重難點(diǎn)專題17 三角函數(shù)最值與取值范圍問(wèn)題十三大題型匯總（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考通用）

重難點(diǎn)專題17三角函數(shù)最值與取值范圍問(wèn)題十三大題型匯總題型1單調(diào)性與最值 1題型2輔助角公式求最值 8題型3一元二次函數(shù)與最值 12題型4sinx與cosx和差求最值 21題型5分式型最值 26題型6絕對(duì)值型求最值 31題型7三角換元法求最值 39題型8三角換元法與向量求最值 45題型9三角換元法與根號(hào)型求最值 56題型10換元法求最值 59題型11距離與斜率型 62題型12參變分離 67題型13復(fù)合函數(shù)型 68題型1單調(diào)性與最值利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)區(qū)間的最值問(wèn)題【例題1】（多選）（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+πA．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】BC【分析】利用整體思想與分類討論思想，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】當(dāng)ω>0時(shí)，ωx+π6∈π6當(dāng)ω<0時(shí)，ωx+π6∈4ω+π選項(xiàng)BC是范圍內(nèi)的整數(shù).故選：BC.【變式1-1】1.（多選）（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0滿足fA．fx0+1C．fx的最小正周期為4 D．fx在【答案】AC【分析】根據(jù)題設(shè)及正弦型函數(shù)的對(duì)稱性有fx0+12=1，假設(shè)B中解析式成立，由x0=0得f1【詳解】A，由題意fx在x0,B，假設(shè)若x0=0，則fx而f1C，fx0=fx0令ωx0+φ=2kπ+則兩式相減，得ω=π2，即函數(shù)的最小正周期D，因?yàn)門=4，所以函數(shù)fx在區(qū)間0,2024當(dāng)f0=0，即φ=kπ，k∈Z時(shí)，fx故選：AC.【變式1-1】2.（2021秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)fxA．fx是偶函數(shù) B．0是fC．fx在-π2,π2上有且僅有【答案】D【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)fx在-π2,π【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)fx=sin則f-x=sin對(duì)于B選項(xiàng)，f'當(dāng)-π2<x<0時(shí)，sinx<0，此時(shí)，當(dāng)0<x<π2時(shí)，sinx>0，此時(shí)，f所以，0不是函數(shù)fx對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，函數(shù)fx在-π2所以，函數(shù)fx在-對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)fx在R上連續(xù)，f所以當(dāng)k→+∞時(shí)，且k∈Z，f當(dāng)k→-∞時(shí)，且k∈Z，f又f0=0，所以函數(shù)fx故選：D.【變式1-1】3.（多選）（2020秋·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinA．fx在區(qū)間0,πB．若0<x1C．fx在區(qū)間0,π上的值域?yàn)镈．若函數(shù)gx=xg'x+cos【答案】ACD【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析解答即可，對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)x∈0,π2時(shí)，可得f'x<0，可得fx在區(qū)間0,π2對(duì)于選項(xiàng)B：由fx在區(qū)間0,π上單調(diào)遞減可得fx1對(duì)于選項(xiàng)C：由三角函數(shù)線可知sinx<x，所以sinxx對(duì)于選項(xiàng)D：g'x=g'x+xg″x-sinx【詳解】f'x=當(dāng)x∈0,π2時(shí)，cos所以x<sinxcosx，即所以f'x<0，所以f當(dāng)x∈π2,π，cosx≤0，sinx≥0所以fx在區(qū)間π所以fx在區(qū)間0,π當(dāng)0<x1<所以sinx1x由三角函數(shù)線可知sinx<x，所以sinxx所以當(dāng)x∈0,π時(shí)，f對(duì)gx所以有g(shù)'所以g″x=sinxx=f所以g″x≥0，g'x從而g'x≤g'故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對(duì)于函數(shù)fx【變式1-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f【答案】4或10/10或4【分析】根據(jù)fπ4=f5π12【詳解】∵f(x)滿足fπ4=f5π∴π3?ω+π6=π∵ω＞0，∴ω=1,4,7,10,13,….當(dāng)x∈π4,y＝sinx圖像如圖：要使f(x)在區(qū)間π4π2≤π此時(shí)ω＝4或10滿足條件；區(qū)間π4,5π當(dāng)ω?13時(shí)，f(x)最小正周期T=2πω?2π13綜上，ω＝4或10.故答案為：4或10.【變式1-1】5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a、b為實(shí)數(shù)，且a<b，函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間a,b上的最大值和最小值的差為1，則b-a的取值范圍是【答案】π【分析】討論a的取值，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】（ⅰ）當(dāng)函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間a,b內(nèi)無(wú)最值，則函數(shù)y=sin不妨取a,b?-π2，π2可知sina+且a∈-π2，0所以sina+π2可得b<a+π2①若a=-π6，b=π②若a∈-π2則sina+因?yàn)閍∈-π2,-π故sinb-sina=1>且a+π3∈-π6,③若a∈-π6則sina+因?yàn)閍∈-π6,0，則故sinb-sina=1>且a+π3∈π6,π綜上所述：π3（ⅱ）當(dāng)函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間由圖象可知：不妨取a=0，當(dāng)b=π時(shí)，b-a取到最大值π當(dāng)b=π2時(shí)，b-a取到最小值可得π2綜上所述：b-a的取值范圍是π3故答案為：π3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面．一般來(lái)說(shuō)，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問(wèn)題時(shí)，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯(cuò)誤的圖象反而導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇．題型2輔助角公式求最值通過(guò)輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)，進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)區(qū)間的最值問(wèn)題【例題2】（2023·天津東麗·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin①fx的圖象關(guān)于點(diǎn)3②將fx的圖象向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于③fx在0,π④fx在-A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④【答案】A【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出ω，即可得到函數(shù)的解析式，由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可判斷①；由函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解可判斷③；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過(guò)解不等式可判斷④.【詳解】因?yàn)閒x∵函數(shù)的最小正周期是π，∴T=π∴ω=2，f(x)=2∵f3π8=sin2×3π∵fx+π8=2sin2x+π當(dāng)0≤x≤π2時(shí)，有0≤2x≤π，則π4∴fx∈-1,由-π2≤2x+所以fx的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為-3π∴fx在-π4故選：A.【變式2-1】1．（2023·天津·三模）已知fx=msinωx-cosωxm>0,ω>0，gx=2tanx，若對(duì)?x1A．43 B．1 C．23【答案】D【分析】由題意首先確定函數(shù)fx的值域，然后數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于ω的不等式，求解不等式可得ω【詳解】fx=msin由題意可知：fxmax≤則函數(shù)fx的值域?yàn)?2,2設(shè)函數(shù)fx的最小正周期為T，fx在區(qū)間0,π上的值域?yàn)?1,2，則：即：2π3ω≤π≤4π結(jié)合選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)ω的取值不可能是12故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙量詞問(wèn)題的處理方法，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力【變式2-1】2.（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+cos(ωx+5π6【答案】[【分析】根據(jù)給定條件，化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知值域，列式求解作答.【詳解】依題意，f(x)=1由x∈[0,π],ω>0，得函數(shù)y=sinx在[-π3,π2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,π]上的值域?yàn)閇-32,1]所以ω的取值范圍為[5故答案為：[【變式2-1】3.（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx=cosx+π2cos【答案】2【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換化簡(jiǎn)fx【詳解】f=-2∴x∈-π4,π4時(shí)故答案為：2【變式2-1】4.（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）函數(shù)y=2sinωx+25cos2ωx2-5【答案】2【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)y=2sinωx+25cos2ωx2-5(ω>0)得y=3sinωx+θ，其中sinθ=53，cos【詳解】由題意可得y=2=2sinωx+5cosωx=3∵函數(shù)y=3sinωx+θ在區(qū)間0,m上的值域?yàn)椤喈?dāng)y=3sinωx+θ=3時(shí)，ωx+θ=當(dāng)y=3sinωx+θ=5時(shí)，ωx+θ=θ或ωx+θ=π-θ，則∴π-2θ2ω≤m≤π-2θ∵sinθ=53>∴????π2<2θ<π，∴sinπ又∵sinπ2-θ∴∴sinmω的取值范圍為：2題型3一元二次函數(shù)與最值類比一元二次函數(shù)，求解最值【例題3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=4sin2π2+x+4sinA．π6,π2 B．π【答案】C【分析】首先化簡(jiǎn)函數(shù)fx的解析式，再利用復(fù)合函數(shù)的值域，求實(shí)數(shù)a【詳解】f(x)=4=-4sin設(shè)t=sinx，g且f0=g0=4，因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間0,a的值域?yàn)?,5，所以t=sinx在區(qū)間0,a上能取得t=所以π6故選：C【變式3-1】1.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxA．fx是偶函數(shù) B．fx在區(qū)間C．fx在-π,π上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】AB【分析】對(duì)A，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可；對(duì)BCD，換元構(gòu)造復(fù)合函數(shù)y=2t-【詳解】對(duì)于A，函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽且f-x所以函數(shù)y=fx對(duì)于B，當(dāng)x∈0,π4令t=sinx，由于函數(shù)y=2t-函數(shù)t=sinx在x∈0,π4故函數(shù)y=fx在區(qū)間-對(duì)于C，當(dāng)x∈0,π時(shí)，由fx=2sin所以x=π6或x=π2或x=5對(duì)于D，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，因?yàn)?1≤sinx≤1，所以當(dāng)sinx=34時(shí)，f由于函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，因此，函數(shù)y=fx的值域?yàn)楣蔬x：AB.【變式3-1】2.（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)fx=-32cos2x+asinx+a+92，【答案】(-3,6-6【分析】f(x)=3sin2x+asinx+a+3,x∈(0,π)，令sinx=t,t∈0,1【詳解】解：f(x)=-3令sinx=t,t∈0,1，則當(dāng)0<t<1時(shí)，sinx=t有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)t=1時(shí)，sin因?yàn)榉匠蘤x=0在所以原問(wèn)題等價(jià)于h(t)=3t2+at+a+3=0所以有0<-a6<1故答案為：(-3,6-62【變式3-1】3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)gx(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：【答案】(1)-(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由gx=0可得a+1=cos2x+cosx，然后令t=cosx，則cos（2）函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，令t1=cosx1<0,t【詳解】（1）解：gx由gx=0可得令t=cosx，由x∈π故cos2當(dāng)a+1≥0或a+1<-14，即a≥-1或a<-5所以g（x）不存在零點(diǎn)；當(dāng)a+1=-14，即a=-54時(shí)，a+1=t+t所以g（x）只存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-14<a+1<0，即-t=-12±a+5綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-5（2）證明：函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x令t1=cosx1<0,t則t1+t2=-1兩邊平方得cos2x1所以cos2所以cos2由π2<x2<則cosx1>cos3所以x1<【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是通過(guò)換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)余弦函數(shù)的性質(zhì)可證得結(jié)論，考查數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于難題.【變式3-1】4.（2022秋·上海虹口·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a∈R，函數(shù)f(x)=(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f((2)若函數(shù)y=f(x)-fπ2-x(3)設(shè)a=12,u∈R【答案】(1)f(x)(2)a的最大值為-2(3)u=12或【分析】(1)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f(x)的值域；(2)由已知可得f【詳解】（1）因?yàn)閍=2，f(x)=sin2x-asinx，所以f(x)=sin2x-2sinx=sin（2）因?yàn)閒(x)=sin2x-a所以y=sin化簡(jiǎn)得y=sin因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-fπ2-x所以y'=2sinxcosx-acosx+2cosxsinx-asinx≥0在0,π所以2-2t2-at≥0在1,2上恒成立，所以a≤2t-2t在1,2上恒成立，又函數(shù)y=2t-2t在1,（3）因?yàn)閒(x)=sin2x-asinx，a=令t=sinx，則t2-1又當(dāng)t=14時(shí)，由圖象可得當(dāng)u<-116或t>32時(shí)，方程t2當(dāng)u=-116時(shí)，方程t2-12t-u=0的解為t=則x1∈0,π6當(dāng)-116<u<12時(shí)，方程t2-12t-u=0在-1,1內(nèi)有兩個(gè)解，設(shè)方程的解為t1方程sinx=t1和sin設(shè)數(shù)列x1,x2,x3,x4,???為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為d1，因?yàn)閤5-x當(dāng)12<u<32時(shí)，方程t2-12t-u=0在-1,1方程sinx=t3設(shè)數(shù)列x1,x2,x3,x4,???為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為d1，因?yàn)槿魎=32，則方程t2-12t-u=0在-1,1內(nèi)的解為t4=-1當(dāng)u=12時(shí)，方程t2-12t-u=0在-1,1內(nèi)有兩個(gè)解t5=1，t6=-12，由sin所以方程f(x)=u的所有正實(shí)數(shù)解按從小到大的順序排列后滿足x3k-2=π2+k-12π綜上所述，當(dāng)u=12或u=3【變式3-1】5.（2022秋·廣東佛山·高三華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）當(dāng)b=1,c=1，則fx的最大值為（2）若對(duì)任意x1、x2∈R，都有f【答案】94【分析】（1）化簡(jiǎn)得出fx=12cos（2）設(shè)t=cosx∈-1,1，gt=12t2+bt+c-14，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)t∈-1,1時(shí)，gtmax【詳解】（1）當(dāng)b=c=1時(shí)，f=1因?yàn)?1≤cosx≤1，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（2）函數(shù)fx設(shè)t=cosx，則問(wèn)題等價(jià)于gt=12t2+bt+c-即gt①當(dāng)-b≤-1時(shí)，即當(dāng)b≥1時(shí)，函數(shù)gt在-1,1則gt解得b≤2，此時(shí)，1≤b≤2；②當(dāng)-1<-b≤0時(shí)，即當(dāng)0≤b<1時(shí)，函數(shù)gt在-1,-b上單調(diào)遞減，在-b,1故gtgt則有g(shù)t可得b2+2b-7≤0，解得-1-22③當(dāng)0<-b<1時(shí)，即當(dāng)-1<b<0時(shí)，函數(shù)gt在-1,-b上單調(diào)遞減，在-b,1故gtgt則有g(shù)t可得b2-2b-7≤0，解得1-22④當(dāng)-b≥1時(shí)，即當(dāng)b≤-1時(shí)，函數(shù)gt在-1,1則gt解得b≥-2，此時(shí)，-2≤b≤-1.綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是-2,2.故答案為：（1）94；（2）-2,2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“動(dòng)軸定區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.題型4sinx與cosx和差求最值利用sinx+【例題4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinx+cosxsinA．π為fxB．fxC．g(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱D．曲線y=fx在點(diǎn)-π【答案】B【分析】由fx+π=-fx可判斷A；令t=sinx+cos【詳解】對(duì)于A，fx+π=-sin對(duì)于B，令t=sinx+cos所以原函數(shù)變?yōu)閥=2tt2+1，當(dāng)t=0時(shí)，y=0，當(dāng)又t+1t≥2，所以1y≤-1，或1所以fx對(duì)于C，將fx的圖像向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到則gx又g-x=-2sinx1-對(duì)于D，f'x=故選：B.【變式4-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=cosA．-2+1,2+1 B．-【答案】D【分析】將原式化簡(jiǎn)為fx=cosx+sinx+2sin【詳解】解：f(x)==則fx=cos令t=cosx+sin則f(x)=t2+t-1當(dāng)t=2時(shí)，f(x)<f(當(dāng)t=-12時(shí)，故f(x)的值域?yàn)?5故選：D.【點(diǎn)睛】本題二次型三角函數(shù)的最值問(wèn)題，考查換元法求函數(shù)值域，要注意新元的取值范圍，是中檔題.【變式4-1】2.（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)fx(2)若x∈0,π，關(guān)于x的方程【答案】(1)-3π(2)2【分析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，得到fx（2）當(dāng)x∈0,π時(shí)，令t=sinx+cos【詳解】（1）解：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)fx由-π2+2k故函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為-（2）解：當(dāng)x∈0,π時(shí)，可得令t=sinx+cos令gt=t-a?t2-1①當(dāng)a=0時(shí)，由（1）知fx=sin不合題意；②當(dāng)a<0時(shí)，可得gt的圖象開(kāi)口向上，Δ=1+a2>0且t1?t2=-1，此時(shí)有t1③當(dāng)a>0時(shí)，可得gt的圖象開(kāi)口向下，Δ=1+a2>0，方程g若要滿足題意，則t2∈1,此時(shí)方程t1=2則有g(shù)2<0，解得綜上所述，a的取值范圍為22

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個(gè)數(shù)或研究不等式問(wèn)題的策略：1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程fx=0的根就是函數(shù)fx與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程fx=g2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.3、本題中合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系，進(jìn)行換元構(gòu)造二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.【變式4-1】3.（多選）（2023春·湖南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax+A．f12C．fx在R上單調(diào)遞減 D．f1【答案】AB【分析】對(duì)A、B：整理可得fx=cxacx+bcx【詳解】因?yàn)閒2=0，即對(duì)A、B：又a，b，c∈0,+∞，則0<a<c,0<b<c，所以0<a故y=acx由fx令gx=acx所以g12>g且c>0，則對(duì)?x∈R，y=c可得f1對(duì)C：取a=3，b=4，c=5，則f1對(duì)D：令a=ccos則f今sinθ+cosθ+1=t且t=sin∵θ∈0,π2∴sinθ+π4可得f1又∵gt=t+2t在故gt=t+2所以f1故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于a2+b題型5分式型最值1.可以用正余弦有界性：上下同名型：g（x）=m+kcosx2.可以用輔助角：上下同名型：g（x）=m+kcosx【例題5】（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知fx=cos3xcosx+1,將fx的圖象向左平移①函數(shù)gx的周期為π2;②函數(shù)gx的值域?yàn)?2,2;③函數(shù)gx的圖象關(guān)于x=-π12對(duì)稱;A．1個(gè) B．2個(gè) C．3【答案】B【解析】首先通過(guò)三角化簡(jiǎn)得到f(x)=2cos2x且x≠π2+kπ,k∈Z，通過(guò)平移變換得到g【詳解】fx=cos即：f(x)=2cos2x且gx=2cos①因?yàn)楹瘮?shù)gx的周期為π2，因此②因?yàn)閤≠π6+kπ2③令4x+π3=kπ,k∈Z，得x=-④因?yàn)閤≠π6+kπ2綜上,正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)的章內(nèi)綜合題，考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、周期、奇偶、對(duì)稱、以及平移變換.屬于難題.【變式5-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=sinA．-2,2 B．-1,1 C．-1,1 D．-2,2【答案】A【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)得到f(x)=-2sin【詳解】f(x)=且當(dāng)且僅當(dāng)cos2x+π6∴f(x)的值域?yàn)?2,2故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換與三角函數(shù)的值域，考查推理論證能力【變式5-1】2.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxA．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π2,0對(duì)稱 B．πC．fx的值域?yàn)?3,3 D．【答案】ACD【分析】化簡(jiǎn)可得fx=3sin2xcos2x+2【詳解】由已知可得fx對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)閒π-x=3sin2π-2x對(duì)于B項(xiàng)，fx+π2=3sin2x+對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)k=sin2xcos2x+2，則k的大小等于點(diǎn)又點(diǎn)Mcos2x,sin如圖，NM1,NM2由圖象可知，當(dāng)M與M1重合時(shí)，斜率最大，此時(shí)k當(dāng)M與M2重合時(shí)，斜率最小，此時(shí)k所以k的取值范圍為-33,33對(duì)于D項(xiàng)，由已知可得f'令f'x≤0根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可知，π3+kπ≤x≤2π故選：ACD.【變式5-1】3.（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)=sinA．f(x)的圖像關(guān)于直線x=πB．f(x)在-πC．f(x)的值域是[0,2+D．若方程f(x)=83在0,45π4【答案】ACD【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)，對(duì)A選項(xiàng)，利用軸對(duì)稱的意義驗(yàn)證并判斷；對(duì)B，C選項(xiàng)，換元借助導(dǎo)數(shù)求解并判斷；對(duì)D選項(xiàng)，利用對(duì)稱性、周期性計(jì)算并判斷.【詳解】依題意有f(x)=(對(duì)于A選項(xiàng)：f(π即f(π4+x)=f(π4對(duì)于B選項(xiàng)：x∈-π2,0,t=sin(x+g'(t)=2t(t+22)(t+2)2，-2由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，f(x)在-π對(duì)于C選項(xiàng)：令t=sin(x+π4),x∈Rg(t)在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，g(t)min=g(0)=0，g(-1)=g(t)max=g(-1)=2+2，g(t)的值域是[0,2+2對(duì)于D選項(xiàng)：由已知得2sin解得sin(x+π4由x+π4=kπ+π2?x=kπ+π對(duì)稱軸為x=kπ+π4(k∈N*,k≤10)，數(shù)列{xi+xi+1x1故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及關(guān)于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的對(duì)稱性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【變式5-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=3-sinx【答案】2-【分析】設(shè)m=cosx，n=sinx，得到m,n為單位圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)；令k=n-3m--2，根據(jù)直線斜率的坐標(biāo)運(yùn)算得到k表示該單位圓上的點(diǎn)m,n與點(diǎn)-2,3所在直線的斜率，將其轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)-2,3的直線與單位圓有交點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)【詳解】由題意得：f(x)=3-設(shè)m=cosx，n=sin所以m,n為單位圓x2+y令k=n-3m--2，即k表示該單位圓上的點(diǎn)m,n如圖：

設(shè)過(guò)點(diǎn)-2,3的直線方程為y-3=kx+2即直線y-3=kx+2與單位圓x聯(lián)立y-3=kx+2x2+y所以Δ=化簡(jiǎn)得：3k2+12k+8≤0所以2-2所以fx所以函數(shù)f(x)=3-sinx故答案為：2-2題型6絕對(duì)值型求最值絕對(duì)值型需要進(jìn)行分類討論，再進(jìn)行分析【例題6】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=asinx-A．fx的最小值為B．fx的最大值為C．方程fx=b在D．fx在π【答案】BC【分析】根據(jù)題意，可得fx=-a2+b2sinx-π4-φ,sinx-π4<0a2+b【詳解】fx即fx=-a2+b由sinx-π4≥0，即所以當(dāng)x∈π4+2kπ,即x-π4+φ∈所以當(dāng)x-π4+φ=π2當(dāng)x-π4+φ=φ+π+2kπ，即x=當(dāng)x∈-3π4即x-π4-φ∈所以當(dāng)x-π4+φ=-π2由于x-π4+φ≠-φ-π+2kπ綜上所述，fx的最小值為-b，最大值為a由fx=b，所以當(dāng)x∈-即sinx-即x-π4=2kπ或x-所以x=π4或x=-3π當(dāng)x∈π4,即sinx-即x-π4=2kπ或x-所以x=5π4-2φ綜上所述，方程fx=b在取x∈π2,令π2+2kπ≤x-π令-π2+2kπ≤x-由于φ∈0,π2，所以當(dāng)0<φ<π4時(shí)，函數(shù)fx在π2,3π4-φ故選：BC.【變式6-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=cosx，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，方程f【答案】2【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)cosx1≤cosx2，分類討論當(dāng)cosx≥cosx2，【詳解】解：由題可知fx=cos對(duì)于m，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，方程當(dāng)cosx≥cosx所以m≥cosx2當(dāng)cosx≤當(dāng)cosx1<cosx<綜上得：m=2；對(duì)于n，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2，方程當(dāng)cosx≥cosx2時(shí)，方程可化為當(dāng)cosx≤當(dāng)cosx1<所以cosx1-所以m+n的值的集合為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過(guò)設(shè)cosx1≤cosx【變式6-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出以下命題：①若α、β是第一象限角且α<β，則tanα<②函數(shù)y=sin③函數(shù)y=sin④函數(shù)y=sinx-1⑤函數(shù)f(x)=-4sin2x+4cosx+1-a，當(dāng)x∈其中正確命題的序號(hào)為.【答案】④⑤【分析】根據(jù)正切周期性，對(duì)①舉反例；根據(jù)sinx與x關(guān)系，可解fx零點(diǎn)；根據(jù)奇函數(shù)定義域，判斷【詳解】對(duì)于①，令α=60°,β=390°對(duì)于②，當(dāng)x∈0,π2有sinx<x恒成立，則x∈0,π2無(wú)零點(diǎn)；又y=sinx-x為奇函數(shù)，∴x∈對(duì)于③，求y=sin2x+sinxsinx+1對(duì)于④，函數(shù)y=sinx-12是函數(shù)y=sinx向下平移12個(gè)單位，再沿x對(duì)于⑤，f(x)=-4當(dāng)x∈-π4,2π3使f(x)=0恒有解，則(2cos∴a+4∈0,9，∴a∈-4,5，則故答案為：④⑤【點(diǎn)睛】本題考查，正切函數(shù)周期性、奇偶性定義、翻折變換、三角函數(shù)有界性，綜合性較強(qiáng)，考查計(jì)算能力，有一定難度.【變式6-1】3.（2023春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)f(x)=x-a+cosx在0,b上的值域?yàn)?1,3π【答案】52【分析】先由絕對(duì)值、余弦函數(shù)的有界性以及f(0)求出a，分類討論求出b，即可求解.【詳解】因?yàn)閤-a≥0，cos所以當(dāng)且僅當(dāng)x-a=0且cosx=-1時(shí)所以a=x=π+2kπ,k∈N又f(0)=|a|+1∈[-1,3π2所以f(x)=x-π+cosx，易知f(x)在所以當(dāng)b≤π時(shí)，f(x)≤f(0)=π+1，不滿足題意；當(dāng)b>π時(shí)，因?yàn)閒(x)max=注意到f(5π2)=3π2所以b=5π2故答案為：52【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)求值的關(guān)鍵：（1）角的范圍的判斷；（2）根據(jù)條件選擇合適的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算；（3）合理地利用函數(shù)圖像和性質(zhì).【變式6-1】4.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinA．fx是以πB．直線x=π2是曲線C．函數(shù)fx的最大值為2，最小值為D．若函數(shù)fx在區(qū)間0,Mπ【答案】ACD【分析】根據(jù)周期函數(shù)定義判斷A即可；根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸定義判斷B即可；由A知f(x)是以π為周期的函數(shù)，所以根據(jù)求解fx在區(qū)間[0,π]上的最大值即可判斷選項(xiàng)C，利用fx在區(qū)間【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閒(x+π所以f(x)是以π為周期的函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，有f(π對(duì)于C，由A知只需考慮fx在區(qū)間[0,π]當(dāng)x∈0,π2則t∈[1,2易知u(t)在區(qū)間[1,2所以f(x)的最大值為u(1)=0，最小值為u(2當(dāng)x∈π2,π則t∈[1,2易知v(t)在區(qū)間[1,2所以f(x)的最大值為v(2)=2綜合可知：函數(shù)fx的最大值為2，最小值為2對(duì)于D，因?yàn)閒x是以π可以先研究函數(shù)fx在區(qū)間(0,π]當(dāng)x∈0,π2時(shí)，令f(x)=u(t)=-因?yàn)閤+π4∈則t=2sinx+t=2sinx+π4當(dāng)x∈π2,π時(shí)，令因?yàn)閤-π4∈則t=2sinx-t=2sinx-綜合可知：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π]上有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為x=π又因?yàn)閒x是以π所以若n∈N*，則f(x)在區(qū)間(0,nπ又已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,Mπ所以20232故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查命題的真假判斷，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.【變式6-1】5.（2022春·新疆·高三?？茧A段練習(xí)）定義：設(shè)不等式fx>0的解集為A，若A中只有唯一整數(shù)，則稱A為“和諧解集”．若關(guān)于x的不等式sinx+A．[cos22,cos1)【答案】A【分析】根據(jù)定義解不等式即可.【詳解】解：不等式sinx+cosx>2mx+由函數(shù)y=minsinx,cosx因?yàn)辄c(diǎn)A1,cos1,B2,所以數(shù)m的取值范圍為[cos故選：A.題型7三角換元法求最值1.二次型雙變量可以三角換元.2.橢圓型，或者雙變量型，可以適當(dāng)選擇多項(xiàng)式三角函數(shù)換元.【例題7】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高三?？茧A段練習(xí)）若x2+y2=2【答案】26【分析】設(shè)x=2【詳解】設(shè)x=2所以2x-3y=2所以2x-3y的最大值為26.故答案為：26【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，考查三角函數(shù)的最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.【變式7-1】1.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1【答案】7【分析】設(shè)x1=cosθ,y1=【詳解】設(shè)x1故2cosθcos所以θ-α=2kπ+π故θ=2kπ+α+π當(dāng)θ=2kπ+α+π==5其中cosφ=57因?yàn)?cosα+φ≤故x1+x當(dāng)θ=2kπ+α-π==5其中cosγ=2114因?yàn)?sinα+γ≤故x1+x綜上，x1+x故答案為：7.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：多變量的最值問(wèn)題，注意根據(jù)方程的特征選擇三角換元來(lái)處理，后者可再結(jié)合三角變換公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值.【變式7-1】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)x、y∈R且3x2+2y【答案】0,4【分析】解法一：利用條件3x2+2y2解法二：由3x2+2y2=6x得【詳解】解法一：∵3x∴y2=3x-x2令fx=-1顯然函數(shù)fx在0,2上單調(diào)遞增，f0=0，f∴x2+解法二：由3x2+2y2=6x得則x=1+2=-令t=cosα，t∈-1,1，gt=-12所以gt∈0,4所以x2+y故答案為：0,4【變式7-1】3.（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）設(shè)a1、a2、a3均為正數(shù)且a12+a【答案】-【分析】由已知可得出a1a32+a2a32=1，不妨設(shè)a1a3=cosθ【詳解】因?yàn)閍1、a2、a3均為正數(shù)且a不妨設(shè)a1a3=cos所以，a=3+=3+=3+sin因?yàn)棣取?,π2，則π則t2=sin所以，a1令ft=t+2t-1+3所以，函數(shù)ft在1,2上單調(diào)遞減，所以，所以，k≤a故答案為：-∞【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1）?x∈D，m≤fx（2）?x∈D，m≥fx（3）?x∈D，m≤fx（4）?x∈D，m≥fx【變式7-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ).在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Px1,y1，Qx2,yA．-2,2 B．2,3+2 C．-2,3-2【答案】B【分析】本題利用圓的參數(shù)方程，設(shè)出Q(1+cosθ,1+sin【詳解】根據(jù)題意,Q是圓M:設(shè)Q的坐標(biāo)為(1+cosθ,1+sinθ則LPQ=|1+cos若sinθ≥0，即LPQ=3+cosθ則當(dāng)θ+π4=π2時(shí)，即當(dāng)θ+π4=5π4時(shí)，即θ若sinθ<0,即LPQ=3+cos則當(dāng)θ+π4=3π2當(dāng)θ+π4=9π綜上所述2≤L故選：B.【點(diǎn)睛】本題為新文化試題，有關(guān)曼哈頓距離的問(wèn)題曾經(jīng)考察過(guò)多次，是模考題的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，這類問(wèn)題從數(shù)學(xué)家思想出發(fā)，一定要將他的概念理解清楚，這樣才能得到有關(guān)距離的函數(shù)，再進(jìn)行分類討論即可.【變式7-1】5.（2022·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a2+bA．3+12 B．2+12【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法法結(jié)合基本不等式可求a(a+b+c)的最大值，也可以利用三角換元結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.我們也可以利用基本不等式把b+c轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的代數(shù)式，從而可求最大值.【詳解】解法一根據(jù)題意，有a(a+b+c)≤=1+其中λ,μ>0，令1+λ解得λ=μ=3于是a(a+b+c)≤1等號(hào)當(dāng)a:b:c=(3+1):2:2時(shí)取得，因此所求最大值為解法二令a=cosφ,b=sina(a+b+c)=cos2=22sin等號(hào)當(dāng)a:b:c=(3+1):2:2時(shí)取得，因此所求最大值為解法三根據(jù)題意，有a(a+b+c)≤a==a2-等號(hào)當(dāng)b2=c2，且因此所求最大值為3+1故選：A.題型8三角換元法與向量求最值向量中的三角換元原理之一，就是源于|a【例題8】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P在以D為圓心且與AC相切的圓上，則BP?AC的取值范圍是【答案】-4,4【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P2cosθ,【詳解】以點(diǎn)D為圓心，以DC,DA所在直線分別為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D0,0,A0,2,B2,2∴設(shè)P2cosθ,∴BP?當(dāng)cosθ+π4=-1時(shí)，當(dāng)cosθ+π4故BP?AC的取值范圍為故答案為：-4,4

【變式8-1】1.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC=120°，點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)，AP=xAB+y【答案】239【分析】如圖所示：作平行四邊形AFPE，E,F分別在AC,AF上，故AP=AE+AF=xAB+y【詳解】如圖所示：作平行四邊形AFPE，E,F分別在AC,AF上，故AP=故|AE|=x,|AF根據(jù)正弦定理：1sin60°=故x=233故3x+y=23其中tanφ=37，當(dāng)tan故答案為：239【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和三角恒等變換的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.【變式8-1】2.（2022·山東日照·統(tǒng)考一模）在ΔABC中，∠A=π3，且【答案】2【分析】取邊BC的中點(diǎn)為O，把（AB→+AC→）?BC→=0轉(zhuǎn)化為AO→【詳解】取邊BC的中點(diǎn)為O，則AO→=1又（AB→+AC→）?BC→∴AO→⊥BC又∠A=π以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；并設(shè)BC＝2a（12≤a則A（0，3a），B（﹣a，0），C（a，0），又BM＝2CM＝2，所以（x+a）2+y2＝4（x﹣a）2+y2＝1，所以解方程組(x解得x=34所以當(dāng)x=AM==(=2=2令a2-5則AM=5+2所以當(dāng)θ=2同理當(dāng)x=AM=2所以當(dāng)θ=π綜上可知：AM的取值范圍是[1，3]，AM的最大值與最小值的差是2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用，也考查了數(shù)形結(jié)合與邏輯推理以及計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題，是難題，突破點(diǎn)是求AM=【變式8-1】3.（2023·陜西西安·西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC外接圓的圓心為O，AB=AC=8，AO=αAB+βAC【答案】2【分析】設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，從而可求得AO?AB，同理可得AO?AC，再結(jié)合AO=α【詳解】如圖所示，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，由于O是△ABC外接圓的圓心，故OD⊥AB，所以AO?同理可得AO?由于AO=α故AO?AB=α解得α=β=1則21+由于0<sinA≤1，依題意-sin令x=sinA,x∈0,1當(dāng)t2≥1，即t≥2時(shí)，當(dāng)0<t2<1fxmax=ft2綜上可得t=2故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出AO?AB，AO?AC，再結(jié)合【變式8-1】4.（2022秋·新疆·高三兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|=2，DA?BC=DB?AC=【答案】49【分析】由題意可設(shè)D(0,0)，A(2,0)，B(-1,3)，C(-1,-3)，再由|AP|=1，PM=MC，可設(shè)【詳解】解：平面內(nèi)，|DA|=|DB∴DA⊥BC，DB⊥可設(shè)D(0,0)，A(2,0)，B(-1,3)，∵動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|AP|=1，可設(shè)P(2+cosθ,sinθ)，∴BM=(3+cos∴BM2當(dāng)且僅當(dāng)sin(∴|BM|2故答案為：494【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由已知向量間的關(guān)系設(shè)點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)，再由|AP|=1，PM=MC，表示出P,M的坐標(biāo)，從而可表示出【變式8-1】5.（2022秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，扇形AOB的圓心角為2π3，半徑為1．點(diǎn)P是AB上任一點(diǎn)，設(shè)∠AOP=α(1)記fα=OP(2)若OP=xOA+y【答案】(1)f(2)1,2【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得Pcosα,sinα，再根據(jù)題意求得（2）根據(jù)題意可得cosα,sinα=x1,0+y-【詳解】（1）由題意，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則Pcosα,sinα，A1,0,B（2）由（1），OP=xOA+yOB，即cosα,sinα=x1,0+y-12,32=x-12y,32y，故cosα=x-12【變式8-1】6.（2022秋·天津?qū)氎妗じ呷？茧A段練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為43的正△ABC，內(nèi)切圓的圓心為O，過(guò)B點(diǎn)的直線l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，（1）若圓心O到直線l的距離為1，則MN=；（2）若BM=λBA【答案】23【分析】（1）利用圓的弦長(zhǎng)公式即求；（2）以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得內(nèi)切圓方程為(x-23)2+(y-2)【詳解】（1）∵邊長(zhǎng)為43由等邊三角形的性質(zhì)可知，內(nèi)切圓的半徑為2，又圓心O到直線l的距離為1，∴MN=2（2）如圖以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(23內(nèi)切圓方程為(x-23)2∵BM=λ∴(23∴23λ+43∴λ+μ=1∵sin(θ+π3故答案為：23；1【變式8-1】7.（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，AP=λA．μ最大值為1 B．AP·AB最大值是8C．λ最大值為5+14 D．AP?【答案】AD【分析】建系，設(shè)P2【詳解】如圖，以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則A-2,0設(shè)P2可得AP=則λAB由題意可得4λ+4μ=2cosθ+22μ=2對(duì)于A：∵μ=sinθ，且θ∈0,π，可得當(dāng)∴μ最大值為1，故A正確；對(duì)于B：AP·AB=4∵θ∈0,π，可得當(dāng)θ=0時(shí)，∴AP·AB最大值是81+1對(duì)于C：∵λ=12cos由θ∈0,π，則令φ≤θ+φ<π，解得0≤θ<π-φ；令π故λ=52cosθ+φ+當(dāng)θ=0時(shí)，則λ=1；當(dāng)θ=π時(shí)，則λ=0<1∴λ最大值是1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：AP?AC∵θ∈0,π，則則當(dāng)θ+π4=π2∴AP?AC最大值是8+8故選：AD.【點(diǎn)睛】方法定睛：1．平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過(guò)作出向量，結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)．2．正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算，強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．題型9三角換元法與根號(hào)型求最值無(wú)理單根號(hào)，雙根號(hào)等等三角換元的數(shù)字特征.1.單根號(hào)，一般是齊次關(guān)系.2.雙根號(hào)，不僅僅是齊次關(guān)系，并且平方后能消去x.3.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約.【例題9】（2021秋·天津紅橋·高三統(tǒng)考期中）設(shè)a≥0，則2a+2a【答案】2【分析】由題意，利用三角換元，令a=tanθ,θ∈0,π2.則y=【詳解】∵a?0,∴可令a=tan則y=2化為2y-∴(2y-化為(5y+2∴y?2.當(dāng)θ=因此2a+2a2故答案為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角換元與輔助角公式的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.【變式9-1】1.（2020春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？计谥校┤魕=x-4+18-3x，則【答案】[【分析】首先求出x的取值范圍，令x=4+2sin2t【詳解】解：因?yàn)閥=所以x-4≥018-3x≥0解得4≤x≤6，令x=4+2sin則y==2所以y=22因?yàn)閠∈0,π2，所以所以y∈故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域的計(jì)算，換元法的應(yīng)用，三角函數(shù)及三角恒等變換公式的應(yīng)用，屬于中檔題.【變式9-1】2.（2021秋·江西吉安·高三江西省萬(wàn)安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知a,b,c∈[-4,4]，則|a-b|+|b-c|【答案】8【解析】設(shè)x=|a-b|,y=【詳解】設(shè)x=|a-b|,y=則x2=a-b,y可設(shè)x=zcosθ,y=zsinθx+y+=z[2sin(θ+即|a-b|故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角換元法及三角恒等變換中的輔助角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.【變式9-1】3.（2021秋·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)r，t∈R滿足r-2t-2r-t【答案】3-2【分析】原方程可變形為r-t-12+t-12=1【詳解】將r-2t-2r-t設(shè)r-t=1+cosα，tr=1+又因?yàn)?1≤sinα+π所以r∈3-2故答案為：3-22題型10換元法求最值【例題10】（2008·重慶·高考真題）函數(shù)f(x)=sinx5+4cosA．[-14,14C．[-12,12【答案】C【分析】由題意結(jié)合函數(shù)解析式的特征利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式的結(jié)論,求解函數(shù)的值域即可.【詳解】令t=5+4cosx1≤t≤3，則：分類討論：當(dāng)0≤x≤π時(shí)，sinx≥0，則：sin函數(shù)的解析式換元為：gt當(dāng)且僅當(dāng)t2=3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)楫?dāng)π<x≤2π時(shí)，sinx≤0，則：sin函數(shù)的解析式換元為：gt當(dāng)且僅當(dāng)t2=3時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)榫C上可得：函數(shù)f(x)=sinx5+4cosx(故選：C【變式10-1】1.（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)f(x)=sinA．35 B．335 C．【答案】D【分析】首先對(duì)原式進(jìn)行變形，然后再利用換元法求函數(shù)的最值.【詳解】由題知f(x)=sin整理得f(x)=1令cosx+2sinx+1所以f(t)=1121+t因?yàn)閏osx+2整理得2-tt解得t≥34，代入f(t)中有f(t)的最大值為即f(x)的最大值為42故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，結(jié)合考查了函數(shù)最值問(wèn)題，屬于難題.【變式10-1】2.．（2022·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知α，β∈0,π2，2A．2-1 B．2 C．11916【答案】D【分析】根據(jù)2sin(α+β)=sinαsinβ弦化切化簡(jiǎn)得【詳解】由題意得，2sin(α+β)=2sinαcos∴tanαtanβ=2(∴tanαtanβ≥16故cos(α+β)sinαsinβ+sin則y=12t+所以最小值為12故選：D【變式10-1】3.（2020秋·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)y=-1+A．1,-1 B．22,-22 C．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式和同角的基本關(guān)系化簡(jiǎn)可得y=-1+sinxsinx+cosx【詳解】設(shè)tanx2=ty==-由t∈0,1，得-2≤t-12所以當(dāng)t=0，即x=0時(shí)，ymin=-1；當(dāng)t=1，即x=π故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式、同角基本關(guān)系，以及換元法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，屬于中檔題.題型11距離與斜率型【例題11】（2020·江蘇鹽城·鹽城市第一中學(xué)校考二模）已知函數(shù)f(α)=2(cosα+12)2【答案】m≤【分析】設(shè)Pcosα,sinα，Q-2,0，S【詳解】2(設(shè)Pcosα,sinα，則f(α)=cos如圖，PQ-PB≤QB，當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,B三點(diǎn)共線且又QB=4+14=因?yàn)榧蟖∈Rf(α)≥m≠?，故m≤fα故答案為：m≤17【點(diǎn)睛】本題考慮無(wú)理函數(shù)的最值，對(duì)于無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題，首選方法是利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，其次可利用幾何意義來(lái)求最值，本題屬于難題.【變式11-1】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxA．22 B．23 C．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將fx轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)A,B【詳解】因?yàn)?cos2x-4所以fx故fx的最大值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P3cosx,2sin因?yàn)?1≤sinx≤1，-2≤-2sin所以PA-當(dāng)且僅當(dāng)sinx=-1時(shí)，等號(hào)成立，則PA經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)cosx=0，f所以fx≤3，即fx故選：D.【變式11-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)圓O:x2+y2=1上兩點(diǎn)Ax1,【答案】15【分析】首先由數(shù)量積公式可得∠AOB=120°，再根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義得h=x1-2y15+x2-2y25【詳解】由OA?OB=-設(shè)h=x1-2y15+取直線x-2y=0為x軸重新建立直角坐標(biāo)系后，則h表示兩點(diǎn)A，B分別到x軸的距離之和.在新的直角坐標(biāo)系下，設(shè)Acosθ,則有h=sin由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上或上方，即-120°≤θ≤60°.所以h=sin0°≤θ≤60得θ+60°∈當(dāng)-120°≤θ<θ-30°∈綜上得32從而得x1故答案為：15【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解x1【變式11-1】3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）存在實(shí)數(shù)α∈R使得2cosα+122【答案】-∞,【分析】首先利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知，轉(zhuǎn)化為fα=cos【詳解】2cosα+=cos設(shè)Pcosα,sinα，則fα如圖，PQ-PB≤QB，當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,B三點(diǎn)共線且點(diǎn)又QB=0+22+1因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)α∈R使得2所以m≤2即m≤17故答案為：-∞,【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題，重點(diǎn)考查構(gòu)造函數(shù)的幾何意義求最值，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化幾何意義求最值.【變式11-1】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x∈[-3，3]，y∈R+，則【答案】21-66/【分析】分別作y=3-x2，y=9x【詳解】解：分別作y=3-x2分別取點(diǎn)(x,3-x2設(shè)P為y=x與y=9∴PO2=當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，取等號(hào).故得的最小值為(OP-3故答案為：21-66

【變式11-1】5.（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)y=-x2【答案】[34，9+【分析】先根據(jù)條件求出x的范圍，再令x﹣2=cosθ，利用三角換元法結(jié)合三角函數(shù)的值域即可求出結(jié)論.【詳解】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0?1≤x≤3.令x﹣2=cosθ

且θ∈[0，π]∴y==sinθ+3cosθ+3，表示兩點(diǎn)（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，cos如圖，斜率最小為-3-0-3-1=34，斜率最大值為直線與半圓相切時(shí)的斜率，sinθ--3cosθ--3?sinθcosθ故答案為：3【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有根式的函數(shù)的值域的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.題型12參變分離【例題12】（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式x2+1cos【答案】θ的取值范圍是(2kπ-3π4,2kπ+【分析】將原不等式按參數(shù)θ分離，利用判別式法可得sinθ-π4【詳解】將原不等式按參數(shù)θ分離，得sinθ-即2sin由“判別式法”可求得：-1≤5x+3x2∴要使原不等式對(duì)一切x∈R都成立，當(dāng)且僅當(dāng)①對(duì)一切x∈R都成立，這又等價(jià)于2sinθ-π∴2kπ-3π∴θ的取值范圍是(2kπ-3π4,2kπ+【變式12-1】（2021·浙江金華·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=t+sinxA．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】A【分析】設(shè)y=t+sinxt+cos【詳解】設(shè)y=t+sinxty-t=sinsinx-φ=ty-t兩邊平方并化簡(jiǎn)得t2-1y設(shè)關(guān)于y的方程t2-1y則y而不等式（*）的解為：y1≤y≤y2，即y1,y所以M?m=1.故選：A【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)sinx≤1來(lái)構(gòu)造關(guān)于函數(shù)值題型13復(fù)合函數(shù)型【例題13】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)fx，當(dāng)x≥0時(shí)滿足fx=4cosxsin(x+π【答案】-【分析】根據(jù)題意，作出fx的圖象，設(shè)t=fx，得到方程t2+2at+2=0，設(shè)gt【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)0≤x≤π6=23因?yàn)?≤x≤π6，可得π6≤2x+π6≤又由x>π6時(shí)，f(x)=(因?yàn)楹瘮?shù)fx是R上的偶函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)f

設(shè)t=fx，則方程fx2由圖象可得：當(dāng)t=2時(shí)，方程t=fx當(dāng)32<t<2時(shí)，方程當(dāng)1<t<32時(shí)，方程當(dāng)t=1時(shí)，方程t=fx要使得fx設(shè)t1,t2是方程t2①t2=232<t1此時(shí)方程為t2-3t+2=0，解得t1②1<t1<32綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3故答案為：-3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.【變式13-1】1.（2020·湖南岳陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=2cosπ3x,x∈-6,612【答案】-【分析】作出函數(shù)fx的圖象，設(shè)fx=t，設(shè)關(guān)于t2+at+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根t1、t2，可得知t1、t2【詳解】作出函數(shù)fx令fx=t，要使關(guān)于x的方程fx2+af則方程t2+at+1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根t1、t2，且由圖知設(shè)gt=t2+at+1因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-5故答案為：-5【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.【變式13-1】2.（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若x∈π6,2π3，關(guān)于【答案】(1)fx(2)m∈【分析】（1）由圖象確定函數(shù)周期，由此求ω，代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)求求出A,φ，即可求得解析式；（2）令t=f(x)，根據(jù)一元二次方程的根于系數(shù)關(guān)系研究方程t2-mt+1=0的解的個(gè)數(shù)及其范圍，結(jié)合函數(shù)fx【詳解】（1）觀察圖象可得x=π3為函數(shù)fx所以函數(shù)fx的周期T=4π3-π因?yàn)棣?2,0，0,-2在函數(shù)所以Asinφ=-2①，由②可得π12ω+φ=kπ所以φ=kπ-π6,k∈將φ=-π6代入①得，所以fx=4sin2x-π（2）由(1)可得fx=4令t=f(x)，x∈π6,2方程t2-mt+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，則m2-4<0，即-2<m<2，此時(shí)方程若方程t2-mt+1=0有且只有一個(gè)解，則m2當(dāng)m=2時(shí)，方程t2-mt+1=0的解為t=1，而當(dāng)m=-2時(shí)，方程t2-mt+1=0的解為t=-1，而當(dāng)m>2時(shí)，方程t2-mt+1=0有兩個(gè)解，設(shè)其解為t1,故0<t1<1<m2由已知方程fx2-mfx+1=0在π6,2π3恰有兩個(gè)實(shí)根，