高中數(shù)學新課標人教A版選修2-3學案2.4第2課時正態(tài)分布的應用

2．4第二課時正態(tài)分布的應用一、課前準備1．課時目標(1)能熟練的應用正態(tài)曲線的特點求概率；(2)能利用3原則解決實際問題；2．基礎預探1．若X～，則對于任何實數(shù)ａ＞0，概率________即為直線與正態(tài)曲線和ｘ軸所圍成的圖形的面積.2.幾個特殊結(jié)論：________，————，________.3.由于正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間__________之內(nèi)，而在此區(qū)間以外的取值的概率只有，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量X只取_____________之間的值，并簡稱之為3原則.二、學習引領一、小概率事件原理如果一個事件的發(fā)生的概率小于５％，那么這樣的事件我們稱為小概率事件．對于這類事件來說，在大量重復試驗中，平均試驗２０次，才可能發(fā)生一次．所以認為在一次試驗中，該事件幾乎不可能發(fā)生的．這里“幾乎不可能發(fā)生”是針對一次試驗說的，如對于一般人來說，發(fā)生車禍是一個小概率事件，但是對于整天開車的司機來說，這個事件發(fā)生的概率就不同了，因為司機可以看作是大量重復這些試驗，使得概率值變大，從而不再是小概率事件．當然，運用小概率事件幾乎不可能發(fā)生原理進行推斷時，我們也有５％犯錯誤的可能性．二、3原則概率對于固定的而言，該面積隨著的減少而變大.這說明越小，X落在區(qū)間的概率越大，即隨機變量在附近取值的概率很大,在離很遠處取值很小.隨機變量X的取值落在區(qū)間()上的概率值約為68.3%,落在區(qū)間()上的概率值約為95.4%,落在區(qū)間()上的概率值約為99.7%.容易得出，它在之外取值的概率是0.3%.就是在大量重復實驗中，平均抽取1000個落在這個區(qū)間外的零件僅有3個，我們可以認為個體在區(qū)間()之外的事幾乎不可能發(fā)生的。如果發(fā)生，說明這是個體不再服從正態(tài)分布，就是生產(chǎn)發(fā)生了異常.三、典例導析題型一3原則的應用例1某磚瓦廠響應國家“建設綠色環(huán)保中國”號召，利用城市某種廢棄物生產(chǎn)新型節(jié)能磚，其“抗斷強度”X服從正態(tài)分布N(30，2)．質(zhì)檢人員從該廠某天生產(chǎn)的1000塊磚中隨機地抽查一塊，測得它的抗斷強度為公斤／厘米2，你認為該廠這天生產(chǎn)的這批磚是否合格？思路導析：要知道這批磚是否合格，只需檢查抽取的磚是否在3的區(qū)間內(nèi).解：由X～N(30，2)可知X在（，）即（，）之外取值的概率只有.而（，），說明在一次試驗中出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此認為這批磚不合格.方法規(guī)律：本題是正態(tài)分布假設檢驗應用的一個實例，依據(jù)的準則是正態(tài)總體在區(qū)間之外取值的概率僅有，這一小概率事件幾乎不可能發(fā)生來檢驗個別零件是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的．變式訓練：某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X服從正態(tài)分布，質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的100件零件中隨機抽查一件，測得它的外直徑為ｃｍ，則（）.A．該廠生產(chǎn)的這批零件合格.B．該廠生產(chǎn)的這批零件不合格.C．該廠生產(chǎn)的這批零件50%合格.D．無法判斷.題型二應用3原則的求值例2設在一次滿分150分數(shù)學考試中，某班學生的分數(shù)服從，這個班的學生共54人.求這個班在這次數(shù)學考試中及格（不小于90分）的人數(shù)和130分以上的人數(shù).思路導析：和的概率值可由即通過對稱得到，再乘以總?cè)藬?shù)即可得到在此范圍內(nèi)的人數(shù).解：因為，所以，.所以的概率為.所以130分以上的人數(shù)為人.的概率為＋＝0.8413.所以及格的人數(shù)為人.歸納總結(jié)：本題充分利用在區(qū)間()上的概率值約為68.3%，通過構(gòu)造得到題中需要的概率值，從而將問題解決。注意熟練記憶3原則的三個概率值的結(jié)論.變式訓練：已知某地區(qū)計算機達標考試的成績X～N(60,82)（單位：分），此次考生共有1萬人，估計在60分到68分之間約多少人？題型三正態(tài)分布與二項分布的綜合應用例3已知測量誤差（單位：cm），問必須進行多少次測量才能使至少有一次測量的絕對誤差不超過10cm的概率大于？思路分析：由于每一次測量的結(jié)果只有絕對誤差超過10ｃｍ和不超過10ｃｍ兩種結(jié)果，所以獨立重復測量的結(jié)果服從二項分布，所以可利用二項分布的相關知識解決.解：設表示N次測量中絕對誤差不超過10cm的次數(shù)，因為服從二項分布，即.其中又因為解得所以至少了三次測量才能使有一次測量的絕對誤差不超過10cm的概率大于0.9.規(guī)律總結(jié)：以正態(tài)分布為基礎，綜合二項分布的問題難度較大，處理時注意分清何時利用正態(tài)分布，何時利用二項分布.變式訓練：生產(chǎn)工藝工程中產(chǎn)品的尺寸誤差X(mm)～2),如果產(chǎn)品的尺寸與規(guī)定的尺寸偏差的絕對值不超過為合格品，求（1）X的概率密度函數(shù)；（2）生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80％的概率.四、隨堂練習1.某市中考語文考試的考生分數(shù)，則分數(shù)在70~110分的考生占總考生數(shù)的百分比是().A．31.7%B．68.3%C．95.4%D．99.7%2.某廠生產(chǎn)的零件外直徑X～，2),單位mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為和，則可認為（）.A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常.B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常.C.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常.D.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常.3.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題不正確的是（）. A．該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分； B．分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同； C．分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同； D．該市這次考試的數(shù)學成績標準差為10.4.已知隨機變量服從正態(tài)分布,則.5.一批電阻的阻值X服從正態(tài)分布N(1000,)(單位).今從甲乙兩箱成品中各隨機抽取一個電阻，測得阻值分別為1011和982，可以認為.(填寫正確序號).①甲乙兩箱電阻均可出廠；②甲乙兩箱電阻均不可出廠；③甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠；④甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠.6.某燈管廠生產(chǎn)的新型節(jié)能燈管的使用壽命（使用時間：小時）為隨機變量Y，已知Y～N(1000,302),要使燈管的平均壽命為1000小時的概率為％，問燈管的最低壽命應控制在多少小時以上？五、課后作業(yè)1.在一次環(huán)境保護知識測試中(滿分為150分)中,某地區(qū)10000名志愿者的分數(shù)X服從正態(tài)分布,據(jù)統(tǒng)計,分數(shù)在110分以上的考生共有2514人,則分數(shù)在90分以上的志愿者的人數(shù)為（）.2.已知某車間正常生產(chǎn)某種零件的尺寸滿足正態(tài)分布，質(zhì)量檢驗員隨機抽查了10個零件，測量得到他們的尺寸如下：，請你根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，幫助質(zhì)量檢驗員確定（）.A.生產(chǎn)情況正常B.生產(chǎn)情況異常C.部分零件生產(chǎn)正常，部分零件生產(chǎn)異常D.偶爾異常，大部分時間正常3.若正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，則正態(tài)總體在區(qū)間（1，4）內(nèi)取值的概率為.4.華新機械廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布，現(xiàn)取1000個零件進行檢驗，則不屬于區(qū)間(3，5)這個尺寸范圍內(nèi)的零件大約有_____個?5.有210名學生，在一次倫敦奧運會知識競賽的預賽后，抽取了一個樣本如下：成績（分）12345678910人數(shù)分布0006152112330（1）求樣本的知識競賽平均成績和標準差（精確到）；（2）求總體服從正態(tài)分布，求正態(tài)曲線的近似方程；（3）若規(guī)定，預賽成績在分或分以上的學生參加復賽，試估計有多少個學生可以進入復賽.6.某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1);第二條路較長不擁擠，X服從N(6,0.16).有一天她出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應選哪一條路線？若離點名時間還有分鐘，問他應選哪一條路線？參考答案2．4第二課時正態(tài)分布的應用2．基礎預探1.2.3.三、典例導析例1變式訓練答案：B解析：由X服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布性質(zhì)可知，正態(tài)分布在之外的取值概率只有，而.這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此認為這批零件不合格.例2變式訓練解：由題意=60，=8，因為=0.6826,所以，又此正態(tài)曲線關于x=60對稱，所以=，從而估計在60分到68分之間約3413人. 例3變式訓練解：（1）由題意知X～2),即，所以概率密度函數(shù).（2）設Y表示5件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，每件產(chǎn)品是合格品的概率為，P(|X|≤1.5)=P(1.5<X≤，而Y～B(5,0.6826),合格率不小于80％即Y≥5×0.8=4，所以P(Y≥4)=P(Y=4)+P(Y=5)==0.4927.四、隨堂練習1.答案：C解析：因為X~N(90,100)，所以，，則，，分數(shù)在70~110分的考生占總考生數(shù)的百分比是95.4%．故選C．2.答案：C解析：根據(jù)3原則，在(83×0.15,8+3×0.15)即（，）之外時為異常.3.答案：B解析：因為u=80，，所以A、D正確，根據(jù)原則知C正確．4.答案：解析：服從正態(tài)分布，曲線關于對稱，所以．5.答案：③解析：依據(jù)3原則，阻值應在（985，1015）內(nèi)，982（985，1015），所以乙箱電阻不合格.6.解：因為，又Y～N(1000,302),所以Y在（910，1090）內(nèi)取值的概率為％，故最低壽命應控制在910小時以上.五、課后作業(yè)1.答案：C解析：因為，所以，所以,故分數(shù)在90分以上的志愿者共有100002514=7486.2.答案：B解析：有兩個零件尺寸為和尺寸的兩個零件，不落在區(qū)間（－，）內(nèi)，這些零件是在非正常狀態(tài)下生產(chǎn)的.3.答案：解析：，所以P=0.997.4.答案：3解：因為X，所以，所以，所以零件尺寸不屬于（3，5）的概率為，尺寸不屬于（3，5）的零件有個．5.解：（1），，所以，故樣本的知識競賽平均成績?yōu)?分，標準差為1.22.（2）以，作為總體知識競賽平均成績和標