第01講 曲線與方程（解析幾何）（解析版）

第01講曲線與方程知識(shí)與方法解析幾何主要研究?jī)煞矫娴膬?nèi)容:一是根據(jù)條件求曲線的方程(即軌跡方程)，二是根據(jù)曲線方程,研究曲線的性質(zhì).1.求軌跡方程求曲線的軌跡方程是高考命題的熱點(diǎn),其一般步驟為:建(坐標(biāo)系)、設(shè)(動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo))、限(限制條件,點(diǎn)滿足的條件)、代(坐標(biāo)代入)、化(化簡(jiǎn)整理),最后檢驗(yàn)軌跡的純粹性與完備性.即:=1\*GB3①建系;②設(shè)點(diǎn);③列式;④化簡(jiǎn);⑤檢驗(yàn).求軌跡方程的常用方法:已知曲線類型——待定系數(shù)法未知曲線類型——①定義法:②直接法:③代入法;④交軌法;⑤參數(shù)法.2.研究曲線的性質(zhì)主要是圖形形狀、對(duì)稱性、范圍、最值等.典型例題【例1】已知點(diǎn)集，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，只需滿足，；當(dāng)時(shí)，對(duì)不等式兩側(cè)平方，整理得，綜上可得集合對(duì)應(yīng)的圖象，如圖所示，所以其面積為．【例2】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:=1\*GB3①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；=2\*GB3②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過;=3\*GB3③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.① B.② C.①② D.①②③【答案】C【解析】由得，，，，，所以可為的整數(shù)有0，，1，從而曲線C：恰好經(jīng)過，，，，，六個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論①正確.由得，，解得，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示，易知，，，，四邊形ABCD的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法③錯(cuò)誤.【例3】在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線:.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：=1\*GB3①曲線恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）;②曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2;③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.其中正確的結(jié)論有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】A【解析】如圖，圖象由四個(gè)圓的部分圖像和原點(diǎn)組成，且四個(gè)圓都可過原點(diǎn)，①曲線中，，,經(jīng)過的整點(diǎn)有:,,,,,,,,共9個(gè)，命題①正確;②如圖，曲線上任意兩點(diǎn)距離范圍為，即兩點(diǎn)距離范圍為，命題②錯(cuò)誤;③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形組成，設(shè)它的面積為，，命題(3)正確.故選：A.【例4】（多選題）雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn),距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙扭線.已知點(diǎn)是雙扭線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（）A.雙扭線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱;B.;C.雙扭線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè);D.的最大值為.【答案】ABD【解析】對(duì)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意可得的軌跡方程為.把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；對(duì)，因?yàn)?，?又，所以，即，故.故正確；對(duì)，若，則在的中垂線即軸上．故此時(shí)，代入，可得，即，僅有一個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)，因?yàn)?，故，因?yàn)?，，?即，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等號(hào)．故，即，解得，故正確.故選：.【例5】（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上一點(diǎn)，則（） A．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B． C．曲線圍成的區(qū)域面積小于18 D．到點(diǎn)的最近距離為【答案】ACD【解析】當(dāng)，時(shí)，曲線即，將中心平移到位于第一象限的部分；因?yàn)辄c(diǎn)，，都在曲線上，所以曲線圖象關(guān)于軸，軸和原點(diǎn)對(duì)稱，作出圖象如圖所示:對(duì)于選項(xiàng)：由圖知曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選擇項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：令中令得，向右平移一個(gè)單位可得橫坐標(biāo)為3，根據(jù)對(duì)稱性可知，故選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng)：令中可得，向上平移個(gè)單位可得縱坐標(biāo)最大值為，曲線第一象限的部分被包圍在矩形內(nèi)，矩形面積為，所以曲線圍成的區(qū)域面積小于，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：令中，可得，所以到點(diǎn)的最近距離為，故選項(xiàng)正確；綜上所述，選.【例6】（多選題）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美，對(duì)稱美，和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線：恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論正確的是（）.曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過2.曲線圍成區(qū)域的面積大于.方程表示的曲線在第一象限和第三象限【答案】【解析】把，代入曲線，可知等號(hào)兩邊成立，所以曲線在第一象限過點(diǎn)，由曲線的對(duì)稱性可知，該點(diǎn)的位置是圖中的點(diǎn)對(duì)于選項(xiàng)，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點(diǎn)即可，把，和代入曲線的方程驗(yàn)證可知，等號(hào)不成立，所以曲線在第一象限內(nèi)不經(jīng)過任何整點(diǎn)，再結(jié)合曲線的對(duì)稱性可知，曲線只經(jīng)過整點(diǎn)，即錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，所以，即正確．對(duì)于選項(xiàng)，以為圓點(diǎn)，為半徑的圓的面積為，顯然曲線圍成的區(qū)域的面積小于圓的面積，即錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋耘c同號(hào)，僅限與第一和三象限，即正確．故選：．【例7】(雙空題)曲線是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．則曲線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是_______；又已知點(diǎn)(為常數(shù))，那么的最小值______．【答案】【解析】(1)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo))為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為，所以，當(dāng)時(shí)，代入求得，所以與軸交點(diǎn)為.（2）當(dāng)時(shí)，曲線可以化為當(dāng)時(shí)，曲線可以化為，令，則或，解得或；=1\*GB3①當(dāng)或時(shí),,所以;=2\*GB3②當(dāng)時(shí)當(dāng)直線與相交時(shí),交點(diǎn)滿足取得最小值因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線方程為,所以直線與準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為,此時(shí);=3\*GB3③當(dāng)時(shí)當(dāng)直線與相交時(shí),交點(diǎn)滿足取得最小值此為拋物線準(zhǔn)線方程為所以直線與準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為,此時(shí).綜上所述,【例8】如圖所示,直線和相交于點(diǎn),點(diǎn),以端點(diǎn)的曲線段上任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)的距離相等，若是銳角三角形,且,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線的方程.【答案】.【解析】解法1:已知曲線類型,-待定系數(shù)法為軸,線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示,依題意知:曲線段是以點(diǎn)為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線的一段,其中分別為的端點(diǎn).設(shè)曲線段的方程為，其中，分別為、橫坐標(biāo)，，∴，，由，得：=1\*GB3①=2\*GB3②解由=1\*GB3①、=2\*GB3②組成的方程組得，代入=1\*GB3①并由解得或，因?yàn)槭卿J角三角形，∴，故應(yīng)舍去，所以，.由點(diǎn)在曲線段上，得，綜上，得曲線段的方程為.解法2：利用拋物線定義求標(biāo)準(zhǔn)方程以為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，依題意知：曲線段以點(diǎn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線的一段，過點(diǎn)作，垂線，垂足分別為、，由拋物線定義可知，則，，，所以，即，故拋物線的方程為.由，結(jié)合拋物線定義，得，所以.綜上，得曲線的方程為.【注】求曲線方程時(shí)，為了使得最終的結(jié)果具有簡(jiǎn)單的形式，需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般要考慮兩點(diǎn):①圖形的對(duì)稱性;②使盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.【例9】已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程.【答案】且【解析】由題設(shè)知，則有①，②解法1：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，即③，則，而點(diǎn)在雙曲線上，所以，將③式帶入上式，整理得所求軌跡的方程為且.解法1：設(shè)是直線與交點(diǎn)，①②兩式相乘得（3）而點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，代入（3）式整理得.因?yàn)槭请p曲線上不同的兩點(diǎn)，所以他們與點(diǎn)均不重合，故點(diǎn)不在軌跡上.過點(diǎn)，以及的直線的防塵為，解方程組得.所以直線與雙曲線只有唯一交點(diǎn)，故軌跡不經(jīng)過點(diǎn)，同理軌跡也不經(jīng)過點(diǎn).綜上，軌跡的方程為且.【注】用交軌法求曲線方程時(shí)，要特別注意變量的取值范圖.【例10】如圖,設(shè)點(diǎn)和為拋物線上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知,則點(diǎn)的軌跡方程為（） A.(原點(diǎn)除外) B.（原點(diǎn)除外) C.(原點(diǎn)除外) D.(原點(diǎn)除外) 【答案】A【解析】當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè),直線的方程為,由得,聯(lián)立和,消去得,所以,所以,由得,所以,所以,所以,把代入得,當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè)直線的方程為,由得點(diǎn)在軸上,即,∵,又點(diǎn)在拋物線上,故,整理得,故點(diǎn),滿足方程,綜上所述：動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（除原點(diǎn)外)故選：.強(qiáng)化訓(xùn)練1.如果把一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為（）A.B.C.D.【答案】【解析】的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）曲線是關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的圖形，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)距離為直徑長(zhǎng)的一半，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以直徑為.2.由曲線圍成的圖形面積為（）A.B.C.D.【答案】【解析】由題意，作出如圖的圖形，由曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)，解析式為，故可得此曲線所圍成的圖形由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形與四個(gè)半徑為的半圓組成，所圍成的面積是，故選.3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實(shí)線部分）的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榍€表示折線段的一部分和雙曲線，A選項(xiàng)，等價(jià)于或，表示折線的全部和雙曲線，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，等價(jià)于或，又表示折線的全部，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，等價(jià)于或，表示折線在雙曲線外部（包含有原點(diǎn)）的部分，表示雙曲線，符合題中的圖象，故C正確；D選項(xiàng)，等價(jià)于或，表示折線在雙曲線外部（包含有原點(diǎn)）的部分，和表示雙曲線在軸正文的部分，故錯(cuò)誤．4.方程所表示的曲線是( )A.一個(gè)圓B.兩個(gè)圓C.半個(gè)圓D.兩個(gè)半圓【答案】A【解析】,表示一個(gè)圓,選A.5.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線C有四條對(duì)稱軸；②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】①當(dāng)x變?yōu)椋瓁時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)椋瓂時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)閤時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于y＝x軸對(duì)稱；當(dāng)y變?yōu)椋瓁時(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于y＝－x軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；②因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，故錯(cuò)誤；③設(shè)任意一點(diǎn)P（x，y），所以圍成的矩形面積為xy，因?yàn)?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選:C.6.曲線C為：到兩定點(diǎn)、距離乘積為常數(shù)16的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）(1)曲線C一定經(jīng)過原點(diǎn)；(2)曲線C關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱；(3)△的面積不大于8；(4)曲線C在一個(gè)面積為64的矩形范圍內(nèi).A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，對(duì)于命題(1)，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得，所以命題(1)錯(cuò)誤；對(duì)于命題(2)，點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，∵∵則點(diǎn),都在曲線C上，所以，曲線C關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，命題(2)正確；對(duì)于命題(3)，設(shè)，，,則，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則為銳角，所以，，則△的面積為命題(3)正確；對(duì)于命題(4)，，可得，得，解得，由（3）知，，得，曲線在一個(gè)面積為的矩形內(nèi)，命題（4）正確.因此，正確的命題序號(hào)為（2）（3）（4）.故選C.7.雙曲線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，下列說法中正確的有()①雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；②；③雙紐線上滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)；④的最大值為.A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】對(duì)①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題可得的軌跡方程，把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程顯然成立.故①正確；對(duì)②因?yàn)?，故又，所?即，故，②正確.對(duì)③，若，則在的中垂線即軸上.故此時(shí)，代入，可得,即,僅有一個(gè).故③錯(cuò)誤;對(duì)④,因?yàn)?故,即，因?yàn)?故.即,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號(hào).故,即,解得.故④正確.故①②④正確.故選：B8.已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足且,則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由已知得,,即由余弦定理得,,即整理得,故的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,其中,故所求軌跡方程為.9.設(shè)圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切.求的圓心軌跡的方程.【答案】【解析】（1）設(shè)，，圓的半徑為，則，的圓心軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，，，，的圓心軌跡的方程為.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，并且滿足，，求點(diǎn)的軌跡的方程.【答案】【解析】方法一：設(shè)