七年級數(shù)學上冊專題30 和角平分線有關的計算（原卷版）

/專題30和角平分線有關的計算1．已知，（1）如圖1，、分別平分和，若，則是；（2）如圖2，、分別平分和，若，求的度數(shù)（寫推理過程）．（3）若、分別平分和，，則的度數(shù)是（在稿紙上畫圖分析，直接填空）．2．我們學過角的平分線的概念．類比給出新概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成的兩個角的射線，叫做這個角的三分線．顯然，一個角的三分線有兩條，例如：如圖1，若，則是的一條三分線．（1）如圖1，若，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，若，是的兩條三分線．①求的度數(shù)；②現(xiàn)以為中心，將順時針旋轉度得到，當恰好是的三分線時，則求的值．（3）如圖3，若，是的一條三分線，，分別是與的平分線，將繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，若射線恰好是的三分線，則此時繞點旋轉的時間是多少秒？（直接寫出答案即可，不必說明理由）3．如圖，已知內部有三條射線，平分，平分．（1）若，，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)（寫出求解過程）；（3）若將條件中“平分，平分．平分”改為“，”，且，求的度數(shù)（寫出求解過程）．4．如圖，已知，．（1）求的度數(shù)；（2）若射線繞點以每秒旋轉的速度順時針旋轉，同時射線以每秒旋轉的速度逆時針旋轉，設旋轉的時間為秒，試求當時的值；（3）若繞點以每秒旋轉的速度逆時針旋轉，同時繞點以每秒旋轉的速度逆時針旋轉，設旋轉的時間為秒，平分，平分，在旋轉的過程中，的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出其值：若改變，說明理由．5．根據(jù)閱讀材料，回答問題．材料：如圖所示，有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角．如果一條射線把一個角分成兩個相等的角和，這條射線叫做這個角的平分線．這時，（或．問題：平面內一定點在直線的上方，點為直線上一動點，作射線，，．當點在直線上運動時，始終保持，，將射線繞點順時針旋轉得到射線．（1）如圖1，當點運動到使點在射線的左側時，若平分，求的度數(shù)；（2）當點運動到使點在射線的左側，時，求的值；（3）當點運動到某一時刻時，，直接寫出此時的度數(shù)．6．我們已學習了角平分線的概念，那么你會用它們解決有關問題嗎？（1）如圖1所示，將長方形筆記本活頁紙片的一角折過去，使角的頂點落在處，為折痕．若，求的度數(shù)．（2）在（1）條件下，如果又將它的另一個角也斜折過去，并使邊與重合，折痕為，如圖2所示，求的度數(shù)．7．如圖，已知，以為頂點，為一邊畫，若，與的平分線分別為，．（1）如圖1，若射線在的內部，求的度數(shù)．（2）如圖2，若射線在的外部，求的度數(shù)．（3）由（1）、（2）題結果中的規(guī)律，若把“改為為銳角）”，其余條件不變，的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若變化，請求的度數(shù)；若不變，請說明理由．8．如圖1，，，平分（1）若，則（2）將繞點旋轉至如圖2位置，求和的數(shù)量關系（3）在（2）的條件下，在內部是否存在射線，使，且？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．9．如圖1，已知，，是內部的一條射線，且平分．（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則（用含的式子表示）．（4）當射線繞點逆時針旋轉到如圖2的位置時，請把圖補充完整；此時，與有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．10．已知，，若射線繞點在內部旋轉，平分．（1）如圖1，當時，請直接寫出和的度數(shù)：；；（2）請分別求出當和時，的度數(shù)（利用備用圖，畫出圖形并寫出簡要的過程）；（3）若，請用含的式子表示的度數(shù)（直接寫出結果）．11．在數(shù)學的學習過程中，我們要不斷地歸納，思考和遷移，這樣才能提高我們解決問題的能力：規(guī)律發(fā)現(xiàn)：在學完《數(shù)軸》這節(jié)課后，小明的作業(yè)有兩道小題，請你幫他把余下的兩空完成：（1）點表示的數(shù)是2，點表示的數(shù)是6，則線段的中點表示的數(shù)為；（2）點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是7，則線段的中點表示的數(shù)為；發(fā)現(xiàn)：點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，則線段的中點表示的數(shù)為．直接運用：將數(shù)軸按如圖（1）所示從某一點開始折出一個等邊三角形，設點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，則值為，若將從圖中位置向右滾動，則數(shù)字2014對應點將與的頂點重合．類比遷移：如圖（2）：，，，若射線繞點每秒的速度順時針旋轉，射線繞點每秒的速度順時針旋轉，射線以每秒的速度逆時針旋轉，三線同時旋轉，當一條射線與直線重合時，三條射線同時停止運動，問：運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？12．已知，．（1）如圖1，當點、、在同一條直線上時，的度數(shù)是；如圖2，若恰好平分，則的度數(shù)是；（2）當從圖1的位置開始，繞點逆時針方向旋轉，作射線平分，射線平分，在旋轉過程中，發(fā)現(xiàn)的度數(shù)保持不變．①的度數(shù)是；②請選擇下列圖3、圖4、圖5、圖6四種情況中的兩種予以證明．13．已知，是銳角，平分，平分．（1）如圖1若，求的度數(shù)？（2）若射線繞著點運動到的內部（如圖，在（1）的條件下求的度數(shù)；（3）若，，請用含有，的式子直接表示上述兩種情況的度數(shù)．14．已知，射線從出發(fā)，繞點以秒的速度逆時針旋轉，旋轉時間為秒．射線、分別平分、．（1）如圖①，如果秒，求的度數(shù)；（2）如圖①，若射線旋轉時間為秒，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）射線從出發(fā)時，射線也同時從出發(fā)，繞點以秒的速度逆時針旋轉，射線、在旋轉過程中，若，請你借助圖②和備用圖進行分析后，直接寫出的值．15．已知如圖1，平分，平分．（1）如果，，那么是多少度？（2）如果，，那么是多少度？（3）通過（1）、（2）的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么？（4）拓展：如圖2，已知點是的中點，點是的中點，試判斷線段與線段的數(shù)量關系，并說明理由．16．【問題提出】已知，，，求的度數(shù)．【問題思考】聰明的小明用分類討論的方法解決．（1）當射線在的內部時，①若射線在內部，如圖1，可求的度數(shù)，解答過程如下：設，，，，，，，問：當射線在的內部時，②若射線在外部，如圖2，請你求出的度數(shù)；【問題延伸】（2）當射線在的外部時，請你畫出圖形，并求的度數(shù)．【問題解決】綜上所述：的度數(shù)分別是．17．如圖1，將一副三角板的兩個銳角頂點放到一塊，，，，分別是，的角平分線．（1）當繞著點逆時針旋轉至射線與重合時（如圖，則的大小為；（2）如圖3，在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點逆時針旋轉，當時，求的大小，寫出解答過程；（3）在繞點逆時針旋轉過程中，．18．一副三角尺（分別含，，和，，按如圖1所示擺放在量角器上，邊與量角器刻度線重合，邊與量角器刻度線重合，將三角尺繞量角器中心點以每秒的速度順時針旋轉，當邊與刻度線重合時停止運動，設三角尺的運動時間為．（1）當時，邊經(jīng)過的量角器刻度線對應的度數(shù)是度；（2）如圖2，若在三角尺開始旋轉的同時，三角尺也繞點以每秒的速度逆時針旋轉，當三角尺停止旋轉時，三角尺也停止旋轉，．①用含的代數(shù)式表示：；；當為何值時，？②從三角尺與三角尺第一對直角邊和斜邊重疊開始起到另一對直角邊和斜邊重疊結束止，經(jīng)過的時間為秒．19．如圖1，對于線段和，點是線段上的任意一點，射線在內部，如果，則稱線段是的伴隨線段，是線段的伴隨角．例如：，，若，則線段的伴隨角．（1）當，時，若，試求的伴隨線段的長．（2）如圖2，對于線段和，，．若點是線段上任一點，，分別是線段，的中點，，，分別是線段，，的伴隨角，則在點從運動到的過程中（不與，重合），的大小是否會發(fā)生變化？如果會，請說明理由；如果不會，請求出的大小．（3）如圖3，已知是任意銳角，點，分別是射線，上的任意一點，連接，的平分線與線段相交于點．對于線段和，線段是的伴隨線段，點和點能否