2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 圓的標準方程 學案

§2圓與圓的方程2.1圓的標準方程課標要求1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程.2.會根據(jù)已知條件求圓的標準方程，并寫出圓心和半徑.素養(yǎng)要求通過探索圓的標準方程并運用方程解決問題，培養(yǎng)數(shù)學抽象及數(shù)學運算素養(yǎng).一、圓的標準方程1.思考如何給圓下定義？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關系？提示平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點的集合(或軌跡)叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.確定圓的要素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.2.思考若圓心為A(a，b)，半徑為r，利用兩點間的距離公式，你能推導出圓的方程嗎？提示設圓上任一點M(x，y)，則|MA|＝r，由兩點間的距離公式，得eq\r(（x－a）2＋（y－b）2)＝r，化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.3.填空已知圓C的圓心為C(a，b)，半徑為r，則圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.溫馨提醒(1)當圓心在原點O(0，0)，半徑為r，則圓的標準方程為x2＋y2＝r2；(2)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上.4.做一做(1)若某圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心和半徑分別為()A.(－1，5)，eq\r(3) B.(1，－5)，eq\r(3)C.(－1，5)，3 D.(1，－5)，3答案B解析由圓的標準方程可知，圓心為(1，－5)，半徑為eq\r(3).(2)以(2，－1)為圓心，4為半徑的圓的方程為()A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16答案C二、點與圓的位置關系1.思考對于點P(x0，y0)和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么點P在圓C上的充要條件是什么？提示滿足圓的方程(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.2.思考點P(x0，y0)和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么點P在圓內(nèi)或圓外的充要條件是什么呢？提示點P(x0，y0)在圓C內(nèi)，則|PC|<r，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.點P(x0，y0)在圓C外，則|PC|>r，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.3.填空圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，設d＝|PC|＝eq\r(（x0－a）2＋（y0－b）2).位置關系利用距離判斷利用方程判斷點在圓外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內(nèi)d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2溫馨提醒點與圓的位置關系的判斷實質(zhì)是利用點到圓心的距離與半徑的關系.4.做一做(1)已知圓(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0<a<1)，則原點O在()A.圓內(nèi) B.圓外C.圓上 D.圓上或圓外答案B解析由圓的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圓心為(a，1)，則原點與圓心的距離為eq\r(a2＋1).∵0<a<1，∴eq\r(a2＋1)>eq\r(2a)＝r，即原點在圓外.(2)點P(1，3)與以A(2，－1)為圓心，半徑為5的圓的位置關系為()A.在圓上 B.在圓內(nèi)C.在圓外 D.無法確定答案B解析∵|PA|＝eq\r(（1－2）2＋（3＋1）2)＝eq\r(17)<5，∴點P在圓內(nèi).三、圓的簡單幾何性質(zhì)1.思考對于圓x2＋y2＝2，該圓上任意一點P(x，y)的x與y應滿足的條件是什么？提示|x|≤eq\r(2)，|y|≤eq\r(2).2.思考對于圓x2＋y2＝2上的任意一點P(x，y)，關于原點的對稱點(－x，－y)，關于x軸的對稱點(x，－y)，關于y軸的對稱點(－x，y)是否在該圓上？提示在圓上.3.填空圓x2＋y2＝r2的簡單幾何性質(zhì)(1)范圍：|x|≤r，|y|≤r，(2)對稱性：該圓既是關于x軸和y軸的軸對稱圖形，也是關于原點的中心對稱圖形.溫馨提醒圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.圓的對稱中心為圓心，對稱軸為圓的直徑，圓有無數(shù)條對稱軸，只有一個對稱中心.4.做一做(1)若直線x＋y－3＝0始終平分圓(x－a)2＋(y－b)2＝2的周長，則a＋b等于()A.3 B.2C.5 D.1答案A解析由題意可知，圓心(a，b)在直線x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.(2)若圓(x－1)2＋(y－1)2＝3關于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是()A.2 B.－2C.1 D.－1答案B解析∵圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸，∴直線y＝kx＋3過圓心(1，1)，即1＝k＋3，∴k＝－2.題型一圓的標準方程及性質(zhì)的應用例1(1)(多選)下列說法錯誤的是()A.圓(x－1)2＋(y－2)2＝5的圓心為(1，2)，半徑為5B.圓(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圓心為(－2，0)，半徑為bC.圓(x－eq\r(3))2＋(y＋eq\r(2))2＝2的圓心為(eq\r(3)，－eq\r(2))，半徑為eq\r(2)D.圓(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圓心為(2，2)，半徑為eq\r(5)答案ABD解析圓(x－1)2＋(y－2)2＝5的圓心為(1，2)，半徑為eq\r(5)，A錯誤；圓(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圓心為(－2，0)，半徑為|b|，B錯誤；C正確；圓(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圓心為(－2，－2)，半徑為eq\r(5)，D錯誤，故選ABD.(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圓()A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于直線x－y＝0對稱D.關于直線x＋y＝0對稱答案D解析易得圓心C(－a，a)，即圓心在直線y＝－x上，所以該圓關于直線x＋y＝0對稱，故選D.思維升華通過圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)確定其圓心為(a，b)，半徑為r.非標準形式可先轉化為標準形式，再寫圓心、半徑.訓練1圓C：(x－1)2＋y2＝1的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為eq\r(2)，則a的值為()A.－1或－3 B.－1或3C.1或－3 D.1或3答案C解析圓心的坐標為(1，0)，由圓心到直線x－y＋a＝0的距離為eq\r(2)，得eq\f(|1＋a|,\r(2))＝eq\r(2)，即|1＋a|＝2，解得a＝1或a＝－3.題型二點與圓的位置關系的判斷例2已知點A(1，2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值范圍.解由題意，得點A在圓C上或圓C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－eq\f(5,2)，又a≠0，∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞).思維升華判斷點與圓位置關系的兩種方法(1)幾何法：利用點到圓心的距離與半徑比較大小.(2)代數(shù)法：把點的坐標代入圓的標準方程來判斷：點P(x0，y0)在圓C上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；點P(x0，y0)在圓C內(nèi)?(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；點P(x0，y0)在圓C外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.訓練2已知a，b是方程x2－x－eq\r(2)＝0的兩個不等的實數(shù)根，則點P(a，b)與圓C：x2＋y2＝8的位置關系是()A.點P在圓C內(nèi) B.點P在圓C外C.點P在圓C上 D.無法確定答案A解析由題意，a＋b＝1，ab＝－eq\r(2)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2eq\r(2)<8，∴點P在圓C內(nèi)，故選A.題型三求圓的標準方程角度1直接法求圓的標準方程例3(1)與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為________________.(2)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，eq\r(5))在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為eq\f(4\r(5),5)，則圓C的標準方程為________________.答案(1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25(2)(x－2)2＋y2＝9解析(1)∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(2)設圓心C的坐標為(a，0)(a>0)，由題意知，eq\f(|2a|,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，∴C(2，0)，則圓C的半徑為r＝|CM|＝eq\r(22＋（\r(5)）2)＝3.∴圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝9.角度2待定系數(shù)法求圓的標準方程例4求經(jīng)過點P(1，1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程.解設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,（1－a）2＋（1－b）2＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.思維升華1.用直接法求圓的標準方程的策略(1)先求出圓心坐標和半徑，然后根據(jù)標準形式直接寫出圓的標準方程.(2)確定圓心和半徑時，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點為圓心”等.2.待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟訓練3在：①經(jīng)過直線l1：x－2y＝0與直線l2：2x＋y－1＝0的交點；②圓心在直線2x－y＝0上這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的圓存在，求出圓的方程；若問題中的圓不存在，請說明理由.問題：是否存在圓Q，且點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上？解因為點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上，所以圓心在直線AB的垂直平分線上，又直線AB的方程為y＝－1，直線AB垂直平分線所在直線方程為x＝eq\f(－2＋1,2)＝－eq\f(1,2)，則可設圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，圓的半徑為r，若選①，存在圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(1,5)，))即直線l1和l2的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，則圓過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(1,5)))，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(2,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,5)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(b＋1)2，解得b＝－1，則r2＝eq\f(9,4)，即存在圓Q，且圓Q的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).若選②，存在圓Q，使得點A(－2，－1)，B(1，－1)均在圓上.由圓心在直線2x－y＝0上，可得2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－b＝0，則b＝－1，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))eq\s\up12(2)＋(－1＋1)2＝eq\f(9,4)，即存在圓Q，且圓Q的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).綜上，存在圓Q，且圓Q的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝eq\f(9,4).[課堂小結]1.牢記三個知識點：(1)圓的標準方程；(2)點與圓的位置關系；(3)圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握兩種思想方法：數(shù)形結合和待定系數(shù)法.3.辨清一個易錯點：結合圖形求圓的標準方程易漏解.一、基礎達標1.圓(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1的圓心坐標是()A.(1，eq\r(3)) B.(－1，eq\r(3))C.(1，－eq\r(3)) D.(－1，－eq\r(3))答案C解析由圓的標準方程(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1，得圓心坐標為(1，－eq\r(3)).2.圓心為(1，1)且過原點的圓的標準方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析圓的半徑r＝eq\r(（1－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(2)，圓心坐標為(1，1)，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.點(5a＋1，12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－1，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(1,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,13)，\f(1,13)))答案D解析依題意有(5a)2＋144a2<1，得169a2<1，所以a2<eq\f(1,169)，即－eq\f(1,13)<a<eq\f(1,13)，故選D.4.若直線2x－5y＋a＝0平分圓(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周長，則a等于()A.9 B.－9C.1 D.－1答案B解析因為直線2x－5y＋a＝0平分圓(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周長，所以直線2x－5y＋a＝0經(jīng)過該圓的圓心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9.5.(多選)已知圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，則下列說法正確的是()A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M的圓心為(－4，3)C.圓M的半徑為5D.圓M截y軸所得的線段長為6答案ACD解析由圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圓心為(4，－3)，半徑為5，則AC正確；令x＝0，得y＝0或y＝－6，線段長為6，故D正確.6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，則以AB為直徑的圓的標準方程是________.答案(x－2)2＋y2＝25解析|AB|＝eq\r(（5＋1）2＋（－4－4）2)＝10，則r＝5，AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋5,2)，\f(4－4,2)))，即(2，0)，則圓心為(2，0).故所求圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝25.7.與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圓心，且過點P(－1，1)的圓的標準方程是________.答案(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析圓心為(2，－3)，設所求圓的半徑為r，則r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.8.點P(m2，5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是________.答案在圓外解析由圓的方程x2＋y2＝24，得圓心為原點O(0，0)，半徑r＝2eq\r(6).點P與圓心O的距離d＝eq\r(m4＋52)＝eq\r(m4＋25).∵m4≥0，∴eq\r(m4＋25)>2eq\r(6).∴點P在圓外.9.求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的標準方程.解法一設點C為圓心，∵點C在直線l：x－2y－3＝0上，∴可設點C的坐標為(2a＋3，a).又∵該圓經(jīng)過A，B兩點，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(（2a＋3－2）2＋（a＋3）2)＝eq\r(（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2)，解得a＝－2.∴圓心坐標為C(－1，－2)，半徑r＝eq\r(10).故所求圓的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由條件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))故所求圓的標準方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.10.已知圓N的標準方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)如果點M(6，9)在圓上，求半徑a；(2)如果點P(3，3)與Q(5，3)中的一點在圓內(nèi)，一點在圓外，求a的取值范圍.解(1)∵點M(6，9)在圓上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a>0，∴a＝eq\r(10).(2)∵|PN|＝eq\r(（3－5）2＋（3－6）2)＝eq\r(13)，|QN|＝eq\r(（5－5）2＋（3－6）2)＝3，∴|PN|>|QN|，故點P在圓外，點Q在圓內(nèi)，∴3<a<eq\r(13)，即a的取值范圍為(3，eq\r(13)).二、能力提升11.(多選)以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程可能為()A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20答案AD解析令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝2.所以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的交點分別為A(0，4)，B(2，0).|AB|＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，以A為圓心，過B點的圓的方程為x2＋(y－4)2＝20.以B為圓心，過A點的圓的方程為(x－2)2＋y2＝20.12.過三點A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圓的方程為________.答案(x－2)2＋(y－1)2＝25解析設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1－a）2＋（5－b）2＝r2，,（5－a）2＋（5－b）2＝r2，,（6－a）2＋（－2－b）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝5，))所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.13.在△ABC中，已知A(0，3)，B(4，0)，直線l經(jīng)過點C.(1)若直線l：8x－6y－7＝0與線段AB交于點D，且D為△ABC的外心，求△ABC的外接圓的方程；(2)若直線l方程為x＋3y＋6＝0，且△ABC的面積為10，求點C的坐標.解(1)法一由已知得，直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,3)＝1，即3x＋4y－12＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－12＝0,8x－6y－7＝0，))解得eq\b\lc\{(