傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質及應用

利用變換可簡化運算，比如對數(shù)變換，極坐標變換等。類似的，變換也存在于工程，技術領域，它就是積分變換。積分變換的使用，可以使求解微分方程的過程得到簡化，比如乘積可以轉化為卷積。什么是積分變換呢?即為利用含參變量積分，把一個屬于A函數(shù)類的函數(shù)轉化屬于B函數(shù)類的一個函數(shù)。傅里葉變換和拉普拉斯變換是兩種重要積分變換。分析信號的一種方法是傅立葉變換，傅里葉變換能夠分析信號的成 (拉普拉斯)(1749-1827)在他的與概率論相關科學研究中引入，在他的一些基本的關于拉普拉斯變換的結果寫在他的著名作品《概率分析理論》之中。即使在19世紀初，拉普拉斯變換已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，但是關于拉普拉斯變換的相關研究卻一直沒什么太大進展，直至一個英國數(shù)學家，物理學家，在電學相關問題之中引入了算子運算，而且得到了不少方法與結果，對于解決現(xiàn)實問題很有好處，這才引起了數(shù)學家對算子理論的嚴格化的興趣。之后才創(chuàng)立了現(xiàn)代算子理論。算子理論最初的理論依據(jù)就是拉普拉斯變換的相關理論，拉普拉斯變換相關理論的繼續(xù)發(fā)展也是得益于算理理論的更進一步發(fā)展。這篇文章就是針對傅里葉變換和拉普拉斯變換的相關定義，相關性質，以及相關應用做一下簡要討論，并且分析傅里葉變換和拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián)系。1.2預備知識 精品-st式中s為復數(shù)，為積分核，上式稱為拉普拉斯變換.定義1.2.5(拉普拉斯逆變換)精品性質2.1.1(線性性質) 性質2.1.3(微分性質)精品r[f(b)]精品即精品定義2.2.3(8函數(shù)的數(shù)學語言表述)精品設a為實常數(shù)，則：定義2.2.5(單位階躍函數(shù))這里所以2.3傅里葉變換的應用取傅里葉逆變換像函數(shù)的其中其中解該積分方程可改寫為精品的變化范圍為(-,+),精品精品精品性質3.1.1(存在性) 假如在[0,+]這個區(qū)間上f(t)可以滿足如下的條件：)性質3.1.2(線性性質)設k,k性質3.1.3(微分性質)。精品 證明精品3.2應用L變換微分方程+初始條件代數(shù)方程。精品y(t)=[1-e求精品求 π解由性質3.1.3(微分性質)可知 sX(s)+[(1+n)s-1]X(s)=0精品再根據(jù)傅立葉逆變換可得記s=β+iw,F(s)=F[f(t)e,注意到ds=ida,于是可得 傅里葉變換是把連續(xù)的時間域信號轉化到頻率域；它可以說是拉普拉斯變換的特例，拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，存在的條件比傅里葉變換要寬，是把連續(xù)的時間域信號轉化到復頻率域。本文先介紹了一些傅里葉變換的基礎知識，先后介紹了兩種不變換的性質，對重要的性質或定理進行了證明，并且介紹了兩種變換的應用，列舉了一些立體加以說明，最后總結了一下兩種變換的關系。這兩種變換都具有線性性質，微分性質，積分性質，卷積定理，等。都可以可用于解微分，積分方程。應用十分廣泛，可以簡化有些計算。兩種變換的相關理論應用是一個廣泛的領域，將來可能會有更多精彩的應用，希望