高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修2-3學(xué)案2.4第2課時(shí)正態(tài)分布的應(yīng)用

2．4第二課時(shí)正態(tài)分布的應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)(1)能熟練的應(yīng)用正態(tài)曲線的特點(diǎn)求概率；(2)能利用3原則解決實(shí)際問題；2．基礎(chǔ)預(yù)探1．若X～，則對于任何實(shí)數(shù)ａ＞0，概率________即為直線與正態(tài)曲線和ｘ軸所圍成的圖形的面積.2.幾個(gè)特殊結(jié)論：________，————，________.3.由于正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間__________之內(nèi)，而在此區(qū)間以外的取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量X只取_____________之間的值，并簡稱之為3原則.二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)一、小概率事件原理如果一個(gè)事件的發(fā)生的概率小于５％，那么這樣的事件我們稱為小概率事件．對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均試驗(yàn)２０次，才可能發(fā)生一次．所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，該事件幾乎不可能發(fā)生的．這里“幾乎不可能發(fā)生”是針對一次試驗(yàn)說的，如對于一般人來說，發(fā)生車禍?zhǔn)且粋€(gè)小概率事件，但是對于整天開車的司機(jī)來說，這個(gè)事件發(fā)生的概率就不同了，因?yàn)樗緳C(jī)可以看作是大量重復(fù)這些試驗(yàn)，使得概率值變大，從而不再是小概率事件．當(dāng)然，運(yùn)用小概率事件幾乎不可能發(fā)生原理進(jìn)行推斷時(shí)，我們也有５％犯錯(cuò)誤的可能性．二、3原則概率對于固定的而言，該面積隨著的減少而變大.這說明越小，X落在區(qū)間的概率越大，即隨機(jī)變量在附近取值的概率很大,在離很遠(yuǎn)處取值很小.隨機(jī)變量X的取值落在區(qū)間()上的概率值約為68.3%,落在區(qū)間()上的概率值約為95.4%,落在區(qū)間()上的概率值約為99.7%.容易得出，它在之外取值的概率是0.3%.就是在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，平均抽取1000個(gè)落在這個(gè)區(qū)間外的零件僅有3個(gè)，我們可以認(rèn)為個(gè)體在區(qū)間()之外的事幾乎不可能發(fā)生的。如果發(fā)生，說明這是個(gè)體不再服從正態(tài)分布，就是生產(chǎn)發(fā)生了異常.三、典例導(dǎo)析題型一3原則的應(yīng)用例1某磚瓦廠響應(yīng)國家“建設(shè)綠色環(huán)保中國”號召，利用城市某種廢棄物生產(chǎn)新型節(jié)能磚，其“抗斷強(qiáng)度”X服從正態(tài)分布N(30，2)．質(zhì)檢人員從該廠某天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機(jī)地抽查一塊，測得它的抗斷強(qiáng)度為公斤／厘米2，你認(rèn)為該廠這天生產(chǎn)的這批磚是否合格？思路導(dǎo)析：要知道這批磚是否合格，只需檢查抽取的磚是否在3的區(qū)間內(nèi).解：由X～N(30，2)可知X在（，）即（，）之外取值的概率只有.而（，），說明在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此認(rèn)為這批磚不合格.方法規(guī)律：本題是正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)用的一個(gè)實(shí)例，依據(jù)的準(zhǔn)則是正態(tài)總體在區(qū)間之外取值的概率僅有，這一小概率事件幾乎不可能發(fā)生來檢驗(yàn)個(gè)別零件是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的．變式訓(xùn)練：某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布，質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的100件零件中隨機(jī)抽查一件，測得它的外直徑為ｃｍ，則（）.A．該廠生產(chǎn)的這批零件合格.B．該廠生產(chǎn)的這批零件不合格.C．該廠生產(chǎn)的這批零件50%合格.D．無法判斷.題型二應(yīng)用3原則的求值例2設(shè)在一次滿分150分?jǐn)?shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)服從，這個(gè)班的學(xué)生共54人.求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格（不小于90分）的人數(shù)和130分以上的人數(shù).思路導(dǎo)析：和的概率值可由即通過對稱得到，再乘以總?cè)藬?shù)即可得到在此范圍內(nèi)的人數(shù).解：因?yàn)?，所以?所以的概率為.所以130分以上的人數(shù)為人.的概率為＋＝0.8413.所以及格的人數(shù)為人.歸納總結(jié)：本題充分利用在區(qū)間()上的概率值約為68.3%，通過構(gòu)造得到題中需要的概率值，從而將問題解決。注意熟練記憶3原則的三個(gè)概率值的結(jié)論.變式訓(xùn)練：已知某地區(qū)計(jì)算機(jī)達(dá)標(biāo)考試的成績X～N(60,82)（單位：分），此次考生共有1萬人，估計(jì)在60分到68分之間約多少人？題型三正態(tài)分布與二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用例3已知測量誤差（單位：cm），問必須進(jìn)行多少次測量才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10cm的概率大于？思路分析：由于每一次測量的結(jié)果只有絕對誤差超過10ｃｍ和不超過10ｃｍ兩種結(jié)果，所以獨(dú)立重復(fù)測量的結(jié)果服從二項(xiàng)分布，所以可利用二項(xiàng)分布的相關(guān)知識解決.解：設(shè)表示N次測量中絕對誤差不超過10cm的次數(shù)，因?yàn)榉亩?xiàng)分布，即.其中又因?yàn)榻獾盟灾辽倭巳螠y量才能使有一次測量的絕對誤差不超過10cm的概率大于0.9.規(guī)律總結(jié)：以正態(tài)分布為基礎(chǔ)，綜合二項(xiàng)分布的問題難度較大，處理時(shí)注意分清何時(shí)利用正態(tài)分布，何時(shí)利用二項(xiàng)分布.變式訓(xùn)練：生產(chǎn)工藝工程中產(chǎn)品的尺寸誤差X(mm)～2),如果產(chǎn)品的尺寸與規(guī)定的尺寸偏差的絕對值不超過為合格品，求（1）X的概率密度函數(shù)；（2）生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80％的概率.四、隨堂練習(xí)1.某市中考語文考試的考生分?jǐn)?shù)，則分?jǐn)?shù)在70~110分的考生占總考生數(shù)的百分比是().A．31.7%B．68.3%C．95.4%D．99.7%2.某廠生產(chǎn)的零件外直徑X～，2),單位mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測得其外直徑分別為和，則可認(rèn)為（）.A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常.B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常.C.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常.D.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常.3.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題不正確的是（）. A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分； B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同； C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同； D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10.4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.5.一批電阻的阻值X服從正態(tài)分布N(1000,)(單位).今從甲乙兩箱成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻，測得阻值分別為1011和982，可以認(rèn)為.(填寫正確序號).①甲乙兩箱電阻均可出廠；②甲乙兩箱電阻均不可出廠；③甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠；④甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠.6.某燈管廠生產(chǎn)的新型節(jié)能燈管的使用壽命（使用時(shí)間：小時(shí)）為隨機(jī)變量Y，已知Y～N(1000,302),要使燈管的平均壽命為1000小時(shí)的概率為％，問燈管的最低壽命應(yīng)控制在多少小時(shí)以上？五、課后作業(yè)1.在一次環(huán)境保護(hù)知識測試中(滿分為150分)中,某地區(qū)10000名志愿者的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布,據(jù)統(tǒng)計(jì),分?jǐn)?shù)在110分以上的考生共有2514人,則分?jǐn)?shù)在90分以上的志愿者的人數(shù)為（）.2.已知某車間正常生產(chǎn)某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布，質(zhì)量檢驗(yàn)員隨機(jī)抽查了10個(gè)零件，測量得到他們的尺寸如下：，請你根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，幫助質(zhì)量檢驗(yàn)員確定（）.A.生產(chǎn)情況正常B.生產(chǎn)情況異常C.部分零件生產(chǎn)正常，部分零件生產(chǎn)異常D.偶爾異常，大部分時(shí)間正常3.若正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，則正態(tài)總體在區(qū)間（1，4）內(nèi)取值的概率為.4.華新機(jī)械廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布，現(xiàn)取1000個(gè)零件進(jìn)行檢驗(yàn)，則不屬于區(qū)間(3，5)這個(gè)尺寸范圍內(nèi)的零件大約有_____個(gè)?5.有210名學(xué)生，在一次倫敦奧運(yùn)會知識競賽的預(yù)賽后，抽取了一個(gè)樣本如下：成績（分）12345678910人數(shù)分布0006152112330（1）求樣本的知識競賽平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差（精確到）；（2）求總體服從正態(tài)分布，求正態(tài)曲線的近似方程；（3）若規(guī)定，預(yù)賽成績在分或分以上的學(xué)生參加復(fù)賽，試估計(jì)有多少個(gè)學(xué)生可以進(jìn)入復(fù)賽.6.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時(shí)間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1);第二條路較長不擁擠，X服從N(6,0.16).有一天她出發(fā)時(shí)離點(diǎn)名時(shí)間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時(shí)間還有分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？參考答案2．4第二課時(shí)正態(tài)分布的應(yīng)用2．基礎(chǔ)預(yù)探1.2.3.三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練答案：B解析：由X服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布性質(zhì)可知，正態(tài)分布在之外的取值概率只有，而.這說明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此認(rèn)為這批零件不合格.例2變式訓(xùn)練解：由題意=60，=8，因?yàn)?0.6826,所以，又此正態(tài)曲線關(guān)于x=60對稱，所以=，從而估計(jì)在60分到68分之間約3413人. 例3變式訓(xùn)練解：（1）由題意知X～2),即，所以概率密度函數(shù).（2）設(shè)Y表示5件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，每件產(chǎn)品是合格品的概率為，P(|X|≤1.5)=P(1.5<X≤，而Y～B(5,0.6826),合格率不小于80％即Y≥5×0.8=4，所以P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)==0.4927.四、隨堂練習(xí)1.答案：C解析：因?yàn)閄~N(90,100)，所以，，則，，分?jǐn)?shù)在70~110分的考生占總考生數(shù)的百分比是95.4%．故選C．2.答案：C解析：根據(jù)3原則，在(83×0.15,8+3×0.15)即（，）之外時(shí)為異常.3.答案：B解析：因?yàn)閡=80，，所以A、D正確，根據(jù)原則知C正確．4.答案：解析：服從正態(tài)分布，曲線關(guān)于對稱，所以．5.答案：③解析：依據(jù)3原則，阻值應(yīng)在（985，1015）內(nèi)，982（985，1015），所以乙箱電阻不合格.6.解：因?yàn)?，又Y～N(1000,302),所以Y在（910，1090）內(nèi)取值的概率為％，故最低壽命應(yīng)控制在910小時(shí)以上.五、課后作業(yè)1.答案：C解析：因?yàn)椋裕?故分?jǐn)?shù)在90分以上的志愿者共有100002514=7486.2.答案：B解析：有兩個(gè)零件尺寸為和尺寸的兩個(gè)零件，不落在區(qū)間（－，）內(nèi)，這些零件是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的.3.答案：解析：，所以P=0.997.4.答案：3解：因?yàn)閄，所以，所以，所以零件尺寸不屬于（3，5）的概率為，尺寸不屬于（3，5）的零件有個(gè)．5.解：（1），，所以，故樣本的知識競賽平均成績?yōu)?分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.22.（2）以，作為總體知識競賽平均成績和標(biāo)