七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題08 規(guī)律題方法總結(jié)與例題專(zhuān)訓(xùn)（解析版）

/專(zhuān)題08規(guī)律題方法總結(jié)與例題專(zhuān)訓(xùn)【知識(shí)點(diǎn)睛】常見(jiàn)規(guī)律題類(lèi)型周期性循環(huán)特點(diǎn)：常以3個(gè)或4個(gè)數(shù)據(jù)為一周期，以此循環(huán)往復(fù)；總數(shù)比較大，常和年份結(jié)合考察處理方法步驟：1.找出第一周期的幾個(gè)數(shù)，確定周期數(shù)2.算出題目中的總數(shù)和待求數(shù)3.用總數(shù)÷周期數(shù)=m……n（表示這列數(shù)中有m個(gè)整周期，最后余n個(gè)）4.最后余幾，待求數(shù)就和每周期的第幾個(gè)一樣；周期性遞變循環(huán)特點(diǎn)：常以2個(gè)或3個(gè)一周期，后邊的每組，周期數(shù)不變，但是數(shù)據(jù)的大小會(huì)以相同的關(guān)系遞增或遞減；處理方法：同周期性循環(huán)基本一致，最后一步需要加入遞變的關(guān)系遞變?cè)鰷p型特點(diǎn)：分以此遞增和以此遞減，通常是數(shù)據(jù)之間的直接變化，偶爾借助圖形；常和年份結(jié)合考察處理方法：熟記單獨(dú)數(shù)據(jù)規(guī)律，直接應(yīng)用于考察問(wèn)題；算式類(lèi)比性特點(diǎn)：常給出幾個(gè)算式或等式，先算簡(jiǎn)單的，再?gòu)暮?jiǎn)單的類(lèi)比到復(fù)雜題目的計(jì)算處理辦法：1.正確計(jì)算出前面簡(jiǎn)單算式的答案2.找出數(shù)字間的規(guī)律3.將簡(jiǎn)單數(shù)字間的關(guān)系推導(dǎo)到字母n的關(guān)系中常見(jiàn)數(shù)字間固定規(guī)律識(shí)記：項(xiàng)數(shù)第1項(xiàng)第2項(xiàng)第3項(xiàng)第4項(xiàng)……第n項(xiàng)前n項(xiàng)和①1234……n②13572n-1n2③35792n+1n（n+2）④24682nn（n+1）⑤248162n2n+1-2⑥261220n（n+1）/⑦13610/規(guī)律題解題思想：裂項(xiàng)相消法：將一項(xiàng)拆分成多項(xiàng)，前后保持相等，然后利用某些項(xiàng)相消的原則簡(jiǎn)化運(yùn)算；錯(cuò)位相減法：適用于兩個(gè)式子間有相同項(xiàng)的題目，兩式相減直接抵消掉中間項(xiàng)，剩余首項(xiàng)、尾項(xiàng)再計(jì)算；倒序求和發(fā)：如：計(jì)算1+2+3+……+50，可以設(shè)S=1+2+3+……+50，則亦有S=50+49+48+……+1，∴2S=51×50，∴S=51×25=…裂項(xiàng)法公式：【類(lèi)題訓(xùn)練】1．填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（）A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161【分析】第二行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n+2，第一行第二個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n，第二行第二個(gè)數(shù)是的規(guī)律是b＝ac+1，由此求解即可．【解答】解：第二行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n+2，∴a＝10，第一行第二個(gè)數(shù)的規(guī)律是2n，∴c＝16，第二行第二個(gè)數(shù)是的規(guī)律是b＝ac+1，∴b＝160+1＝161，故選：D．2．觀察下列一組數(shù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這組數(shù)的第2022個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，分子是2n+1，分母是2n，并且負(fù)正數(shù)交替出現(xiàn)，由此可得規(guī)律為，從而可求第2022個(gè)數(shù)．【解答】解：∵＝（﹣1）1，＝（﹣1）2，＝（﹣1）3，…，∴第n個(gè)數(shù)為：，∴第2022個(gè)數(shù)為：＝．故選：D．3．一只小球落在數(shù)軸上的某點(diǎn)P0，第一次從P0向左跳1個(gè)單位到P1，第二次從P1向右跳2個(gè)單位到P2，第三次從P2向左跳3個(gè)單位到P3，第四次從P3向右跳4個(gè)單位到P4……若按以上規(guī)律跳了100次時(shí)，它落在數(shù)軸上的點(diǎn)P100所表示的數(shù)恰好是2021，則這只小球的初始位置點(diǎn)P0所表示的數(shù)是（）A．1971 B．1970 C．﹣1971 D．﹣1970【分析】根據(jù)題意，可以先設(shè)這只小球的初始位置點(diǎn)P0所表示的數(shù)是a，然后再寫(xiě)出幾個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可寫(xiě)出點(diǎn)P100所表示的數(shù)，從而可以求得點(diǎn)P0所表示的數(shù)．【解答】解：設(shè)這只小球的初始位置點(diǎn)P0所表示的數(shù)是a，則P1表示的數(shù)是a﹣1，P2表示的數(shù)是a+1，P3表示的數(shù)是a﹣2，P4表示的數(shù)是a+2，…，∴P100表示的數(shù)是a+50，∵點(diǎn)P100所表示的數(shù)恰好是2021，∴a+50＝2021，解得a＝1971，故選：A．4．有一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，從第二個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于1與它前面那個(gè)數(shù)的倒數(shù)的差，若a1＝2，則a2022為（）A． B．2 C．﹣1 D．2022【分析】分別求出a1＝2，a2＝，a3＝﹣1，a4＝2，可得規(guī)律每3個(gè)數(shù)循環(huán)一次，則a2022＝a3＝2．【解答】解：∵a1＝2，∴a2＝1﹣＝，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1+1＝2，……∴每3個(gè)數(shù)循環(huán)一次，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝﹣1，故選：C．5．如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3，先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)﹣2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓圓沿著數(shù)軸按順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)﹣2022將與圓周上的哪個(gè)數(shù)字重合（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】據(jù)圓在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，圓上的四個(gè)數(shù)，每旋轉(zhuǎn)一周即循環(huán)一次，則根據(jù)規(guī)律即可解答．【解答】解：圓在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，圓上的四個(gè)數(shù)，每旋轉(zhuǎn)一周即循環(huán)一次，則與圓周上的0重合的數(shù)是﹣2，﹣6，﹣10…，即﹣（-2+4n），同理與3重合的數(shù)是：﹣（-1+4n），與2重合的數(shù)是﹣4n，與1重合的數(shù)是﹣（1+4n），其中n是正整數(shù)．而﹣2022＝﹣（-2+4×506），∴數(shù)軸上的數(shù)﹣2022將與圓周上的數(shù)字0重合．故選：A．6．觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2022應(yīng)標(biāo)在（）A．第506個(gè)正方形的右上角 B．第506個(gè)正方形的左下角 C．第505個(gè)正方形的右上角 D．第505個(gè)正方形的左下角【分析】根據(jù)圖形的變化可知，每四個(gè)數(shù)一個(gè)正方形，2022÷4＝5052，即可判斷2022在第506個(gè)正方形右上角的位置．【解答】解：根據(jù)圖形的變化可知，每四個(gè)數(shù)一個(gè)正方形，且四個(gè)數(shù)在正方形上的相對(duì)位置是相同的，∵2022÷4＝5052，∴2022在第506個(gè)正方形右上角位置上，故選：A．7．等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，則翻轉(zhuǎn)2023次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【分析】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2013除以3，根據(jù)正好能整除可知點(diǎn)C在數(shù)軸上，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2023÷3＝674…1，∴翻轉(zhuǎn)2023次后點(diǎn)C在數(shù)軸上，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是0﹣674×3＝﹣2022．故選：B．8．下列圖形都是由圓和幾個(gè)黑色圍棋子按一定規(guī)律組成，圖①中有4個(gè)黑色棋子，圖②中有7個(gè)黑色棋子，圖③中有10個(gè)黑色棋子，…，依次規(guī)律，圖中黑色棋子的個(gè)數(shù)是（）A．6067 B．6066 C．6065 D．6064【分析】由題意可知：圖①中有3+1＝4個(gè)黑色棋子，圖②中有3×2+1＝7個(gè)黑色棋子，圖③中有3×3+1＝10個(gè)黑色棋子，…，依此規(guī)律，圖n中黑色棋子的個(gè)數(shù)是3n+1，由此進(jìn)一步求得答案即可．【解答】解：∵圖①中有3+1＝4個(gè)黑色棋子，圖②中有3×2+1＝7個(gè)黑色棋子，圖③中有3×3+1＝10個(gè)黑色棋子，…圖n中黑色棋子的個(gè)數(shù)是3n+1，∴圖2022中黑色棋子的個(gè)數(shù)是3×2022+1＝6067．故選：A．9．算籌是古代用來(lái)進(jìn)行計(jì)算的工具，它是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形武（如圖）．當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間：個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示；十位、千位、十萬(wàn)位數(shù)用橫式表示；“0”用空位來(lái)代替，以此類(lèi)推例如3306用算籌表示就是，則2022用算籌可表示為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)運(yùn)算的規(guī)則直接判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間：個(gè)位、百位、萬(wàn)位數(shù)用縱式表示；十位，千位，十萬(wàn)位數(shù)用橫式表示；“0”用空位來(lái)代替，∴2022用算籌可表示為，故選：C．10．根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑦個(gè)圖中，a﹣b﹣c的值是（）A．﹣190 B．﹣66 C．62 D．64【分析】每個(gè)圖形中，左邊三角形上的數(shù)字為a＝（﹣1）n?2n，右邊三角形上的數(shù)字為b＝（﹣1）n?2n+2，下面三角形上的數(shù)字為c＝（﹣1）n?2n，先把n＝7代入求出a、b、c的值，再進(jìn)一步求出a﹣b﹣c的值．【解答】解：通過(guò)觀察可得規(guī)律：左邊三角形上的數(shù)字為a＝（﹣1）n?2n，右邊三角形上的數(shù)字為b＝（﹣1）n?2n+2，下面三角形上的數(shù)字為c＝（﹣1）n?2n，∵n＝7，∴a＝（﹣1）×27＝﹣128，b＝﹣128+2＝﹣126，c＝（﹣128）＝﹣64，∴a﹣b﹣c＝﹣128+126+64＝62．故選：C．11．已知整數(shù)m1，m2，m3，m4，…滿足下列條件：m1＝0，m2＝﹣|1+m1|，m3＝﹣|2+m2|，m4＝﹣|3+m3|，…，以此類(lèi)推，m2020＝．【分析】觀察下面的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)角碼是偶數(shù)的，所表示的數(shù)是角碼一半的相反數(shù)．【解答】解：∵m1＝0，∴m2＝﹣|1+m1|＝﹣|1+0|＝﹣1，∴m3＝﹣|2+m2|＝﹣|2+（﹣1）|＝﹣1，m4＝﹣|3+m3|＝﹣|3+（﹣1）|＝﹣2，m5＝﹣|4+m4|＝﹣|4+（﹣2）|＝﹣2，m6＝﹣|5+m5|＝﹣|5+（﹣2）|＝﹣3，m7＝﹣|6+m6|＝﹣|6+（﹣3）|＝﹣3，……∴m2020＝﹣2020÷2＝﹣1010．故答案為：﹣1010．12．在2020個(gè)“□”中依次填入一列數(shù)字m1，m2，m3…，m2020，使得其中任意四個(gè)相鄰的“□”中所填的數(shù)字之和都等于15．已知m3＝2，m6＝7，則m1+m2020的值為．27…【分析】根據(jù)題意任意四個(gè)相鄰的“□”中所填的數(shù)字之和都等于15，m3＝2，m6＝7，則找出m1和m2020之間與已知數(shù)據(jù)的聯(lián)系即可．【解答】解：由題知m1+m2+m3+m4＝15，m2+m3+m4+m5＝15，m3+m4+m5+m6＝15，．m2017+m2018+m2019+m2020＝15，∴m1＝m5＝m9＝...＝m4n﹣3，m2＝m6＝m10＝...＝m4n﹣2，m3＝m7＝m11＝...＝m4n﹣1，m4＝m8＝m12＝...＝m4n，∴m2020＝m4，m1＝m5，∵m3＝2，m6＝7，m3+m4+m5+m6＝15，∴m4+m5＝6，即m1+m2020＝6，故答案為：6．13．有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開(kāi)始輸入x的值是1，可發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，……，請(qǐng)你探索第2021次輸出的結(jié)果是．【分析】根據(jù)題意，可以寫(xiě)出前幾個(gè)輸出結(jié)果，從而可以發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果的變化特點(diǎn)，從而可以求得第2021次輸出的結(jié)果．【解答】解：由題意可得，第一次輸出的結(jié)果是4，第二次輸出的結(jié)果是2，第三次輸出的結(jié)果是1，第四次輸出的結(jié)果是4，第五次輸出的結(jié)果是2，…，由上可得，輸出結(jié)果依次以4，2，1循環(huán)出現(xiàn)，∵2021÷3＝673……2，∴第2021次輸出的結(jié)果是2，故答案為：2．14．如圖，數(shù)字都是按一定規(guī)律排列的，其中x的值是．【分析】通過(guò)觀察可知，25＝a+b，b＝a+1，x＝25a+b，求解即可．【解答】解：由題可知，25＝a+b，b＝a+1，∴a＝12，b＝13，∵x＝25a+b，∴x＝25×12+13＝313，故答案為：313．15．觀察圖，找出規(guī)律．，則的值為．【分析】由圖形中的數(shù)字排列可知：三角形頂點(diǎn)的數(shù)字加上左下角的數(shù)字再減去右下角的數(shù)字就是運(yùn)算的結(jié)果，由此方法計(jì)算得出答案即可．【解答】解：∵﹣5﹣2﹣3＝﹣10，﹣6+6﹣（﹣4）＝4，﹣7﹣10﹣（﹣17）＝0，∴11﹣12﹣7＝﹣8．故答案為：﹣8．16．觀察以下等式：第1個(gè)等式：×（2﹣）＝1+；第2個(gè)等式：×（2﹣）＝1+；第3個(gè)等式：×（2﹣）＝1+；第4個(gè)等式：×（2﹣）＝1+；第2021個(gè)等式：×（2﹣）＝1+．【分析】從數(shù)字找規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：第1個(gè)等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；第2個(gè)等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；第3個(gè)等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；第4個(gè)等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+；..．第2021個(gè)等式：×（2﹣）＝1+，即：×（2﹣）＝1+，故答案為：×（2﹣）＝1+．17．請(qǐng)你觀察：，，；…+＝+＝1﹣＝；++＝++＝1﹣＝；…以上方法稱(chēng)為“裂項(xiàng)相消求和法”．請(qǐng)類(lèi)比完成：（1）+++＝；（2）++++…+＝；（3）計(jì)算：的值．【分析】（1）參照所給的方法進(jìn)行求解即可；（2）參照所給的方法進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)所給的式子，由，據(jù)此把其余各項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：（1）+++＝1﹣+＝1﹣＝；故答案為：；（2）++++…+＝1﹣++…+﹣＝1﹣＝；故答案為：；（3）＝+++＝×（1﹣）＝×（1﹣）×＝．18．先閱讀下列內(nèi)容，然后解答問(wèn)題．因?yàn)椋裕?qǐng)解答：（1）應(yīng)用上面的方法計(jì)算：…．（2）類(lèi)比應(yīng)用上面的方法計(jì)算：…．【分析】（1）對(duì)所求式子的各加數(shù)進(jìn)行拆項(xiàng)，從而可求解；（2）仿照所給的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）…＝1﹣+﹣++…+＝1﹣＝；（2）…＝×（1﹣）+×（）+×（）+…+×（）＝×（1﹣++…+）＝×（1﹣）＝×＝．19．觀察以下圖案和算式，解答問(wèn)題：（1）1+3+5+7+9＝；（2）1+3+5+7+9+…+19＝；（3）請(qǐng)猜想1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝；（4）求和號(hào)是數(shù)學(xué)中常用的符號(hào)，用表示，例如，其中n＝2是下標(biāo)，5是上標(biāo)，3n+1是代數(shù)式，表示n取2到5的連續(xù)整數(shù)，然后分別代入代數(shù)式求和，即：＝3×2+1+3×3+1+3×4+1+3×5+1＝46請(qǐng)求出的值，要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，可利用第（2）（3）題結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和等于n2即可得；（2）利用所得規(guī)律計(jì)算可得；（3）利用（1）中所得規(guī)律計(jì)算可得；（4）由＝21+23+25+……+47+49＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19），利用所得規(guī)律計(jì)算可得．【解答】解：（1）1+3+5+7+9＝52＝25，故答案為：25；（2）1+3+5+7+9+…+19＝102＝100，故答案為：100；（3）1+3+5+7+……+（2n﹣1）＝n2，故答案為：n2；（4）＝21+23+25+……+47+49＝（1+3+5+……+47+49）﹣（1+3+5+……+19）＝252﹣102＝525．20．從2開(kāi)始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如表：加數(shù)m的個(gè)數(shù)和S12＝1×222+4＝6＝2×332+4+6＝12＝3×442+4+6+8＝20＝4×552+4+6+8+10＝30＝5×6（1）按這個(gè)規(guī)律，當(dāng)m＝6時(shí)，和為；（2）從2開(kāi)始，m個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和S與m之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)為：＝．（3）應(yīng)用上述公式計(jì)算：①2+4+6+…+200；②202+204+206+…+300．【分析】（1）仔細(xì)觀察給出的等式可發(fā)現(xiàn)從2開(kāi)始連續(xù)兩個(gè)偶數(shù)和1×2，連續(xù)3個(gè)偶數(shù)和是2×3，連續(xù)4個(gè)，5個(gè)偶數(shù)和為3×4，4×5，從而推出當(dāng)m＝6時(shí)，和的值；（2）根據(jù)分析得出當(dāng)有m個(gè)連續(xù)的偶數(shù)相加是，式子就應(yīng)該表示成：2+4+6+…+2m＝m（m+1）．（3）根據(jù)已知規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，得出答案即可．【解答】解：（1）∵2+2＝2×2，2+4＝6＝2×3＝2×（2+1），2+4+6＝12＝3×4＝3×（3+1），2+4+6+8＝20＝4×5＝4×（4+1），∴m＝6時(shí)，和為：6×7＝42；故答案為：42；（2）∴和S與m之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)：2+4+6+…+2m＝m（m+1）；故答案為：S，m（m+1）；（3）①2+4+6+…+200＝100×101，＝10100；②∵2+4+6+…+300＝150×151＝22650，∴202+204+206+…+300．＝22650﹣10100，＝12550．21．觀察算式：1×3+1＝4＝22；2×4+1＝9＝32；3×5+1＝16＝42；4×6+1＝25＝52；……（1）請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：7×9+1＝（）2；（2）用含n的等式表示上面的規(guī)律：；（3）用找到的規(guī)律解決下面的問(wèn)題：計(jì)算：【分析】（1）利用有理數(shù)的混合運(yùn)算求解；（2）利用題中的等式得到n?（n+2）+1＝（n+1）2（n為正整數(shù)）；（3）先通分得到原式＝××××…××，再利用（2）中的結(jié)論得到原式＝××××…××，然后約分即可．【解答】解：（1）7×9+1＝82；故答案為8；（2）n?（n+2）+1＝（n+1）2（n為正整數(shù)）；故答案為：n?（n+2）+1＝（n+1）2（n為正整數(shù)）；（3）原式＝××××…××＝××××…××＝＝．22．（1）①觀察一列數(shù)1，2，3，4，5，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是；根據(jù)此規(guī)律，如果an（n為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，那么a18＝，an＝；②如果欲求1+2+3+4+…+n的值，可令S＝1+2+3+4+…+n?，將①式右邊順序倒置，得S＝n+…+4+3+2+1?，由?式+?式，