專題提升課四　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

5專題提升課四與圓有關(guān)的最值問(wèn)題方法一利用距離的定義求最值【典例1】圓x2+y2-2x+4y-20=0上的點(diǎn)到直線3x-4y+19=0的最大距離為 ()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】選B.由題意,x2+y2-2x+4y-20=0的圓心為(1,-2),半徑為5,圓心到直線的距離d=|3+8+19所以圓x2+y2-2x+4y-20=0上的點(diǎn)到直線l的最大距離是5+6=11.【思維提升】利用距離的定義求最值的方法關(guān)鍵是確定距離最大、最小時(shí)點(diǎn)的位置.一般通過(guò)點(diǎn)與圓心的連線和圓的交點(diǎn)、過(guò)圓心與直線垂直的直線和圓的交點(diǎn)確定點(diǎn)的位置,再利用距離公式求最值.【即學(xué)即練】圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點(diǎn)到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是________.

【解析】圓x2+y2-4x-4y-10=0可化為(x-2)2+(y-2)2=18,圓心為(2,2),半徑r=32.圓心(2,2)到直線x+y-14=0的距離為|2+2-14|2所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2r=62.答案:62方法二利用幾何意義求最值【典例2】已知M(m,n)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn).(1)求2m+n的最大值;(2)求(m+2)2+(n-3)2的最小值;(3)求nm+1【解析】由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,則圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=22.(1)設(shè)2x+y=b,即2x+y-b=0,作出圓(x-2)2+(y-7)2=8與一組平行線2x+y-b=0,當(dāng)直線2x+y-b=0與圓相切時(shí),縱截距b取得最大值或最小值,此時(shí)圓心到直線的距離d=|2×2+7-b解得b=11+210或b=11-210,所以2m+n的最大值為11+210.(2)(m+2)2+(n-3)2表示點(diǎn)M(m,n)與點(diǎn)Q(-2,3)的距離的平方,又|QC|=(2+2)2所以|MQ|min=42-22=22,即(m+2)2+(n-3)2的最小值為8.(3)nm+1=n-0m-(-1P(-1,0)的直線的斜率,令nm+1=k,則n=k(m+1),即km-n+k=0.當(dāng)直線MP令|2k-7+k所以nm+1的范圍是【思維提升】常見(jiàn)的三種幾何意義的應(yīng)用(1)形如t=y-bx-a形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題,即轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a,b(2)形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題;(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題.【即學(xué)即練】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x-2)2+y2=3,求yx的最大值和最小值【解析】原方程表示以點(diǎn)(2,0)為圓心,3為半徑的圓,設(shè)yx=k,即y=當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取最大值和最小值,此時(shí)|2k-0|k2故yx的最大值為3,最小值為-3方法三距離轉(zhuǎn)化法求最值【典例3】若圓C:x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱,求由點(diǎn)(a,b)向圓C所作的切線長(zhǎng)的最小值.【解析】因?yàn)閳AC:x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱,所以圓心C(-1,2)在直線2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即a-b=3.又圓的半徑為2,當(dāng)點(diǎn)(a,b)與圓心的距離最小時(shí),切線長(zhǎng)取得最小值,又點(diǎn)(a,b)與圓心的距離為(a+1)2+所以切線長(zhǎng)的最小值為(32【思維提升】關(guān)于距離轉(zhuǎn)化法求最值(1)利用勾股定理等方法,將切線長(zhǎng)表示出來(lái),分析決定切線長(zhǎng)大小的要素,利用該要素的最值求切線長(zhǎng)的最值;(2)常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化依據(jù):直線外一點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的最小值是該點(diǎn)到這條直線的距離.【即學(xué)即練】直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是 ()A.[2,6] B.[4,8]C.[2,32] D.[22,32]【解析】選A.設(shè)圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=22.點(diǎn)P到直線AB的距離為d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'又AB=22,所以S△ABP=12·|AB|·d'=2d'所以2≤S△ABP≤6.方法四利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化求最值【典例4】已知點(diǎn)A(-1,1)和圓C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程.【解析】點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'(-1,-1),A'與圓心(5,7)的距離為(5+1)2+【思維提升】利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化求最值涉及光線反射可以利用對(duì)稱性,將折線轉(zhuǎn)化為直線解題,根據(jù)題意可以選擇點(diǎn)對(duì)稱,也可以選擇圓對(duì)稱.【即學(xué)即練】(多選題)一束光線從點(diǎn)A(-1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程時(shí) ()A.點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(-1,-1)B.反射光線所在的直線方程是4x-3y+1=0C.光線的最短路程為4D.當(dāng)光線的路程最短時(shí),反射點(diǎn)的坐標(biāo)為(14,0【解析】選ABC.圓C的圓心C的坐標(biāo)為(2,3),半徑r=1.點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(-