二階線性微分方程

§4二階線性微分方程【目的要求】1、會驗證兩函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)；2、了解二階線性齊次微分方程解的疊加定理；3、了解二階線性非齊次微分方程解的疊加原理及通解；4、了解復(fù)數(shù)的基本知識；5、熟練掌握二階常系數(shù)線性齊次方程通解的特征根求解法；6、熟練掌握二階常系數(shù)線性非齊次方程特解的待定系數(shù)求解法．【重點難點】二階線性齊次微分方程解結(jié)構(gòu)及的疊加定理．【教學(xué)內(nèi)容】在階微分方程中,若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù),,…,都是一次的,則稱此方程為階線性微分方程.其一般形式為(1)其中是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).若,則稱方程(1)為階線性齊次微分方程;否則,則稱方程(1)為階線性非齊次微分方程.本節(jié)主要討論二階線性非齊次微分方程(2)及二階線性微分方程(3)的有關(guān)理論及解法,所得結(jié)論可以相應(yīng)推廣到階線性微分方程.一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)我們首先討論二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).定理4.1(解的疊加原理)如果函數(shù)是齊次方程(3)的兩個解,則也是方程(3)的解,其中是任意常數(shù).注意盡管是方程(3)的解,又有兩個任意常數(shù),但它不一定是方程(3)的通解.例如,,都是方程的解,但,其中.因此,中實際只含有一個任意常數(shù),他并不是方程的通解.要判斷在什么情況下是方程(3)的通解,需要引入線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念.定義4.1設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),如果存在不全為零的常數(shù),使得,則稱在區(qū)間上線性相關(guān);否則,稱在區(qū)間上線性無關(guān).定理4.2設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),則線性無關(guān)的充要條件是不恒為常數(shù).例如,當(dāng)時,線性無關(guān);線性無關(guān);線性相關(guān).有了函數(shù)線性無關(guān)的概念,我們就有如下關(guān)于二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理.定理4.3設(shè)是齊次方程(3)的兩個線性無關(guān)的特解,則其通解為.(為任意常數(shù))例如,方程式二階齊次線性方程.容易驗證,,都是所給方程的兩個解,且常數(shù),即它們是線性無關(guān)的.因此,方程的通解為.定理4.4設(shè)是方程(2)的一個特解,而是其對應(yīng)的齊次方程(3)的通解,則是二階線性非齊次微分方程(2)的通解.例如,方程是二階線性非齊次微分方程.已知是對應(yīng)齊次方程的通解;有容易驗證是所給方程的一個特解.因此,是所給方程的通解.定理4.5設(shè)與分別是方程與的特解,則是方程的特解.二、二階線性常系數(shù)齊次常微分方程由定理4.3知道,要求二階線性齊次方程(3)的通解,只需求出它的兩個線性無關(guān)的特解.一般來說,沒有普遍適用的方法方法能求出,但對于線性常系數(shù)齊次微分方程,卻能比較方便的求出它的兩個線性無關(guān)的特解.形如(4)的方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程,其中為常數(shù).方程(4)把二階線性齊次方程(3)中的系數(shù)看做常數(shù)的特殊情形.先來分析方程(4)可能具有什么形式的特解,從方程的形式上看,它的特點是,與各乘以常數(shù)因子后相加等于零,如果能找到一個函數(shù),使得,與之間只相差一個常數(shù),這樣的函數(shù)就有可能是方程(4)的特解.易知在初等函數(shù)中,函數(shù)符合上述要求,于是,令來嘗試求解,其中為待定常數(shù).將,,代入方程(4),得,即,(5)由此可見,如果是方程(5)的根,則就是方程(4)的特解,這樣,齊次方程(4)的求解問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程(5)的求根問題.方程(5)稱為微分方程(4)的特征方程,并稱特征方程的兩個根為特征根.根據(jù)初等代數(shù)的知識,特征根有三種可能的情況,下面分別討論.1.特征方程有兩個不相等的實根特征根為(),方程(4)的兩個特解為,,且線性無關(guān),從而方程(4)的通解為,2.特征方程有兩個相等的實根特征根為（）,這樣只能得到方程(4)的一個特解,因此,我們還要設(shè)法找出另一個特解,并使與線性無關(guān),即常數(shù),為此設(shè)即,其中為待定函數(shù).將,,代入方程(4),得,因為,,,所以,積分,得.為簡便起見,取,得,從而方程(4)通解為.3.特征方程有一對共軛復(fù)根特征根為（）,方程(4)的兩個復(fù)數(shù)形式的特解為,.應(yīng)用歐拉公式,得,.令,,根據(jù)定理4.3,,也是方程(4)的特解,且線性無關(guān),故方程(4)的通解為.綜上所述,要求二階常系數(shù)線性齊次微分方程(4)的通解,只須先求出其特征方程(5)的根,再根據(jù)根的情況便可確定其通解,現(xiàn)列表總結(jié)如下(見表4.1):表4.1特征方程的根微分方程通解有兩個不相等的實根：有兩個相等的實根：有一對共軛復(fù)根：例1求微分方程的通解.解原方程的特征方程為,解得特征根為.所以,原方程的通解為.例2求微分方程的通解.解原方程的特征方程為,解得特征根為.所以,原方程的通解為.例3求微分方程的通解.解原方程的特征方程為,解得特征根為.所以,原方程的通解為.三、二階線性常系數(shù)非齊次常微分方程二階線性常系數(shù)非齊次常微分方程的一般形式(6)其中為常數(shù),.由線性非齊次方程通解結(jié)構(gòu)的定理4.4可知,方程(6)的通解等于對應(yīng)的齊次方程(4)的通解與它本身的一個特解之和.在上一節(jié)已經(jīng)討論了齊次方程(4)通解的求法,現(xiàn)在只需討論如何求出非齊次方程(6)的一個特解.本節(jié)只介紹當(dāng)方程(6)中的取兩種常見形式時求的方法.這種方法的特點是不用積分就可求出來,該方法叫做待定系數(shù)法.的兩種形式是(1),其中為常數(shù),是關(guān)于的一個次多項式:;(2),其中為常數(shù),,分別是關(guān)于的次、次多項式.下面分別介紹為上述兩種形式時的求法.1.型的解法由于方程(6)的右端是多項式與指數(shù)函數(shù)乘積,而多項式與指數(shù)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)仍然是多項式與指數(shù)函數(shù)乘積,因此,我們推測方程(6)的特解可能為(其中是某個多項式).把及其導(dǎo)數(shù)代入方程(6),然后考慮能否選取適當(dāng)?shù)亩囗検?使?jié)M足方程(6).為此,將代入方程(6)并消去,得(7)以下分三種不同的情形,分別討論函數(shù)的確定方法:(1)若不是對應(yīng)齊次方程式(4)的特征方程的根,即,要使式(7)的兩端恒等,可令為另一個次多項式:代入(7)式,并比較兩端關(guān)于同次冪的系數(shù),就得到關(guān)于未知數(shù)的個方程.聯(lián)立解方程組可以確定出.從而得到所求方程的特解為(2)若是對應(yīng)齊次方程式(4)的特征方程的單根,即,要使式(7)成立,則必須要是次多項式函數(shù),于是令并用同樣的方法來確定的系數(shù).(3)若是對應(yīng)齊次方程式(4)的特征方程的重根,即.要使(7)式成立,則必須是一個次多項式,可令用同樣的方法來確定的系數(shù).綜上所述,若方程式(6)中的,則它的特解為,其中是與同次多項式,按不是特征方程的根,是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程的一個特解.解是型,且對應(yīng)齊次方程的特征方程為,特征根根為.是特征方程的單根.令,代入原方程解得故所求特解為.例5求方程的通解.解先求對應(yīng)齊次方程的通解.特征方程為,解得特征根對應(yīng)齊次方程的通解為.再求所給方程的特解,由于是特征方程的二重根,所以令,把它代入所給方程,并約去得,比較系數(shù),得,,于是,所給方程的通解為.2.型的解法對于這種形式的特解形式,我們不準(zhǔn)備作深入討論,僅給出結(jié)論,并通過例子加以說明.如果,則方程(6)的特解可設(shè)為其中、是次多項式,,而按(或)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0、1.例6求方程的一個特解.解先求對應(yīng)齊次方程的通解.特征方程為,解得特征根,又，故不是特征方程為的根，.因此原方程的特解形式為于是將代入原方程，得解得原方程的特解為:例7求方程的通解.解先求對應(yīng)的齊次方