專題提升課六　弦長(zhǎng)問題

7專題提升課六弦長(zhǎng)問題方法一利用公式求弦長(zhǎng)【典例1】橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C2:x2+y2=4的直徑,且C1的離心率等于12,已知直線l:x-y-1=0交C(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求弦AB的長(zhǎng).【解析】(1)由題意得2a=4,所以a=2,因?yàn)閑=ca=12,所以c=1,所以b=所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)由y=x-13x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=87,x1·x2=-8所以|AB|=1+k2|x1-x2|=264【思維提升】關(guān)于直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)問題(1)交點(diǎn)法:將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求,但是運(yùn)算一般比較復(fù)雜;(2)根與系數(shù)的關(guān)系法:是求弦長(zhǎng)的主要方法,設(shè)直線的斜率為k,被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則弦長(zhǎng)公式為:|AB|=1+k2·(x1+提醒:涉及弦長(zhǎng)問題的前提是直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),因此消元得到的一元二次方程Δ>0,求出的參數(shù)必須滿足不等式.【即學(xué)即練】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-23,0),F2(23,0),離心率e=32(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng),求m的值.【解析】(1)由題意得c=23,a=4,則b=2;故橢圓方程為x216+(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=x+mx216+y所以x1+x2=-8m5,x1x2=則|PQ|=1+k2=2·64m解得m=±302故m的值為±302方法二“點(diǎn)差法”、根與系數(shù)關(guān)系解決中點(diǎn)問題【典例2】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線x-y+2=0與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,若P為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OP的斜率為-12A.x23+y2=1 B.x2C.x25+y23=1 D.【解析】選B.點(diǎn)差法:直線x-y+2=0過點(diǎn)F(-2,0),所以c=2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x12a2+y1兩式相減并化簡(jiǎn)得-b2a2=y即-b2a2=(-12)×1,b2a2=12,a所以b=c=2,a=2,所以橢圓C的方程為x24+y根與系數(shù)的關(guān)系法:直線x-y+2=0過點(diǎn)F(-2,0),所以c=2,由y得(a2+b2)x2+22a2x+2a2-a2b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-22所以y1+y2=x1+x2+22=22所以P(-2a2a2所以-b2a2=-12,所以a2=2b2=b2所以a2=4,b2=2,所以橢圓的方程為x24+y【思維提升】解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到中點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo),再利用直線方程得到另一個(gè)坐標(biāo);(2)點(diǎn)差法:利用交點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,具體如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓x2a2+y2bM(x0,y0)是線段AB的中點(diǎn),則x由(1)-(2),得1a2(x12-x22)+變形得y1-y2x1-x2即kAB=-b2提醒:直線與橢圓相交于兩點(diǎn)是用“點(diǎn)差法”解決弦的中點(diǎn)問題的必要條件,如果直線與橢圓沒有交點(diǎn),則無法用“點(diǎn)差法”解題.【即學(xué)即練】橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M,N兩點(diǎn),連接原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所得直線的斜率為22,則mn的值是 (A.22 B.C.922 D【解析】選A.由mx得(m+n)x2-2nx+n-1=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=2nm+n,所以y1+y所以線段MN的中點(diǎn)為P(nm+n,mm+n由題意知,kOP=22,所以mn=方法三代數(shù)法解決最值問題【典例3】已知A(-4,0),B(4,0)皆為曲線C上的點(diǎn),P為曲線C上異于A,B的任意一點(diǎn),且滿足直線PA的斜率和直線PB的斜率之積為-14(1)求曲線C的方程;(2)直線l過點(diǎn)D(6,0)且與曲線C交于M,N兩點(diǎn),求△OMN面積的最大值.【解析】(1)設(shè)P(x,y)為曲線C上異于A,B的任意一點(diǎn),因?yàn)閗PA·kPB=-14,所以yx+4·yx-4=-14所以x2-16=-4y2,即x216+y2又A(-4,0),B(4,0)皆為曲線C上的點(diǎn),所以曲線C的方程為x216+y(2)設(shè)l的方程為x=my+6,又設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x消去x得(m2+4)y2+12my+20=0,由Δ=(12m)2-80(m2+4)=64m2-320>0,得m2>5,由根與系數(shù)的關(guān)系,可得y1+y2=-12mm2+4,y1y所以S△OMN=12|OD|·|y1-y2|=3|y1-y2|=3=3144m2(令m2-5=t,則t>0,且m2+4=所以S△OMN=24tt2當(dāng)且僅當(dāng)t=3,即m=±14時(shí)“=”成立,所以△OMN面積的最大值為4.【思維提升】關(guān)于代數(shù)法解決最值問題(1)表示三角形面積時(shí),可以利用弦長(zhǎng)(底)、點(diǎn)到直線的距離(高),也可以把三角形分割,靈活表示;(2)求最值的時(shí)候常用到配方法、基本不等式、放縮法等.提醒:設(shè)直線方程的兩種方法(1)斜率存在時(shí),設(shè)為點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0);斜率不存在時(shí),特殊情況單獨(dú)驗(yàn)證.(2)設(shè)為x=my+b,當(dāng)m=0時(shí)包含了斜率不存在的情況,避免了對(duì)斜率的討論.【即學(xué)即練】已知橢圓S:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=22,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P(2,-2)在橢圓S上,過F2的直線l交橢圓(1)求橢圓S標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求△ABF1的面積的最大值.【解析】(1)設(shè)橢圓S的半焦距為c(c>0),由題意ca=所以橢圓S的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+(2)由(1)得F1(-2,0),F2(2,0),設(shè)l:x=my+2,代入x28+得(m2+2)y2+4my-4=0,