第03講基本不等式精講

第03講基本不等式(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析 4高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小 6高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值 8角度1：利用基本不等式求積最大值 8角度2：利用基本不等式求和最小值 10角度3：二次與二次（一次）的商式的最值 11角度4：“1”的妙用求最值 12角度5：條件等式求最值 13高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題 18高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題 21第四部分：數(shù)學(xué)思想方法 25①函數(shù)與方程 25②轉(zhuǎn)化與化歸 27③特殊與一般 30溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）①如果，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．2、兩個(gè)重要的不等式①（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．②（）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和有最小值；②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積有最大值；4、常用技巧利用基本不等式求最值的變形技巧——湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.①湊：湊項(xiàng)，例：；湊系數(shù)，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整體解：例：已知,是正數(shù)，且，求的最小值.解析：，即，解得.第二部分：高考真題回歸1．（2021·（乙卷文）·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．2．（多選）（2022·（新高考Ⅱ卷）高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．3．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．【答案】【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：基本不等式的內(nèi)容及辨析典型例題例題1．（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┫铝胁坏仁揭欢ǔ闪⒌氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，且，若，則，B不正確；對(duì)于C，，則，即C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由均值不等式得成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則D正確.故選：D例題2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┊?dāng)時(shí)，函數(shù)（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：A例題3．（多選）（2023秋·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谀┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為2B．若，則C．若，則D．若，，則【答案】BD【詳解】令，則，在，上單調(diào)遞增，故，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；當(dāng)，時(shí)，C顯然不成立；若，，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確．故選：BD．練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）已知，則取得最小值時(shí)的值為（

）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【詳解】，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A2．（多選）（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知a，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，不等式不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以恒成立，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)滿足，但，此時(shí)，故D不正確.故選：BC.3．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一華南師大附中?？计谀┫铝忻}中正確的是（

）A．時(shí)，的最小值是2B．存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立C．若，則D．若，且，則【答案】BCD【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故時(shí)，取不到最小值2，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，,故B正確；,故，故C正確；，，則,解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選:BCD.高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式比較大小典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，，則，，，中最大的一個(gè)是______．【答案】##【詳解】，，，則，，，綜上所述：最大的一個(gè)是.故答案為：例題2．（2022秋·山東青島·高一青島二中?？计谥校┰O(shè)正實(shí)數(shù)、滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A：由，則，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，錯(cuò)誤；B：由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，正確；C：由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，錯(cuò)誤；D：由，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，錯(cuò)誤.故選：B例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)大運(yùn)河項(xiàng)目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國(guó)第46個(gè)世界遺產(chǎn)項(xiàng)目，隨著對(duì)大運(yùn)河的保護(hù)與開發(fā)，大運(yùn)河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團(tuán)乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運(yùn)碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順?biāo)械乃俣葹椋谀嫠械乃俣葹椋瑒t游船此次行程的平均速度與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】易知，設(shè)奧運(yùn)公園碼頭到漕運(yùn)碼頭之間的距離為1，則游船順流而下的時(shí)間為，逆流而上的時(shí)間為，則平均速度，由基本不等式可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)不等式都取得“=”，而根據(jù)題意，于是.故選：A.練透核心考點(diǎn)1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所?故選：D2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一家金店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里購(gòu)買黃金項(xiàng)鏈，售貨員先將一條黃金項(xiàng)鏈放在天平左盤中，質(zhì)量為的砝碼放在天平右盤中使天平平衡；再將這條黃金項(xiàng)鏈放在天平右盤中，質(zhì)量為的砝碼放在天平左盤中使天平平衡；那么這條項(xiàng)鏈的真實(shí)質(zhì)量（

）A．大于 B．小于 C．等于 D．無法確定【答案】B【詳解】由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為a，右臂長(zhǎng)為b（不妨設(shè)），再利用杠桿原理，要使杠桿平衡，作用在杠桿上的兩個(gè)力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即，，解得：，下面比較與的大小：，由于，故等號(hào)不成立，所以故選：B3．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】由題設(shè)，，則(僅等號(hào)成立)，可得，由，即，則，A正確；由，即，B錯(cuò)誤；由，C正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)誤；故選：AC高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式求最值角度1：利用基本不等式求積最大值典型例題例題1．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故選：C.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的最大值.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最大值是.例題3．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最大值為__________．【答案】4【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：角度2：利用基本不等式求和最小值典型例題例題1．（2023春·甘肅武威·高一民勤縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，由基本不等式可知，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故選：A例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏市八中?？奸_學(xué)考試）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為，故選：D例題3．（2023秋·遼寧遼陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）若正數(shù)，滿足，則的最小值是__________．【答案】4【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為:4.角度3：二次與二次（一次）的商式的最值典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【詳解】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【詳解】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)）的最小值為3；（2）令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即t=3時(shí)取等號(hào)y的最小值為10角度4：“1”的妙用求最值典型例題例題1．（2023秋·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B．17 C．20 D．25【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：D.例題2．（2023秋·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）若存在正實(shí)數(shù)，使得等式和不等式都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】∵為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.例題3．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知．(1)證明：．(2)求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，則，即，得．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故得證．（2）由題意得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為．角度5：條件等式求最值典型例題例題1．（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，且，令，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D．例題2．（2023秋·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值為______.【答案】【詳解】由得：，又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（舍）或，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.例題3．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】【詳解】因?yàn)闀r(shí)取等號(hào)，則,得，可得，，即得最小值為,故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（2023·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）已知，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，又，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故選：A2．（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：B3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號(hào)成立.故選：D.4．（2023秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等，所以的最小值為，故選：.5．（2023春·廣西南寧·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；解得或（舍）.故選：B.6．（多選）（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】A選項(xiàng)，由題可得，得，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).則，故C正確；D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)分析得，則，故D正確.故選：CD7．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二學(xué)業(yè)考試）已知，且，則的最大值為______.【答案】【詳解】，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若存在，使成立，則的取值范圍是___________.【答案】【詳解】解：依題意存在，使成立，即存在，使得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為，所以，即；故答案為：9．（2023秋·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）若正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為______.【答案】【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.10．（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，，，則的最小值為__________.【答案】##【詳解】由得：，而，，則有，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：11．（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）法一：，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立．∴ab的最大值為法二：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．∴ab的最大值為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為．12．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二中?？茧A段練習(xí)）已知,求的最大值.【答案】【詳解】解:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)取最大值.高頻考點(diǎn)四：基本不等式的恒成立問題典型例題例題1．（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知，若恒成立，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．24 D．25【答案】C【詳解】∵，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即，由題意可得：，又，解得，故的最大值為24.故選：C.例題2．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．因不等式恒成立，只需，因此，故實(shí)數(shù)的最大值為25．故選：D例題3．（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)校考期末）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，所以，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，則不等式恒成立，即為，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A.例題4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】9【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)取等號(hào)，所以，整理得，解得，故正實(shí)數(shù)a的最小值為9．故答案為：9.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？奸_學(xué)考試）已知且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則且、均為正數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為，所以，，即，解得.故選：C.2．（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，則時(shí)，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】可化為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為8，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故選：A．4．（2023秋·廣東廣州·高一廣州市海珠中學(xué)?？计谀┤粽龜?shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，解得，時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，即所以，?shí)數(shù)的最大值為.故選：D．高頻考點(diǎn)五：利用基本不等式解決實(shí)際問題典型例題例題1．（2023秋·河南·高一校聯(lián)考期末）某種植戶要倚靠院墻建一個(gè)高3m的長(zhǎng)方體溫室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墻壁和頂棚的搭建，設(shè)溫室中墻的邊長(zhǎng)分別為，如圖所示．(1)寫出：滿足的關(guān)系式；(2)求溫室體積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得：頂棚所用材料的面積為，3面墻壁所用材料的面積為，所以．（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，令，則，解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以溫室體積，則溫室體積的最大值為．例題2．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？【答案】(1)每月處理量為400噸時(shí)，平均每噸處理成本最低(2)該企業(yè)不盈利，國(guó)家至少需要補(bǔ)貼35000元才能使該單位不虧損.【詳解】（1）設(shè)該工廠每噸平均處理成本為，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，每噸平均處理成本最低.（2）設(shè)該工廠每月的利潤(rùn)為，則，∴，當(dāng)時(shí)，，所以該工廠不獲利，且需要國(guó)家每月至少補(bǔ)貼35000元才能使工廠不虧損.例題3．（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？计谀閿[脫美國(guó)政府針對(duì)中國(guó)高科技企業(yè)的封鎖，加強(qiáng)自主性，某企業(yè)計(jì)劃加大對(duì)芯片研發(fā)部的投入，據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100名技術(shù)人員，年人均投入60萬元，現(xiàn)將這100名技術(shù)人員分成兩部分：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元.(1)要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多為多少人？(2)若技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，必須研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，求出正整數(shù)的最大值.【答案】(1)75人；(2)7.【詳解】（1）依題意得解得，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人（2）由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有：得整理得故有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故正整數(shù)的最大值為7練透核心考點(diǎn)1．（2023春·湖南衡陽(yáng)·高一?？奸_學(xué)考試）某大型企業(yè)原來每天成本（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為，為了配合環(huán)境綜合整治，該企業(yè)積極引進(jìn)尾氣凈化裝置，每噸產(chǎn)品尾氣凈化費(fèi)用為k萬元，尾氣凈化裝置安裝后當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，總成本．(1)求k的值；(2)設(shè)每噸產(chǎn)品出廠價(jià)為48萬元，試求尾氣凈化裝置安裝后日產(chǎn)量為多少時(shí)，日平均利潤(rùn)最大，其最大值為多少．（日平均利潤(rùn)就是日總利潤(rùn)÷日產(chǎn)量）【答案】(1)(2)尾氣凈化裝置安裝后日產(chǎn)量為8噸時(shí)，日平均利潤(rùn)最大，其最大值為4萬元【詳解】（1）由題意，尾氣凈化裝置安裝后總成本，當(dāng)日產(chǎn)量時(shí)，總成本，得．（2）由（1）可得，總利潤(rùn)，日平約均利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．∴尾氣凈化裝置安裝后日產(chǎn)量為8噸時(shí)，日平均利潤(rùn)最大，其最大值為4萬元．2．（2023春·廣西南寧·高一?？奸_學(xué)考試）北京冬奧會(huì)舉世矚目，樹立了中國(guó)形象，同時(shí)也帶動(dòng)了中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)器械的蓬勃發(fā)展，張家口某冰上運(yùn)動(dòng)器械生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本萬元.當(dāng)年產(chǎn)量低于30千件時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量不低于30千件時(shí)，.每千件產(chǎn)品的售價(jià)為30萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.(1)寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為30千件時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大為300萬元【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以此時(shí)該函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因此有，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為30千件時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大為300萬元.3．（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）某單位安裝1個(gè)自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)（單位：萬元）與管線、主體裝置的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為，為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水公司供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該單位每年向自來水公司繳納水費(fèi)為，記為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后每年向自來水公司繳水費(fèi)之和．(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)求為多少時(shí)，有最小值，并求出的最小值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，有最小值為【詳解】（1）解：由題意可得，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，有最小值為．第四部分：數(shù)學(xué)思想方法①函數(shù)與方程1．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┣蠛瘮?shù)最值有很多的方法，其中某些函數(shù)的最值可以利用配方法求值域，例如：，所以函數(shù)的最小值為－1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．(1)利用配方法求函數(shù)的最小值；(2)某面粉廠定期買面粉，每次都購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元每次，已知面粉廠一年購(gòu)買面粉400噸，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值應(yīng)為多少？【答案】(1)4；(2)20.【詳解】（1）由，則，所以函數(shù)的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值.（2）一年購(gòu)買400噸，每次都購(gòu)買x噸，則需要購(gòu)買次，運(yùn)費(fèi)為4萬元每次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為元，由，有，當(dāng)且僅當(dāng)即噸時(shí)，等號(hào)成立，即每次購(gòu)買20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.2．（2021秋·河南新鄉(xiāng)·高一校考階段練習(xí)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物的生長(zhǎng)規(guī)律，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為（單位：）．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求的最大值，并求出此時(shí)的值．【答案】(1)，(2)當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為．【詳解】（1）由題設(shè)，得，．（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而．故當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植