小學數(shù)學教材中的數(shù)學思想方法(人教版為主)

今天是2013年8月19日

真高興，又與大家見面

“傅里葉先生認為，數(shù)學的主要目的是服務人類、解釋自然現(xiàn)象；但像他這樣的哲學家應當知道，科學的唯一目的是

為了人類心智的榮耀，

因此，一個關(guān)于數(shù)的問題與一個關(guān)于宇宙體系的問題具有同樣的意義。”

------CGJ雅可比

1830年7月2日致勒讓德的信

在數(shù)學中，教師的師資培訓中最難的部分是獲得扎實的數(shù)學知識。（伍洪熙世界著名幾何學家，美國加州伯克利大學教授，美國國家數(shù)學委員會委員，美籍華人）小學數(shù)學教材中的

數(shù)學思想方法

王凱成

2012.10.11引子：數(shù)學思想方法的重要性一、什么是數(shù)學思想方法？二、小學數(shù)學中都體現(xiàn)了哪些

數(shù)學思想方法？三、教學中如何滲透數(shù)學思想方法？內(nèi)容提綱數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育，使學生不僅知道許多重要的數(shù)學概念、方法和結(jié)論，而且領會到數(shù)學的精神實質(zhì)和思想方法，這應該是數(shù)學教育努力追求的目標，也是衡量數(shù)學教學的成效與優(yōu)劣的最根本的依據(jù)。

中國科學院院士李大潛

日本著名數(shù)學教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年可能就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學的精神和數(shù)學的思想、研究方法、著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使學生終身受益?！?/p>

新課標在第一部分“前言”的“課程基本理念”中指出：

課程內(nèi)容既要反映社會的需要、數(shù)學的特點，也要符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和數(shù)學思想方法。*引自《數(shù)學課程標準》P2教師教學應該……，使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能，體會和運用數(shù)學思想方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。*引自《數(shù)學課程標準》P3

新課標在總體目標中明確提出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必須的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！?引自《數(shù)學課程標準》P8第二部分課程目標一、總體目標建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象。在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式。*引自《數(shù)學課程標準》P9二、學段目標……第二學段（4-6年級）數(shù)學思考1．初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用。2．進一步認識到數(shù)據(jù)中蘊含著信息，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念；感受隨機現(xiàn)象。3．在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果。4.會獨立思考，體會一些數(shù)學的基本思想。*引自《數(shù)學課程標準》P14

新課標在“實施建議”中提出：

感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想。*引自《數(shù)學課程標準》P46《全日制數(shù)學課程標準2011版》中出現(xiàn)“數(shù)學思想方法”等類似語言至少有27處。第一部分前言5次第二部分課程目標5次第四部分實施建議17次

基本思想和基本數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學課程教學中應當特別重視的，是數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。不僅是學生當前學習和發(fā)展的需要，更是學生未來學習和終身發(fā)展所必需的?！趯嵤┬碌恼n程標準時，更應當重視對基本思想和基本活動經(jīng)驗的研究和落實。史寧中、馬云鵬、劉曉玫，《義務教育數(shù)學課程標準修訂過程與主要內(nèi)容》，課程教材教法，2012年第3期一個學科，你學過之后，對這個學科承載的基本思想不知道的話等于沒學。

對數(shù)學思想的感悟和經(jīng)驗的積累，這是非常隱性的東西。……思想的感悟和經(jīng)驗的積累在很大程度上會改變一個人的思維方法,一個人的思維方法幾乎在小學階段就基本定了。

思想的感悟和經(jīng)驗的積累是隱性的東西,光靠老師講是不行的,須自己感悟,是悟出來的東西,不是聽出來的東西。史寧中，注重“過程”中的教育，人民教育，2012年第7期P32~37。如果一個教師自身缺乏對于“數(shù)學思想”的很好理解與深入思考，更缺乏這方面的切身體驗以及由此帶來的深刻情感，就根本不可能幫助學生很好地理解與掌握“數(shù)學思想”。

鄭毓信，“數(shù)學思想”面面觀，小學教學(數(shù)學版)，2012年第10期。如果在我國中小學數(shù)學教育中,一方面保持"數(shù)學雙基教學"這個合理的內(nèi)核,一方面添加"基本思想"和"基本活動經(jīng)驗",出現(xiàn)既有"演繹能力"又有"歸納能力"的培養(yǎng)模式,就必將會出現(xiàn)"外國沒有的我們有,外國有的我們也有"的局面,到了那一天,我們就能自豪地說,我國的基礎教育領先于世界.史寧中，《數(shù)學課程標準》的若干思考，數(shù)學通報，2007年第5期。（結(jié)束語）這里提出了數(shù)學基本思想和數(shù)學基本活動經(jīng)驗的問題.

注:史寧中教授從2005年起開始主持教育部

<九年義務教育數(shù)學課程標準>的修訂工作(組長).

數(shù)學思想很重要！我們過去的數(shù)學教育不注意思想是不行的。老師必須在腦子里形成思想，必須在教書的過程中把應該貫穿的思想貫穿。不然，創(chuàng)造性思想怎么培養(yǎng)？談創(chuàng)造性，思想方法一點兒沒有是不行的！------史寧中建設中國特色的數(shù)學教育理論張奠宙(見《數(shù)學通報》、《數(shù)學教學》2010年第1期)

中國的數(shù)學課堂教學，具有許多與世界主流研究不同的特色.簡言之，中國特色數(shù)學課堂教學有六個主要特征：重視新課“導入”設計；實行有效的“嘗試”教學；“大班級上進行師班互動”；“開創(chuàng)數(shù)學思想方法教學”；“變式方法引領練習”；“熟能生巧推動創(chuàng)新”。

重視反思教學

反思教學是中國數(shù)學教育的特長之一，其中最突出的措施包括講求實效的變式練習，重視數(shù)學思想方法的提煉，探究解題教學的規(guī)律。張奠宙、趙小平2011年第7期《數(shù)學教學》的編后漫筆

作為數(shù)學教師，一是要把握整套教材的編排體系；二是要深入理解數(shù)學知識的核心概念和知識間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)；三是理解數(shù)學知識內(nèi)蘊的思想方法，自覺地讓數(shù)學思想引領我們的數(shù)學教學。嘗試教學法的創(chuàng)始人------邱學華2012年小學數(shù)學教育熱點問題探討，小學教學數(shù)學版，2013年第3期美國數(shù)學課程標準

二、數(shù)學素養(yǎng)目標《標準》認為，數(shù)學教育應該培養(yǎng)出有數(shù)學素養(yǎng)的公民，具體提出五項目標：懂得數(shù)學的價值，即懂得數(shù)學在文化中的地位和社會生活中的作用；對自己的數(shù)學能力有自信心；有解決現(xiàn)實數(shù)學問題的能力；學會數(shù)學交流，會讀數(shù)學、寫數(shù)學和討論數(shù)學；學會數(shù)學的思想方法。

什么是好的小學數(shù)學教師？好的小學數(shù)學教學是什么？我的看法是：好的小學數(shù)學教師，能夠

以小學數(shù)學思想為研究對象，力求從小學數(shù)學知識中找出關(guān)鍵要素，挖掘出育人的價值，真正發(fā)揮出數(shù)學教育的育人效能。這是小學數(shù)學教師的本質(zhì)性追求，是小學數(shù)學教師至高的專業(yè)思想境界。

方運加，數(shù)學的教育意義，中小學數(shù)學小學版，2012年第3期

《中小學數(shù)學小學版》主編：方運加2013年全國統(tǒng)一高考考試大綱數(shù)學（文）一、考試內(nèi)容的知識要求、能力要求和個性品質(zhì)要求1．知識要求知識是指《全日制普通高級中學數(shù)學教學大綱》所規(guī)定的教學內(nèi)容中的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及其中的數(shù)學思想和方法．2．能力要求（4）實踐能力：能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)學模式；能應用相關(guān)的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表述和說明．二、考查要求（2）對數(shù)學思想和方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數(shù)學知識相結(jié)合，通過數(shù)學知識的考查，反映考生對數(shù)學思想和方法的理解；要從學科整體意義和思想價值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學數(shù)學知識中所蘊涵的數(shù)學思想和方法的掌握程度．

一.什么是數(shù)學思想方法

一般來說，數(shù)學思想就是在數(shù)學學習或研究過程中解決問題的根本想法，是數(shù)學規(guī)律的理性認識，是數(shù)學的靈魂。它具有本質(zhì)性、概括性、指導性的意義。人們習慣上把那些具體的、操作性強的辦法稱為“方法”，而把那些抽象的、涉及范圍較廣的或框架性的辦法稱為“思想”。

數(shù)學思想揭示的是數(shù)學發(fā)展中普遍的規(guī)律，為數(shù)學的發(fā)展起著指引方向的作用。數(shù)學方法是在數(shù)學思想的指導下解決數(shù)學問題的具體程序，它是數(shù)學思想的具體化反映。數(shù)學思想比數(shù)學方法更抽象、更概括、更本質(zhì)，“思想”是相應“方法”的精神實質(zhì)和本質(zhì)概括，是理論根據(jù)，“方法”是相應“思想”的技術(shù)實施。數(shù)學思想對數(shù)學方法起著指導作用。

數(shù)學知識是基礎，數(shù)學方法是中介，數(shù)學思想才是本源。有了數(shù)學思想，數(shù)學知識就不再成為孤立、零散的東西，數(shù)學方法也不再是死板的教條，從而能從整體上把握數(shù)學。簡單地說：數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，數(shù)學方法是數(shù)學的行為。數(shù)學思想對數(shù)學方法起著指導作用。什么是數(shù)學思想的標準第一，數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想；第二，學過數(shù)學的人和沒有學過數(shù)學的人在思維上的根本差異。數(shù)學思想本質(zhì)上有三個：第一個是抽象，第二個是推理，第三個是模型。

(人們通過抽象，從客觀世界中得到數(shù)學的概念和法則，建立了數(shù)學學學科；通過推理，進一步得到更多的結(jié)論，促進數(shù)學內(nèi)部的發(fā)展；通過建模，把數(shù)學應用到客觀世界中，溝通了數(shù)學與外部世界的橋梁。)史寧中，數(shù)學的基本思想，數(shù)學通報，2011年第1期。

數(shù)學思想的本質(zhì)第一個是抽象；第二個是推理；第三個是模型。數(shù)學思想的三個層次抽象、推理、模型——數(shù)學發(fā)展所需要的數(shù)學思想數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等——數(shù)學學習所需要的數(shù)學思想配方法、換元法等——數(shù)學解題所需要的數(shù)學思想數(shù)學的威力：

一個方程提升中國衛(wèi)星圖像質(zhì)量30%

2012年04月09日08:59

來源：解放軍報

在小學數(shù)學中，許多數(shù)學思想和方法往往是一致的，如轉(zhuǎn)化思想和轉(zhuǎn)化方法、假設思想和假設方法等等。因此，我們不妨將數(shù)學思想和數(shù)學方法看成一個整體概念——對數(shù)學知識內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。數(shù)學思想方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象,概括與提煉.

人們實現(xiàn)數(shù)學思想往往要靠一定的數(shù)學方法；而選擇數(shù)學方法，需要依據(jù)一定的數(shù)學思想。數(shù)學思想與數(shù)學方法密切聯(lián)系，而小學數(shù)學是最基本的數(shù)學知識，所蘊含的數(shù)學思想和數(shù)學方法很難截然分開，更多的是反映在聯(lián)系方面，其本質(zhì)往往是一致的。在小學把數(shù)學思想和數(shù)學方法看成一個整體概念------數(shù)學思想方法，更容易接受和理解。人教版“數(shù)學廣角”蘊含的數(shù)學思想與方法冊數(shù)內(nèi)容與課題數(shù)學思想方法第二冊找規(guī)律：探索圖案和數(shù)字簡單的排列規(guī)律有序思維第三冊簡單的排列1、2能組成幾個兩位數(shù)？簡單的邏輯推理：猜一猜他們拿的是什么書？排列組合思想簡單推理第四冊找規(guī)律：鋪地磚花紋的規(guī)律、等差數(shù)列的探求規(guī)律有序思維第五冊簡單的組合：有幾種不同的穿法？踢幾場球？簡單的排列：3個數(shù)字能擺成幾個三位數(shù)？排列組合思想第六冊重疊問題：參加語文、數(shù)學小組的共幾人？等量代換：幾個蘋果與1個西瓜一樣重？集合思想等量代換思想第七冊運籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題對策問題：田忌賽馬對策論優(yōu)化思想第八冊植樹問題：兩端都種、兩端都不種、封閉方正中種樹等化歸、數(shù)學建模第九冊數(shù)字編碼：郵政編碼、身份證編碼、編學號等數(shù)字編碼思想第十冊找次品：5件、9件物品中找次品化歸與歸納推理第十一冊雞兔同籠問題化歸、數(shù)學建模第十二冊抽屜原理：4支鉛筆放入3個文具盒，怎么放？抽屜原理

數(shù)學思想方法是“數(shù)學廣角”中最本質(zhì)、最精彩、最具有教育價值的部分。教師應讓學生在解決問題的過程中，適時為學生找到適當?shù)臐B透途徑，使學生體驗數(shù)學思想方法的靈活，感受數(shù)學思想方法的無窮魅力，逐步提高對數(shù)學思想方法的認識水平和運用技能。概念的形成過程、結(jié)論的推導過程、問題的解決過程、練習的訓練過程、復習的展開過程、課外的閱讀過程等，都是向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法的極好途徑。蘇教版教材：解決問題的策略四年級上冊：列表(分類的思想方法)四年級下冊：畫圖(數(shù)形結(jié)合的思想方法)五年級上冊：列舉(分類的思想方法)五年級下冊：倒推(可逆的思想方法)六年級上冊：替換(不變量的思想方法)假設(不變量、逼近的思想方法)六年級下冊：轉(zhuǎn)化(不變量、等量替換的思想方法)北師大版教材：綜合應用解決問題的策略(畫圖、列舉、猜想與嘗試、從特例開始尋找規(guī)律)

數(shù)學思想方法是教材體系的靈魂

在現(xiàn)行的數(shù)學教材中，無論是哪個版本都存在著兩條主線：一條是明線(顯性的寫在教材上的)即數(shù)學知識，一條是暗線(潛藏在教材中的)即數(shù)學思想方法。明線容易理解，暗線不易看明。教師只有深刻領悟了數(shù)學思想方法，才能從整體上、本質(zhì)上理解教材；只有深入挖掘出教材中的數(shù)學思想方法，才能科學地、靈活地設計教學過程。

數(shù)學思想方法是教學設計的指導思想

數(shù)學課堂教學設計應分宏觀設計、微觀設計和情境設計三個層次進行。無論哪個層次上的設計，其目的都在于為了讓學生“參與”到獲得和發(fā)展真理性認識的數(shù)學活動過程中去。這種設計不能只是數(shù)學認識過程中的“還原”，一定要有數(shù)學思想方法的飛躍和創(chuàng)造。

數(shù)學思想方法是教學質(zhì)量的重要因素

南京師范大學劉云章教授認為：“不講數(shù)學思想方法的課．不是好課”；“重視對數(shù)學思想方法的領悟?qū)⒛軉酒饠?shù)學學習者潛在的數(shù)學天賦，提高其數(shù)學素養(yǎng)．從而提高學習效益和質(zhì)量”。數(shù)學思想方法性高的教學設計，是進行高質(zhì)量教學的基本保證。

數(shù)學思想方法是學生認識事物、學習數(shù)學的基本依據(jù)，是學生數(shù)學素養(yǎng)的核心。

數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學學習的靈魂。二.小學數(shù)學中都體現(xiàn)了

哪些數(shù)學思想方法1.轉(zhuǎn)化思想2.數(shù)形結(jié)合思想3.分類思想4.歸納遞推思想5.函數(shù)思想6.逐步逼近思想7.集合思想8.代數(shù)思想9.類比思想10.無限、程序、統(tǒng)計等思想1.轉(zhuǎn)化思想

在小學數(shù)學里，經(jīng)常將某一問題轉(zhuǎn)化為另一問題，將某些已知條件或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為另外的條件或關(guān)系，化生為熟、化難為易、化繁為簡、化高為低、化曲為直，這種數(shù)學思想就是轉(zhuǎn)化思想。

解題就是把題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。

------（蘇聯(lián)）雅諾夫斯卡婭

一般人回答是：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”但是羅莎認為這樣并不是最好的回答，而最好的回答是：

“把壺中的水倒掉！”“把壺中的水倒掉”應該是最笨的方法，為什么反而是最好的回答呢？因為數(shù)學家這時可以聲稱“我已經(jīng)把后一個問題轉(zhuǎn)化成先前的問題了?！北M管這個比喻有點夸張，但這正是數(shù)學家思維的方法。這種思維方法與一般的經(jīng)驗科學家相比，往往是獨特的，有效的。這個比喻生動的說明轉(zhuǎn)化思想方法的精神實質(zhì)。數(shù)學家往往不是對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，甚至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)得到解決的問題。------匈牙利著名數(shù)學家路莎.彼得(Rosspeter)轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把復雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問題。因此，應用轉(zhuǎn)化思想時要遵循以下幾個基本原則：（1）數(shù)學化原則，即把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，從而應用數(shù)學知識找到解決問題的方法。（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。（3）簡單化原則，即把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。（4）直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。這是蘇教版六年級下冊100頁內(nèi)容

當時大臣們?yōu)槭裁捶Q不出大象的體重，而曹沖能稱出大象的體重呢？

這是因為曹沖成功地運用了“轉(zhuǎn)化的思想方法”。曹沖把稱大象的體重轉(zhuǎn)化為稱石頭的重量。

使船吃水同樣深淺稱大象體重———————————稱石頭重量

找出與大象

重量相同的一堆石頭

這是人教版小學數(shù)學一年級上冊120頁第10題。這是人教版小學數(shù)學一年級下冊第77頁思考題。這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材六年級下冊第71的內(nèi)容這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材六年級下冊第74的內(nèi)容這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材三年級下冊第107頁的思考題用12個棱長是1厘米的小正方體拼長方體，可以拼成幾種不同的長方體？一次測試老師的三種解答：(1)13種(2)10種(3)長寬高分別是10、10、1或4、3、3長12166121213344寬11122166124131高11221662111413長12166121213寬11122166124高11221662111

雞兔同籠問題的解法

雞兔同籠問題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？解法1：列舉法。解法2：砍腳法。如果砍掉每只雞、每只兔的2只腳，則還剩94-35×2=24（只）腳。此時每只雞已無腳，每只兔還有4-2=2（只）腳，故知兔有24÷2=12（只），雞有35-12=23（只）。解法3：安腳法。如果給每只雞安裝上2只假腳，這樣每只雞和每只兔都有4只腳，可知一共安裝了35×4-94=46（只）假腳，，故知雞有46÷2=23（只），兔有35-23=12（只）。解法4：假定法。解法5：長方形圖法。解法6：方程組法。

在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿與凳子腿加起來共有60條，有幾個椅子和幾個凳子？

解由“小和尚3人吃一個”知：小和尚1人吃個。小和尚有：大和尚有：……

(1＋2)×3÷(4＋5)±[6－(7＋8－9)]=1

利用1±0=1還可以列出很多等式來。也可以利用0+1=1，如

（1+2－3）×4×5+6÷（7+8－9）=1，

1×[2－（3+4－5）]+6÷（7+8－9）=1，

1×2－（3+4－5）+6÷（7+8－9）=1，

（1+2）×3－4－5+6÷（7+8－9）=1。

23456789=1由于已有1=1，而2+9=3+8=4+7=5+6，所以把(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)加上其中的兩對，再減去剩下的兩對。例如1+2+3-4-5-6-7+8+9=11+2-3-4+5+6-7-8+9=1……

3.利用4－3=1。只需1、2、5、6、7、8、9運算結(jié)果為0。但是(1+2+5+6+7+8+9)÷2=19，而19=9+8+2=9+7+2+1=8+6+5=······，可以得到很多填法。1－2－3+4+5+6+7－8－9=1即為：1－(2+3－4)+5+6+7－8－9=1;1+2－3+4－5－6+7－8+9=1即為:1+2－3+4－(5+6－7+8－9)=1。當然還可以利用5－4=1,6－5=1,7－6=1等等。4.從全局出發(fā)。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，要使只用加減法運算結(jié)果等于1。由23+22=45，23-22=1知，所有減數(shù)之和應該是22。而22=9+8+5=9+7+6=······,可以得到很多填法。1+2+3+4-5+6+7-8-9=11+2+3+4+5-6-7+8-9=1

······這道開放性的小學數(shù)學題，思考過程中1與0性質(zhì)的巧妙運用，充分體現(xiàn)了數(shù)學思維的靈活多變，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力大有好處。小學數(shù)學教師要嘗試學會長時間地思考一個問題，想深想透，對自己的專業(yè)發(fā)展十分有利，更會改變一個人的思維方式。

北師大版小學數(shù)學教材主編張丹4÷4+4－4=14÷4+4÷4=2(4+4+4)÷4=34+(4－4)×4=4(4×4+4)÷4=54+(4+4)÷4=64+4－4÷4=74+4+4－4=84+4+4÷4=9計算心中常想化整計算定走捷徑

雞兔同籠，共有40個頭，兔腳的數(shù)目比雞腳的數(shù)目的10倍少8只，那么兔有____只。(2013年華杯賽決賽小學中年級組賽題)

張景中院士認為

計算和推理是相通的，計算中有方法，方法里就體現(xiàn)了推理；推理是抽象的計算，計算是具體的推理。

一個正方體6個面上分別寫著1,2,3,4,5,6.根據(jù)下圖擺放的三種情況，判斷每個數(shù)字對面上的數(shù)字是幾。(原義務教育教材第十冊第64頁思考題)5個空瓶可以換1瓶汽水，某班同學喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下的空瓶換的，那么他們至少要買多少瓶汽水？喝的瓶數(shù)=買的瓶數(shù)+用空瓶換的瓶數(shù)

至少要買汽水多少瓶直接考慮有困難，從最多用空瓶換了多少瓶入手。買4瓶汽水可以喝到5瓶汽水，這樣每喝5瓶就有1瓶是用空瓶換的。

161÷5=32……1，說明喝的161瓶汽水中最多有32瓶是用空瓶換的。故知：至少要買161-32=129瓶?？偨Y(jié)轉(zhuǎn)化方向：化生為熟，化難為易，化繁為簡，化抽象為具體轉(zhuǎn)化前提：等價轉(zhuǎn)換，等量轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)化方法：等價變形，數(shù)形結(jié)合，正難則反

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學的基本思想方法，它能幫助我們用代數(shù)（算術(shù)）的方法研究圖形或者利用圖形來解決代數(shù)（算術(shù)）問題，平面解析幾何就是成功應用數(shù)形結(jié)合思想的典范。在小學教材里，經(jīng)常把數(shù)量關(guān)系用圖形來表示，讓學生更直觀、更深刻地理解數(shù)與形的關(guān)系。

數(shù)形本是相倚依，焉能分做兩邊飛．數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微．數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系莫分離．

_________華羅庚數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學思想方法之一,它“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,使抽象的問題直觀化,復雜的問題簡單化。在小學階段，數(shù)形結(jié)合思想方法的運用更多的體現(xiàn)在“以形助數(shù)”上，借助形的直觀,顯示數(shù)量之間的關(guān)系，達到解決問題的目的。點、線(線段、數(shù)軸、樹形圖、折線圖等)、面(長方形、集合中的韋恩圖、統(tǒng)計中的直方圖及扇形圖等)、體、列表等都是有效的直觀手段。這是北師大版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第6頁的內(nèi)容給你n個大小相同的小正方形紙板，你能把這n個小正方形紙板擺成沒有縫隙的長方形嗎？當n＞1時，(1)用這n個小正方形紙板只能擺成1行n列的長方形；(這樣的n不是質(zhì)數(shù)嗎)(2)用這n個小正方形紙板不僅能擺成1行n列的長方形，而且還能擺成a行b列的長方形(a、b都是大于1的正整數(shù)，ab=n)；(這樣的n不是合數(shù)嗎)當n=1時，還是原來的這一個小正方形。(1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù))

質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念直觀化！這是蘇教版小學數(shù)學課標教材四年級下冊89頁的練習題。這是教材四年級下冊第91頁的例題。畫出長方形示意圖。

一個平行四邊形,相鄰兩條邊的長度分別是12厘米和8厘米。量得它的高是10厘米。它的面積是（）平方厘米。

某商場周日出售液晶電視機,上午售出總數(shù)的一半多10臺,下午售出剩下的一半多15臺,還剩40臺。問商場這天原有液晶電視機多少臺？（四年級學生暑假作業(yè)題）這是蘇教版小學數(shù)學課標教材五年級上冊26頁的內(nèi)容這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材六年級下冊第91頁的第11題.

加工一批零件，第一小組5天完成任務，第二小組4天完成任務。已知第二小組平均每天加工480個零件。問第二小組平均每天比第一小組多加工多少個零件？

480÷5=96

480÷5=96

用繩子測井深，把繩三折來量，井外余16分米；把繩四折來量，井外余4分米。求井深和繩長？（原義務教材第11冊第93頁的思考題）

盈虧問題

把一筐蘋果分給一群兒童。每人6個蘋果就余下14個蘋果；每人8個蘋果就缺6個蘋果。問有兒童多少人？蘋果多少個？

給40個學生發(fā)鉛筆。每人3支還剩下一些，每人4支又不夠。剩下的和不夠的同樣多，有多少支鉛筆？（原義務教材第5冊第29頁的思考題）小華到A地去旅游，計劃騎自行車每小時行10千米，9小時到達。實際上，他行了4小時后，加速行進，結(jié)果提前1小時到達A地。問小華4小時后每小時比原計劃多行了多少千米？一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行65千米，行了4小時到達目的地，從乙地返回甲地時多用了1小時，這輛汽車從乙地返回甲地比從甲地開往乙地每小時少行多少千米？（葉仁波主編，北京師范大學出版社出版，《妙題巧解200例》例74）原書給出的巧妙解法是：假如這輛汽車用4小時從甲地開往乙地后，再往前開1小時（與返回時間相同），那么要比返回時多行65千米，也就是說，在5小時內(nèi)，汽車從甲地開往乙地（過了乙地），要比從乙地返回甲地多行65千米，這樣可以求得每小時多行多少千米。65÷（4+1）=13（千米）。

小明前幾次數(shù)學測驗的平均成績是84分，這一次要考100分，才能把平均成績提高到86分。問：這一次是第幾次測驗？這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材五年級上冊第125頁的28題。從長方形圖可見：不分等級出售，總收入為長方形ABCD的面積值。分等級出售，總收入為長方形AEFG和長方形EBJL面積和的值。需要比較長方形DHFG與長方形JLHC面積的大小，由于DH＞1.2＞HC,可知:。所以，分等級出售總收入更多，分等級出售更合算。甲乙與學校.0gsp.gsp

3.分類思想

按照事物的某一特征對事物進行分類，再一類一類的加以研究，這也是數(shù)學上常用的思想方法。分類時，應當做到既不重復又不遺漏。人教版第一冊38——41頁就是分類的內(nèi)容。

人世間的事物是錯綜復雜的，要對這些錯綜復雜的事物進行判斷和推理，一個有效的方法是把這些事物按照某種準則進行分類，如果分類清楚了，那么就可以對于一個類的事物給出判斷的準則。我們都有這樣的經(jīng)驗，在一個大范圍內(nèi)說不清楚的東西，在一個小的、具有某種共性的范圍內(nèi)就可能說清楚。

------------史寧中在現(xiàn)代社會，隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展，無論是在自然科學還是在社會科學都遇到了新的難題，就是要處理大量的信息，人們稱為海量數(shù)據(jù)。因為海量數(shù)據(jù)的復雜性，很難用一個統(tǒng)一的模型來進行刻畫，于是人們就想到了利用特性對數(shù)據(jù)分類，在分類的基礎上進行分析。因此，在未來的方法論中，分類的思想將可能越來越重要，也就是說，我們不僅要關(guān)心具體與一般之間的共性與差異，也將關(guān)心類與類之間的共性與差異。

------------------史寧中

分類在現(xiàn)代數(shù)學中占有很重要的地位，無論是傳統(tǒng)學科如拓撲、群論、函數(shù)論、概率統(tǒng)計，還是生物信息學、經(jīng)濟數(shù)學等新興學科，許多研究都與分類有關(guān)。更重要的是，在處理現(xiàn)實生活中的事情時，往往也要借助分類的思想方法。對于中小學數(shù)學教育來說，掌握了分類的思想方法，對于學習集合、函數(shù)、統(tǒng)計等也都有幫助。

分類的關(guān)鍵是要抓住事物的本質(zhì)特征，并且把本質(zhì)特征變?yōu)榉诸惖臉藴?，使得在這個標準下的分類能夠達到預想的目標。

分類討論思想是培養(yǎng)學生有條理地思考問題的一種重要而有效的方法。

自己選擇某一個標準將全班同學分成兩類，并與同學交流分類的標準和分類的結(jié)果。

分類標準不同分類結(jié)果不一樣（可以按性別、體重、身高、學號、組號、特長、特征等等）這是人教版課標新教材小學數(shù)學一年級上冊第32頁的內(nèi)容

這是人教版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第38頁的內(nèi)容

這是人教版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第41頁的內(nèi)容這是北師大版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第52頁的內(nèi)容

這是北師大版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第54頁的內(nèi)容分類標準可以多樣化體驗分類結(jié)果在不同標準下是多樣的這是北師大版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第64頁的內(nèi)容這是蘇教版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第7頁的內(nèi)容這是蘇教版小學數(shù)學課標教材一年級上冊第8頁的內(nèi)容（課標修訂稿）第一學段綜合與實踐案例19圖形分類這是北師大版小學數(shù)學課標教材四年級下冊第22頁的內(nèi)容這是人教版小學數(shù)學課標教材四年級上冊41頁的內(nèi)容

這是人教版課標新教材四年級下冊第84頁的內(nèi)容。三角形按邊分類：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形；有三條邊相等的三角形叫等邊三角形。這是北師大版小學數(shù)學四年級下冊第32頁的內(nèi)容

這是人教版課標新教材小學數(shù)學四年級上冊71頁的內(nèi)容。四邊形如何分類？按對邊是否平行分為三類：兩組對邊分別平行的四邊形(平行四邊形)；只有一組對邊平行的四邊形(梯形)；兩組對邊都不平行的四邊形(一般四邊形)。

這是人教版小學數(shù)學課標教材六年級下冊第29頁的內(nèi)容這是北師大版小學數(shù)學四年級下冊第22頁的內(nèi)容這是北師大版小學數(shù)學六年級下冊第68頁的內(nèi)容這是人教版小學數(shù)學教材五年級下冊第17頁的內(nèi)容，這里把自然數(shù)按照能否被2整除分為奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。數(shù)學史研究表明：數(shù)的最早分類就是奇偶。我國三千多年前的一塊甲骨文（編號6422）上，就有兩列奇偶數(shù)。

這是北師大版課標教材小學數(shù)學四年級上冊第89頁和五年級上冊第2頁的內(nèi)容這是人教版課改新教材小學數(shù)學五年級下冊第23頁的內(nèi)容。這里把正整數(shù)按照其約數(shù)的個數(shù)分為“質(zhì)數(shù)（只有兩個約數(shù)）、合數(shù)（有三個或三個以上個數(shù)的約數(shù)）、1（只有一個約數(shù)）”三大類。我們把自然數(shù)按照其約數(shù)的個數(shù)分為“質(zhì)數(shù)（只有兩個約數(shù)）、合數(shù)（有三個或三個以上有限個數(shù)的約數(shù)）、1（只有一個約數(shù)）、0（有無數(shù)個約數(shù)）”四大類。這是人教版課標新教材小學數(shù)學五年級上冊108頁的內(nèi)容，為了統(tǒng)計甲公司職工工資情況，把全體職工分為“經(jīng)理”、“副經(jīng)理”、“職員”、“臨時工”四類加以統(tǒng)計。這是人教版課標新教材小學數(shù)學一年級上冊第77的思考題。要把一張面值為10元的人民幣換成零錢，現(xiàn)有足夠的面值為2元、1元的人民幣，那么共有換法為：A.5種B.6種C.8種D.10種（1997年陜西省中考題）這是人教版課標新教材小學數(shù)學一年級上冊第102的思考題這是蘇教版課標新教材小學數(shù)學五年級下冊第50頁的思考題。這里涉及到分數(shù)的分類。對于，當時

是真分數(shù)；當a≤b時是假分數(shù)；當b=0時

是零分數(shù)。顯然，當a是b的約數(shù)時能化成整數(shù)。這是北師大版小學數(shù)學四年級下冊第36頁的內(nèi)容分類計數(shù)這是北師大版小學數(shù)學課標教材二年級下冊第73頁第4題這是人教版課標新教材小學數(shù)學三年級上冊113頁的內(nèi)容這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材五年級上冊第65頁的例題這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材五年級上冊第65頁的練習題

這是人教版小學數(shù)學課標教材五年級下冊第143頁的思考題可分為“個位數(shù)字為2”和“個位數(shù)字為4”兩類思考。這是人教版課標新教材四年級下冊42頁的思考題（一）、回憶乘法口訣表：3、4、6、7、8、9中哪兩個數(shù)字的積的個位數(shù)字是2呢？3×4=12,4×8=32,6×7=42,8×9=72。分成四類加以研究：1.利用3×4=12只有1963×4=78522.利用4×8=32只有1738×4=69523.利用6×7=42無4.利用8×9=72無（二）、由□×1□□□=□□52推知：第一個乘數(shù)□中可填3、4、6、7、8、9，分成六類加以研究：只有填4時有4×1963=7852,4×1738=6952。這是人教版四年級上冊“數(shù)學廣角”的內(nèi)容烙1張，有2面，每次烙1面，烙2次，需3×2=6分鐘；烙2張，有4面，每次烙2面，烙2次，需3×2=6分鐘；烙3張，有6面，每次烙2面，烙3次，需3×3=9分鐘。轉(zhuǎn)化：4=2×2，需6×2=12(分鐘)5=2×1+3，需6×1+9=15(分鐘)6=2×3，需6×3=18(分鐘)7=2×2+3，需6×2+9=21(分鐘)8=2×4，需6×4=24(分鐘)9=2×3+3，需6×3+9=27(分鐘)n=2×k，需6×k=3(2×k)=3n(分鐘)n=2×k+1=2(k-1)+3，需6×(k-1)+9=6k+3=3(2×k+1)=3n(分鐘)一般地，烙n(n是正整數(shù))張，分三類研究：當n=1時，需要6分鐘；當n=2k(k是正整數(shù))時，需要3n分鐘；當n=2k+1(k是正整數(shù))時，需要3n分鐘

所以：當n=1時，需要6分鐘；當n＞1時，需要3n分鐘。142753869942753861942357861

4

9

2

3

5

7

8

1

6111618138201525251161813820151251168131820151

11

25

6

8

13

18

20

1

15

3.

統(tǒng)計：（統(tǒng)計每一個數(shù)在8個等式中出現(xiàn)的次數(shù)）4.

確定最中間數(shù)：

出現(xiàn)4次的數(shù)是最中間數(shù)，是13。5.

確定四角數(shù)：

出現(xiàn)3次的數(shù)是四角數(shù)，是6、8、18、20。加數(shù)

1

6

8

11

13

15

18

20

25出現(xiàn)次數(shù)

2

3

3

2

4

2

3

3

2

6.填出三階幻方。

18

1

20

15

13

11

6

25

8a+Da+2d+2Da+da+2da+d+Da+2Da+d+2Daa+2d+D這是蘇教版六上第34頁的思考題按涂色的面數(shù)進行分類（棱長為n）：涂色的面數(shù)為0：立方體最中間的，只有(n-1-1)×(n-1-1)×(n-1-1)(塊)。涂色的面數(shù)為1：立方體的每個面最中間的，有6×(n-1-1)×(n-1-1)(塊)。涂色的面數(shù)為2：立方體的每個棱的最中間的，有12×(n-1-1)(塊)。涂色的面數(shù)為3：立方體的每個“尖角”，有8(塊)。

這是人教版五年級上冊第87頁練習十六第7題

把一個三角形分成四個面積相等的三角形，到底有多少種分法呢？根據(jù)“等底等高的兩個三角形等積”的原理，首先想到把三角形ABC的一條邊AB四等分，把各分點、、與另一個頂點C相連，如圖1所示。

這樣這是人教版課標教材四年級下冊92頁的習題第4題.

分類計數(shù):分為用2厘米小棒和不用2厘米小棒兩類,用2厘米小棒,可以擺出(2,5,6)和(2,6,6)兩種三角形;不用2厘米小棒,可以擺出(5,6,6)和(6,6,6)兩種三角形.所以一共可以擺出2+2=4種三角形.也可以分為用5厘米小棒和不用5厘米小棒兩類:用5厘米小棒,可以擺出(5,2,6)和(5,6,6)兩種三角形;不用5厘米小棒,可以擺出(2,6,6)和(6,6,6)兩種三角形.所以一共可以擺出2+2=4種三角形.也可以這樣分類計數(shù):三個6厘米小棒都用,可以擺出一種三角形(6,6,6);只用兩個6厘米小棒,可以擺出兩種三角形(6,6,5)和(6,6,2);只用一個6厘米小棒,可以擺出一種三角形(6,5,2).所以一共可以擺出1+2+1=4種三角形.這是北師大版小學數(shù)學課標教材二年級下冊66頁的內(nèi)容。任取三個非0數(shù)字a、b、c且a>b>c,所以由a、b、c構(gòu)成最大的三位數(shù)是，最小的三位數(shù)是。a最大是9，c最小是1，a-c最大是8。由于a>b>c,所以a-c的最小值是2。這樣把所有的99(a-c)分成7類：198(981-189=792，972-279=693,963-369=594,954-459=495)；297,792(972-279=693,963-369=594,954-459=495

);396,693(963-369=594,954-459=495)；495,594(954-459=495)。（實際上是分為四類：數(shù)字為1、8、9；2、7、9；3、6、9；4、5、9）逐類加以驗證，最終得到“495”。

小學數(shù)學教材中，或顯或隱都在滲透著分類思想方法：

(一)、面對繁雜的事物，為了條理化，需要梳理歸類-----分類。例如，“整理房間”。

(二)、為了區(qū)別，需要分類。

(三)、為了計數(shù)，需要分類。

(四)、為了計算與推理，需要分類討論?，F(xiàn)代社會，人們要處理大量的信息------海量數(shù)據(jù)，處理海量數(shù)據(jù)的有效方法就是分類，在數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計的基礎上再進行分析研究，總結(jié)規(guī)律。所以在未來社會，分類的思想方法會顯得越來越重要。

4.歸納遞推思想

通過對具體、個別事物進行觀察、比較、分析，逐步總結(jié)歸納出一般的規(guī)律，這種思想就是歸納遞推思想.

借助歸納推理可以幫助學生培養(yǎng)預測結(jié)果和探究的能力.

歸納是創(chuàng)新的動力：沒有演繹，就沒有知識體系；沒有歸納，就沒有創(chuàng)新的源泉.一般地,通過歸納來預測結(jié)果,然后通過演繹來驗證結(jié)論.

小學教材里許多運算定律、性質(zhì)、法則都是采用歸納遞推思想得到的.

教育部制訂的《全日制義務教育數(shù)學課程標準》在總體目標中指出“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠：……經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力……”。

在學段目標中指出：第一學段（1~3年級）要“在教師的幫助下，初步學會選擇有用信息進行簡單的歸納與類比?！钡诙W段（4~6年級）要“能根據(jù)解決問題的需要，收集有用的信息，進行歸納、類比與猜測，發(fā)展初步的合情推理能力?！钡谌龑W段（7~9年級）要“能收集、選擇、處理數(shù)學信息，并作出合理的推斷或大膽的猜測?！笔穼幹薪淌谠趫蟾妗瓣P(guān)于《數(shù)學課程標準》的若干思考”中認為：希望能夠改變過去的教學方法，在教學活動中，能夠：繼續(xù)：促進學生理解數(shù)學的基礎知識、訓練學生掌握數(shù)學的基本技能；學會：啟發(fā)學生領會數(shù)學的基本思想、幫助學生積累數(shù)學的基本活動經(jīng)驗?！盎舅枷搿敝饕侵秆堇[和歸納，這應當是整個數(shù)學教學的主線。在具體的問題中，會涉及到數(shù)學抽象、數(shù)學模型、等量替換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，但最上位的思想還是演繹和歸納。演繹推理來源于亞里士多德(古希臘哲學家，公元前384---322年)，他在《工具論》提出了著名的三段論理論，即大前提、小前提、結(jié)論。這是一種由一般到特殊的推理。英國著名哲學家培根(1561--1626)在《新工具》指出：需要一種“從特殊到一般的推理”，這種推理就是歸納推理。歸納推理就是從個別現(xiàn)象出發(fā)，抽象出共性，總結(jié)出一般的結(jié)論。

楊振寧：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了演繹能力，我在美國學到了歸納能力。(見《我的生平》)史寧中教授認為：演繹推理的主要功能在于驗證結(jié)論，而不在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

我們?nèi)鄙俚氖歉鶕?jù)情況“預測結(jié)果”的能力；根據(jù)結(jié)果“探究成因”的能力。而這正是歸納推理的能力。就方法而言，歸納推理十分龐雜，枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析，以及觀察實驗、比較分類、綜合分析等均可被包容。與演繹推理相反，歸納推理是一種“從特殊到一般的推理”。

借助歸納推理可以培養(yǎng)學生“預測結(jié)果”和“探究成因”的能力，是演繹推理不可比擬的。從方法論的角度考慮，“雙基教育”缺少歸納能力的培養(yǎng)，對學生未來走向社會不利，對培養(yǎng)創(chuàng)新性人才不利。演繹推理與歸納推理演繹推理是基于“理念”的推理歸納推理是基于“事實”的推理演繹推理是追求“形式”的推理歸納推理是追求“實用”的推理演繹推理是命題所涉及的范圍由大到小的推理歸納推理是命題所涉及的范圍由小到大的推理演繹推理是為了證明的推理歸納推理是為了推斷的推理歸納推理的本質(zhì)是：從經(jīng)驗過的東西推斷未曾經(jīng)驗過的東西，從事物的過去和現(xiàn)在推斷事物的未來。我國高中數(shù)學課程把發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力細化成十大能力：數(shù)學感覺與判斷、數(shù)據(jù)收集與分析、幾何直觀與空間想象、數(shù)學表示與數(shù)學建模、

歸納猜想與合情推理、邏輯思考與演繹證明、數(shù)學聯(lián)結(jié)與數(shù)學洞察、數(shù)學計算與算法設計、數(shù)學語言與數(shù)學交流、理性思維與體系構(gòu)建。這十大能力每一條都可以在小學找到影子。因此，要從小學開始培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。這是蘇教版小學數(shù)學課標新教材五年級上冊第60頁的習題這是北師大版小學數(shù)學課標教材三年級上冊第39頁的習題這是北師大版小學數(shù)學課標教材五年級下冊21頁的內(nèi)容.想一想：下一個數(shù)是多少？你是怎樣想的？

1,2,3,_____.

如果認為1,2,3,……的規(guī)律是,則第4個數(shù)應該填4.

如果認為1,2,3,……的規(guī)律是,

則第4個數(shù)應該填5.

如果認為1,2,3,……的規(guī)律是,

則第4個數(shù)應該填6.

如果認為1,2,3,……的規(guī)律是,則第4個數(shù)應該填2.韓信點兵又稱為中國剩余定理

相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。劉邦茫然而不知其數(shù)。

中國有一本數(shù)學古書「孫子算經(jīng)」也有類似的問題：「今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？」

1.下面三個算式的被除數(shù)相同,你能填出來嗎?□÷7=□……4□÷8=□……7□÷9=□……3原義務教材第三冊P122第14*題。2.在100至200之間，有三個連續(xù)的自然數(shù)，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續(xù)自然數(shù)。(1995年小學數(shù)學奧林匹克競賽總決賽題)3.某數(shù)除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么這個數(shù)的最小可能值是多少？(1998年小學數(shù)學奧林匹克競賽預賽題)

這里的第（1）、（2）小題相對容易，

難在了第（3）小題：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

也就是說：分母是n(n>1,n∈N)的所有最簡真分數(shù)之和有什么規(guī)律？

這值得探討.

例如，分母是2的所有最簡真分數(shù)之和為

；

分母是3的所有最簡真分數(shù)之和為1；

分母是4=

的所有最簡真分數(shù)之和為1；

分母是8=

的所有最簡真分數(shù)之和為2；

分母是9=

的所有最簡真分數(shù)之和為3；

分母是16=

的所有最簡真分數(shù)之和為4.

例如，分母是6=2×3的所有最簡真分數(shù)之和為1；分母是10=2×5的所有最簡真分數(shù)之和為2；分母是12=

的所有最簡真分數(shù)之和為2；分母是72=

的所有最簡真分數(shù)之和為12.n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°.n邊形的外角和是360°.這是人教版課標新教材四年級下冊第120頁的思考題.遞推法。設n-1個圓片移動的總次數(shù)是f(n-1),那么n個圓片移動的總次數(shù)是f(n)。

有這樣一段關(guān)于“世界末日”的傳說

在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據(jù)說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時，在其中的一根針上，自上而下由大到小放了六十四片金片。每天二十四小時內(nèi)，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準移動一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當所有六十四片金片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到臨。

這雖是一個傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動完畢這六十四片金片需要多少時間。也就是說，人類在這個世界上還可以生存多少時間。

如果僧侶移動金片一次需要1秒鐘，移動這么多次共需約5845億年。把這個寓言和現(xiàn)代科學推測對比一下倒是有意思的。按照現(xiàn)代的宇宙進化論，恒星、太陽、行星（包括地球）是在三十億年前由不定形物質(zhì)形成的。我們還知道，給恒星特別是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100～150億年。因此，我們太陽系的整個壽命無疑要短于二百億年?？梢娺h不等僧侶們完成任務，地球早已毀滅了。

規(guī)律是事物之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，是從許多具體事物中抽象出來的一種關(guān)系模型。歸納猜想規(guī)律就是對客觀事物、現(xiàn)象之間內(nèi)在、穩(wěn)定、反復出現(xiàn)等關(guān)系的認識。歸納猜想規(guī)律是發(fā)展學生抽象思維能力的重要載體，也是提高學生問題解決能力的有效途徑。這是北師大版小學數(shù)學六年級下冊第20頁的內(nèi)容這是北師大版小學數(shù)學六年級下冊第63頁的內(nèi)容這是北師大版小學數(shù)學六年級下冊第19頁的內(nèi)容

這是人教版小學數(shù)學教材三年級下冊“年月日”第52頁和第54頁的內(nèi)容。24時計時法與通常的鐘表12時計時法有什么關(guān)系呢？把24時計時法的時間記作自變量x,把其對應的12時計時法的時間記作y,那么：由此分段函數(shù)可知：晚上23時普通鐘表時針指向11.

6.逐步逼近思想

所謂逐步逼近思想，就是在解答某一問題時，先舍棄某些條件，找出問題的初步答案，再根據(jù)條件，作適當調(diào)整，逐步進行下去，直到得出理想的答案為止。例如，除數(shù)是多位數(shù)的除法，在試商時，我們往往先將除數(shù)看作幾十、幾百、幾千、……的數(shù)，找出近似商，再根據(jù)實際情況，逐次進行調(diào)整，直到找出合適的商為止。這是北師大版小學數(shù)學四年級上冊第41頁的內(nèi)容

一般地,用若干個數(shù)字組成兩個自然數(shù),要使乘積最大.不管兩個自然數(shù)的位數(shù)如何,

首先確定兩個自然數(shù)各自最高位上的數(shù)字,分別取兩個最大的數(shù)字;

其次確定兩個自然數(shù)各自次高位上的數(shù)字,分別取剩下數(shù)字中兩個最大的數(shù)字,并注意"較大的數(shù)后面接較小的數(shù)字";

依次類推.

如果兩個自然數(shù)的位數(shù)不相同,要注意"最大的數(shù)字所在的數(shù)最小".

例如：用1，2，3，4，5，6組成兩個三位數(shù)，使其乘積最大。答案為631×542。用1，2，3，4，5，6，7組成一個三位數(shù)和一個四位數(shù)，使其乘積最大。答案為742×6531。用1，2，3，4，5，6，7組成一個兩位數(shù)和一個五位數(shù)，使其乘積最大。答案為74×65321。用若干個數(shù)字組成幾個自然數(shù),要使乘積最大.那么可以靈活運用上述原則和方法。例如：用1，2，3，4，5，6，7，8，9組成一個兩位數(shù)、一個三位數(shù)和一個四位數(shù)，使其乘積最大。答案為94×852×7631。用1，2，3，4，5，6，7，8，9組成兩個兩位數(shù)和一個五位數(shù)，使其乘積最大。答案為94×85×76321。用1，2，3，4，5，6，7，8，9組成一個一位數(shù)、兩個兩位數(shù)和一個四位數(shù)，使其乘積最大。答案為9×83×74×6521。一般地,用若干個非0數(shù)字組成兩個自然數(shù),要使乘積最小.不管兩個自然數(shù)的位數(shù)如何,

首先確定兩個自然數(shù)各自最高位上的數(shù)字,分別取兩個最小的數(shù)字;

其次確定兩個自然數(shù)各自次高位上的數(shù)字,分別取剩下數(shù)字中兩個最小的數(shù)字,并注意"較小的數(shù)后面接較小的數(shù)字";

依次類推.

如果兩個自然數(shù)的位數(shù)不相同,要注意"最小的數(shù)字所在的數(shù)最小".例如：用1，2，3，4，5，6組成兩個三位數(shù)，使其乘積最小。答案為135×246。用1，2，3，4，5，6，7組成一個三位數(shù)和一個四位數(shù)，使其乘積最小。答案為135×2467。用1，2，3，4，5，6，7組成一個兩位數(shù)和一個五位數(shù)，使其乘積最小。答案為13×24567。