分量如下式表示，試比較點A（1，2，3）與點B（0.5，-1，0）的最大伸長值（絕對值）。解：利用幾何方程求得應變分量為：2023/8/7周書敬第二章應變分析41增例2023/9/27周書敬第二章應變分析42點A的應變分量值為：應變不變量為：該點的主應變值可由下式確定，即為計算方便，令代入上式，得2023/8/7周書敬第二章應變分析42點A的應變分量2023/9/27周書敬第二章應變分析43以代入上式，消去二項式，得此方程的解為：由此得A點的主應變?yōu)椋汗庶cA的最大伸長的絕對值為可以用獲得的三個主應變之和是否等于第一應變不變量的值，檢驗所得結(jié)果是否正確。2023/8/7周書敬第二章應變分析43以2023/9/27周書敬第二章應變分析44用同樣的方法可以求得點B的主應變?yōu)椋汗庶cB的最大伸長的絕對值為由以上計算可知，點A最大伸長值大于點B的最大伸長的絕對值。2023/8/7周書敬第二章應變分析44用同2023/9/27周書敬第二章應變分析45增例2：已知物體中某點的應變分量為：試求該點的主應變方向。解：首先計算應變不變量，并解三次方程，求得主應變值為為求解主應變方向，利用下列方程組：2023/8/7周書敬第二章應變分析452023/9/27周書敬第二章應變分析46將代入上式，第一式自然滿足，其余兩個方程式為以上兩式的唯一解為。為滿足，則有。即的方向余弦為（1，0，0）。2023/8/7周書敬第二章應變分析46將2023/9/27周書敬第二章應變分析47將代入方程組，得由第一式得。由二、三式可得。再由得，由該式求得，而。即的方向余弦為（0，0.585，0.811）。同樣可求得的方向余弦為（0，-0.811，0.585，）2023/8/7周書敬第二章應變分析47將2023/9/27周書敬第二章應變分析48第四節(jié)

應變張量和應變偏量

仿照應力張量分解，應變張量可以分解為與體積變化有關的“球形應變張量”和與物體形狀變化有關的“應變偏量”。利用書中（2－14）式可以分解為：

其中球形應變張量為：

（2－30）（書：2－22）

一、應變張量的分解2023/8/7周書敬第二章應變分析48第四節(jié)應變2023/9/27周書敬第二章應變分析49應變偏量可寫為：

式中，為平均正應變。

其中，，，稱為“應變偏量分量”?？蓪憺椋?/p>

2023/8/7周書敬第二章應變分析49應變偏量2023/9/27周書敬第二章應變分析50（2－32）（書：2－23）2023/8/7周書敬第二章應變分析50（2－32）（書2023/9/27周書敬第二章應變分析51若用主應變表示應變偏量，則有式（2－33）（書：2－24）（2－33）（書：2－24）

三個坐標平面為應變主平面在主應變?yōu)樽鴺说膽兛臻g中有：由應變偏量張量的定義式（書2-23）可見，它是一個實對稱二階張量，因此，存在三個主值及其相應的主方向?？梢宰C明，應變偏量張量的主方向與應變張量的主方向一致，而且它的主值e1，e2，e3與應變張量的主應變存在如左的關系。2023/8/7周書敬第二章應變分析51若用主應變表示應2023/9/27周書敬第二章應變分析52注意：純剪應變狀態(tài)的條件與純剪應力狀態(tài)的條件相同，即純剪變形的必要且充分條件是，因此，為純剪狀態(tài)且與有相同的主軸。同樣，應變偏量增量也存在三個不變量，它們分別表示為：當用張量給出一點的應變狀態(tài)時，需注意2023/8/7周書敬第二章應變分析52注意：純剪應變狀2023/9/27周書敬第二章應變分析53其三次方程為：二、體積應變在考慮塑性變形時，經(jīng)常采用“體積不變”假設，這時球形應變張量為零，應變偏量等于應變張量，即“應變分量與應變偏量的分量相等”，這一假設，對于簡化計算來了方便?，F(xiàn)在我們來研究每單位體積的體積改變，即體積應變。

2023/8/7周書敬第二章應變分析53其三次方程為：二2023/9/27周書敬第二章應變分析54設有微小的正平行六面體，它的棱邊長度是：

變形前它的體積為：

變形后它的體積稱為：因此，它的體積應變?yōu)椋?/p>

對于小應變（忽略高階微量）有：

驗證體積不變假設的成立2023/8/7周書敬第二章應變分析54設有微小2023/9/27周書敬第二章應變分析55（2－34）

由此則有：顯然，若體積不變，則必有球形應變張量為零成立，且有。在主應變空間：

對于小應變有：

2023/8/7周書敬第二章應變分析55（2－34）由2023/9/27周書敬第二章應變分析561、主剪應變（工程主剪應變）

（2－35）（書：2－25）

三、相關結(jié)論

與應力分析類似。在應變分析中也有一些相應的公式，下面給出有關結(jié)論：如果，則最大剪應變?yōu)椋海?－36）（書：2－26）

2023/8/7周書敬第二章應變分析561、主剪應變（工2023/9/27周書敬第二章應變分析57（1）等傾面（或稱八面體面）的剪應變?yōu)?，則有：

（2－37）（書：2－27）

2、八面體應變（正應變、剪應變）對任意一組坐標軸x，y，z的應變分量的八面體剪應變可寫為：2023/8/7周書敬第二章應變分析57（1）等傾面（或2023/9/27周書敬第二章應變分析58單向拉伸情況：可得

此時的應變張量為：

平均應變?yōu)?3、單向拉抻時的應變

（2）等傾面（或稱八面體面）的正應變?yōu)?，則有：

（三個主應變的平均值）2023/8/7周書敬第二章應變分析58單向拉伸情況：可2023/9/27周書敬第二章應變分析59應變偏量的分量為：

（書：2－28）

球形應變張量為：

2023/8/7周書敬第二章應變分析59應變偏量的分量為2023/9/27周書敬第二章應變分析60應變偏量為：

在以主應變?yōu)樽鴺溯S的主應變空間內(nèi)討論。4、應變強度（等效應變）

（2－39）（書：2－30）當體積不可壓縮時，令，稱為應變強度或等效應變。

這里之所以不稱為應變強度，而又引進符號，是因為要與應力分析中的情況相一致。

2023/8/7周書敬第二章應變分析60應變偏量為：2023/9/27周書敬第二章應變分析615、應變率應變率：在變形過程中，單位時間中應變值的增量稱為“應變率”。即：

（2－41）（書：2－31）

根據(jù)小變形的幾何關系，可得應變率分量：即：應變率分量等于位移率分量對相應坐標的偏導數(shù)，也等于應變分量對時間的偏導數(shù)。見書中解釋。

2023/8/7周書敬第二章應變分析615、應變率2023/9/27周書敬第二章應變分析62（2－42）（書：2－34）

增加：關于應變率的推導

在小變形的條件下，設物體內(nèi)任一點速度在坐標軸上的投影為：2023/8/7周書敬第二章應變分析62（2－42）增加2023/9/27周書敬第二章應變分析63其中,此處用到“小變形”假設：即在小變形條件下，（a）物體內(nèi)各點的位置坐標因變形而有的改變可以忽略不計，即初始位置與瞬時位置坐標可以不加區(qū)別；（b）此處，還可以略去物體內(nèi)各點的位移梯度分量的影響，用對時間的偏導數(shù)代替全導數(shù)。應變率分量用符號表示為：則有：類推得（書中2-34）式，與應變張量相似，可得應變率張量。2023/8/7周書敬第二章應變分析63其中,此2023/9/27周書敬第二章應變分析64在塑性力學中經(jīng)常使用應變增量的概念。實驗證明，靜力學中塑性變形規(guī)律和時間因素是沒有關系的，此處dt并不代表時間，因此，用應變增量來代替應變率往往更能表示塑性靜力學應變不受時間參數(shù)影響的特點。即：通常使用的不是應變率張量，而是在時間步長或dt內(nèi)的應變增量。應變增量：

6、應變增量2023/8/7周書敬第二章應變分析642023/9/27周書敬第二章應變分析65有了應變增量的概念，則可描述應變成比例變化或不成比例變化時的規(guī)律。7、應變強度增量

在比例變形的條件下，在應變空間是一條直線，而當各應變分量的變化不成比例時，在三個坐標軸互成120°角的坐標中，將是一條折線或曲線，如圖2－17（書P63）。2023/8/7周書敬第二章應變分析65有了應變2023/9/27周書敬第二章應變分析66如果變形過程是兩條折線組成的，則這一情況表示兩個比例變形的過程。當變形由曲線表示時，則可認為變形過程的總應變強度等于曲線的總長度，即應變強度不僅與初始應變狀態(tài)和最終應變狀態(tài)有關，而且還與應變歷史即變形過程有關。

由圖2－17可見，應變強度增量與應變增量分量，和有關。（2－43）（書：2－36）

[注：的表達式中，只有簡單加載條件下才有]2023/8/7周書敬第二章應變分析662023/9/27周書敬第二章應變分析67此式即為應變強度增量的表達式，它是各應變分量增量的函數(shù)。在塑性力學中，當應變較大時，需采用另外一種表示應變的方法。

8、工程應變有一截面為而長度為的受拉構件，在某一時刻其長度達到而截面積為，且桿件伸長量為，則應變增量及應變的表達方法如下：

工程應變：假設兩質(zhì)點相距，變形后為，則有工程應變表達式（2－44）：

2023/8/7周書敬第二章應變分析672023/9/27周書敬第二章應變分析68（2－44）

對數(shù)應變：設某瞬時的應變增量為，積分后得到對數(shù)應變的表達式（2－45）：

（2－45）（書：2－37）

（2－46）（書：2－38）

顯然有對數(shù)應變和工程應變之間的關系為：2023/8/7周書敬第二章應變分析68（2－44）2023/9/27周書敬第二章應變分析69截面收縮率：

（2－47）

其中A0為初始時截面面積，A為某一時刻的截面面積。

若材料為不可壓縮，則有：

（

）

或

（2－48）

不同應變指數(shù)之間的關系見書中表2-2（P65）2023/8/7周書敬第二章應變分析69截面收縮率2023/9/27周書敬第二章應變分析70增例3：給定一點的應變張量計算：（a）主應變、和；（b）最大剪應變；（c）八面體應變和。解：（a）計算應變不變量，求主應變。2023/8/7周書敬第二章應變分析70增例3：給定一點2023/9/27周書敬第二章應變分析71特征方程變?yōu)榛蚯蟮萌齻€主應變?yōu)?023/8/7周書敬第二章應變分析71特征方程變?yōu)榛蚯?023/9/27周書敬第二章應變分析72校核：用、和的值代入三個不變量的表達式，以校核所得結(jié)果。（b）計算最大剪應變。（c）八面體應變和。2023/8/7周書敬第二章應變分析72校核：用2023/9/27周書敬第二章應變分析73增例4：一點的應變狀態(tài)由給定的應變張量表示確定：（a）應變偏量張量；（b）應變偏量不變量和；（c）單位體積的體積變化（膨脹）。2023/8/7周書敬第二章應變分析73增例4：一點的應2023/9/27周書敬第二章應變分析74解：（a）計算平均應變。所以有應變偏量張量為：（b）計算不變量。2023/8/7周書敬第二章應變分析74解：（a）計算平2023/9/27周書敬第二章應變分析75（c）單位體積的體積變化（膨脹）。即在該應變張量表示的應變狀態(tài)下，該點附近體元的體積減小。2023/8/7周書敬第二章應變分析75（c）單位體積的2023/9/27周書敬第二章應變分析76第五節(jié)應變協(xié)調(diào)方程（連續(xù)性方程、

相容方程）

（Equationsofcompatibility）

在研究物體變形時，一般都取一個平行六面體進行分析，物體在變形時，各相鄰的小單元不能是互相無關的，必然是相互有聯(lián)系的，因此應該認為是物體在變形前是連續(xù)的，變形后仍然是連續(xù)的，連續(xù)物體應變之間關系的數(shù)學表達式即為“應變協(xié)調(diào)方程”。

2023/8/7周書敬第二章應變分析76第五節(jié)應變協(xié)2023/9/27周書敬第二章應變分析77（2－8）

方程組(2-8)表示的幾何方程表明，六個應變分量是通過三個位移分量表示的，這六個應變分量不是互不相關的，它們之間必然存在著一定的聯(lián)系。這一事實很重要，因為如果我們知道了位移分量，則容易通過(2-8)式獲得應變分量；但是反過來，如果純粹從數(shù)學角度任意給出一組“應變分量”,2023/8/7周書敬第二章應變分析77（2－8）2023/9/27周書敬第二章應變分析78則幾何方程給出了包含六個方程而只有三個未知函數(shù)的偏微分方程組，由于方程的個數(shù)超過了未知函數(shù)的個數(shù)，方程組可能是矛盾的。要使這方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件。下面的任務就是建立這個條件。為此，我們要設法從方程組（2-8）中消去所有的位移分量。設物體中的某一點的坐標是（x，y，z），其位移是u、v、w，應變?yōu)?，，若已知u、v、w，則應變便可用位移表示；如果在表達式中消去位移u、v、w，則可得到應變之間的關系。

2023/8/7周書敬第二章應變分析78則幾何方程給出了2023/9/27周書敬第二章應變分析79處理方式：現(xiàn)對正應變分別對y、x

取兩次偏微分，則有：

將以上兩式相加，可得：

這里,我們利用了位移分量具有三階的連續(xù)偏導數(shù)的性質(zhì)。因為，

所以有：

2023/8/7周書敬第二章應變分析79處理方式2023/9/27周書敬第二章應變分析80同理可得另外兩個類似的方程，故有式（2－49）（書：2－39）

（2－49）（書：2－39）

這是一組相容方程。

2023/8/7周書敬第二章應變分析80同理可得另外兩個2023/9/27周書敬第二章應變分析81若取剪應變的表達式：

將上式的分別對求一階偏導數(shù)，可得：

2023/8/7周書敬第二章應變分析81若取剪應變的表達2023/9/27周書敬第二章應變分析82將上式中的第一式與第三式相加，然后減去第二式，則可得：再對求導得出：

同理可得另外兩式，即有式（2－50）（書：2－40）：

（2－50）（書：2－40）

這是又一組相容方程。

2023/8/7周書敬第二章應變分析82將上式中的第一式2023/9/27周書敬第二章應變分析83綜合以上（2-49、50）[書2-39、40]兩式，有：該式稱為“變形協(xié)調(diào)方程式”或“變形的協(xié)調(diào)方程”，又稱為圣維南（Saint-Venant）方程。是圣維南首次導出的。

(2-51)2023/8/7周書敬第二章應變分析83綜合以上（2-42023/9/27周書敬第二章應變分析84其實，通過上述相似的變化，可以導出無窮多組相容方程，但是可以證明，如果滿足了上式[(2－49)和(2－50)兩組相容方程]，就可以保證位移的連續(xù)性。

上式表示要使以位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則六個應變分量必須滿足應變協(xié)調(diào)方程。

方程意義的幾何解釋：如將物體分割成無數(shù)個微分平行六面體，并使每一個微元體發(fā)生變形。這時如果表示微元體變形的六個應變分量不滿足一定的關系，則在物體變形后，微元體之間就會出現(xiàn)“撕裂”或“套疊”等現(xiàn)象，從而破壞了變形后物體的整體性和連續(xù)性。為使變形后的微元體能重新拼2023/8/7周書敬第二章應變分析84其實，通2023/9/27周書敬第二章應變分析85合成連續(xù)體，則應變分量就要滿足一定的關系，這個關系就是應變協(xié)調(diào)方程。因此說，應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程，是保證物體連續(xù)的一個必要條件。

需要說明的幾點：

1、可以證明：如果物體是單聯(lián)通的，則應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程還是物體連續(xù)的充分條件。從數(shù)學的觀點來看，也就是說，如果應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程，則對于單聯(lián)通物體，就一定能通過幾何方程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。

2、如果能正確地求出物體各點的位移函數(shù)u，v，w，并根據(jù)幾何方程求出各應變分量，則應變協(xié)調(diào)方程自然滿足。2023/8/7周書敬第二章應變分析85合成連續(xù)體，則應2023/9/27周書敬第二章應變分析86

3、從物理意義來看，如果位移函數(shù)是連續(xù)的，變形自然也就是可以協(xié)調(diào)。

4、計算時，采用位移法求解，應變協(xié)調(diào)方程可以自然滿足；而采用應力法求解，則需要同時考慮應變協(xié)調(diào)方程。

5、對于多聯(lián)通物體，我們總可以作適當?shù)慕孛媸顾兂蓡温?lián)通物體，如此則上述的結(jié)論完全適用。具體的說，如果應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程，則在此被割開后的區(qū)域里，一定能求得單值連續(xù)的函數(shù)u，v，w。但是對求得的u，v，w，他們在截面兩側(cè)趨向于截面上某一點的值一般是不相同的，為了使考察的多聯(lián)通物體在變形后仍2023/8/7周書敬第二章應變分析862023/9/27周書敬第二章應變分析87保持為連續(xù)體，必須加上下列的補充條件：式中：分別為與截面同一點無限臨近的兩側(cè)點的位移。因此，對于多聯(lián)通物體，應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程，只是物體連續(xù)的必要條件，只有加上補充條件，條件才是充分的。

6、對于平面應變問題，有：

則相容方程只有（2－49）中的第一式。

2023/8/7周書敬第二章應變分析87保持為連續(xù)體，必2023/9/27周書敬第二章應變分析88柱坐標中的相容方程：用相同的方法可以導出柱坐標中的變形協(xié)調(diào)條件為式（2－52）（書：2－41），即：

已知柱坐標系中物體內(nèi)任意一點的六個應變分量所滿足的幾何方程的形式為：（2－9）2023/8/7周書敬第二章應變分析88柱坐標中的2023/9/27周書敬第二章應變分析89（2－52）（書：2－41）

2023/8/7周書敬第二章應變分析89（2－52）2023/9/27周書敬第二章應變分析90極坐標中相容方程（平面應變問題）我們知道：對平面問題，柱坐標變?yōu)闃O坐標()，幾何方程為（2-10）：由于，變形協(xié)調(diào)條件只剩下（2－52）中的第三式，即：

（2－10）

2023/8/7周書敬第二章應變分析90極坐標中相容方程2023/9/27周書敬第二章應變分析91（2－53）（書：2－42）

軸對稱問題的相容方程：

對于軸對稱平面應變問題，應變分量與無關，變形協(xié)調(diào)條件簡化為式（2－54），即：（2－54）（書：2－43）

式（2－54）的左邊項可由式（2－53）的第二項獲得：即：

2023/8/7周書敬第二章應變分析91（2－53）軸對2023/9/27周書敬第二章應變分析92

應變協(xié)調(diào)方程的物理意義：如果將變形體分解為許多微元體，每個微元體的變形都用六個應變分量描述。若應變分量不滿足應變協(xié)調(diào)方程，則這些微元體將不能構成一個連續(xù)體，因為這時可能會出現(xiàn)裂紋或發(fā)生重疊。滿足應變協(xié)調(diào)方程便能保證變形前后物體的連續(xù)性，因此，連續(xù)介質(zhì)的應變狀態(tài)是否可能，需要利用應變協(xié)調(diào)方程來檢驗。

球坐標系下的相容方程：幾何方程和應變協(xié)調(diào)方程見相關書籍。

2023/8/7周書敬第二章應變分析92應變協(xié)調(diào)2023/9/27周書敬第二章應變分析93舉例：例1（書中P68）已知下列的應變分量是物體變形時產(chǎn)生的，試求系數(shù)之間應滿足的關系式。平面應變問題解：該應變狀態(tài)屬于平面應變狀態(tài)，這些應變分量應滿足變形協(xié)調(diào)條件，即書中（2-39）式的第一式。本題的目的是應變協(xié)調(diào)方程的應用。2023/8/7周書敬第二章應變分析932023/9/27周書敬第二章應變分析94由應變分量可得：將以上各式代入應變協(xié)調(diào)條件可得：在物體內(nèi)任一點上，即x、y為任意值時，上式皆應成立，因此得上式即為系數(shù)應滿足的條件，而系數(shù)可為任意常數(shù)。2023/8/7周書敬第二章應變分析94由應變分量可得：2023/9/27周書敬第二章應變分析95例2（書P69）：在平面軸對稱情況下，軸向應變?yōu)槌?shù)，試確定其余兩個應變分量和的表達式（材料是不可壓縮的）。該問題是軸對稱平面應變問題。解釋：

軸對稱平面應變問題的相容方程（書中式2-43）為：

積分該式可得出上式。

令：2023/8/7周書敬第二章