初一數(shù)學(xué)三角形與全等三角形知識(shí)點(diǎn)大全,經(jīng)典練習(xí)-含問(wèn)題詳解

初一數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)歸納一、與三角形有關(guān)的線段1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形2、等邊三角形：三邊都相等的三角形3、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形4、不等邊三角形：三邊都不相等的三角形5、在等腰三角形中,相等的兩邊都叫腰,另一邊叫底,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角6、三角形分類：不等邊三角形等腰三角形：底邊和腰不等的等腰三角形等邊三角形7、三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊注：1〕在實(shí)際運(yùn)用中,只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊,如此可說(shuō)明能組成三角形2〕在實(shí)際運(yùn)用中,已經(jīng)兩邊,如此第三邊的取值圍為：兩邊之差＜第三邊＜兩邊之和3〕所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊,求出兩個(gè)答案的,注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形8、三角形的高：從AABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做448?的邊BC上的高9、三角形的中線：連接448?的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D,所得線段AD叫做^ABC的邊BC上的中線注：兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差為x^□此存在兩種可能：即可能是第一個(gè)△周長(zhǎng)大，也有可能是第一個(gè)△周長(zhǎng)小10、三角形的角平分線：畫∠A的平分線AD,交∠A所對(duì)的邊BC于D,所得線段AD叫做△ABC的角平分線11、三角形的穩(wěn)定性,四邊形沒有穩(wěn)定性二、與三角形有關(guān)的角1、三角形角和定理：三角形三個(gè)角的和等于180度.證明方法：利用平行線性質(zhì)2、三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角,叫做三角形的外角3、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)角的和4、三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)角5、三角形的外角和為360度6、等腰三角形兩個(gè)底角相等三、多邊形與其角和1、多邊形：在平面,由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形2、N邊形：如果一個(gè)多邊形由N條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做N邊形.3、角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的角4、外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角5、對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,叫做多邊形的對(duì)角線6、正多邊形：各個(gè)角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形7、多邊形的角和：n邊形角和等于〔n-2〕*1808、多邊形的外角和：360度注：有些題,利用外角和,能提升解題速度9、從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引n-3條對(duì)角線，它們將n邊形分成n—2個(gè)4注：探索題型中，一定要注意是否是從N邊形頂點(diǎn)出發(fā)，不要盲目背誦答案10、從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引n-3條對(duì)角線，n邊形共有對(duì)角線n(n-3)2條.全等三角形復(fù)習(xí)一、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形.2、全等三角形有哪些性質(zhì)〔1〕：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.〔2〕：全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等.〔3〕：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等.3、全等三角形的判定邊邊邊：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫成"SSS〃>邊角邊：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫成"SAS〃>角邊角：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫成"ASA〃>角角邊：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等〔可簡(jiǎn)寫成"AAS〃>斜邊.直角邊：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〔可簡(jiǎn)寫成"HL〃>4、證明兩個(gè)三角形全等的根本思路：二、角的平分線：熟悉根本圖形1、〔性質(zhì)〕角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2、〔判定〕角的部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.三、學(xué)習(xí)全等三角形應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：〔1>要正確區(qū)分"對(duì)應(yīng)邊〞與"對(duì)邊〞,"對(duì)應(yīng)角〞與"對(duì)角〞的不同含義；〔2表示兩個(gè)三角形全等時(shí),表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母要寫在對(duì)應(yīng)的位置上；〔3〕"有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等〞或"有兩邊與其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等〞的兩個(gè)三角形不一定全等；〔4〕時(shí)刻注意圖形中的隱含條件,如"公共角〞、"公共邊〞、"對(duì)頂角〞軸對(duì)稱一、軸對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊,如果直線兩旁的局部能夠完全重合,那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線〔成軸〕對(duì)稱.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能與另一個(gè)圖形完全重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖關(guān)于這條直線對(duì)稱.這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做對(duì)稱點(diǎn)3、軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形.②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.③軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.二、線段的垂直平分線熟悉根本圖形比擬區(qū)分角平分線模型.經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫中垂線..線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在線段的垂直平分線上三、用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱小結(jié)：在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.ΛCx,y〕關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.ΛCx,y〕關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等四、〔等腰三角形>知識(shí)點(diǎn)回顧.等腰三角形的兩個(gè)底角相等.〔等邊對(duì)等角〕.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.〔三線合一〕2、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.〔等角對(duì)等邊〕五、〔等邊三角形〕知識(shí)點(diǎn)回顧1.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等于600.2、等邊三角形的判定：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.②有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形..在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半..直角三角形,斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等三角形練習(xí)一、填空題〔每一小題2分,共20分〕.如圖，△ABC^^DEB,AB=DE,∠E=∠ABC,如此/C的對(duì)應(yīng)角為，BD的對(duì)應(yīng)邊為..如圖，4口=4匕/1=/2田0^匕如此有^ABD0△,理由是，4ABE0△,理由是.BE△ABC04DEF,BC=EF=6cm,△ABC自CmAA題〕平方厘米,如此￡及，邊4.如圖，4口、A'D'分別是銳角WABC和9'B'CC'中A〔第4題〕A^勺高是BC與B>C'邊上的高，且DB=c'CA'B',AD=A'D',假設(shè)使^ABC@AA'B'C',請(qǐng)你補(bǔ)充條件〔只需填寫一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件〕.假設(shè)兩個(gè)圖形全等,如此其中一個(gè)圖形可通過(guò)平移、或與另一個(gè)三角形完全重合..如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度一樣的滑梯〔即BC=EFJ,左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，如此/ABC+∠DFE=度〔第6題〕 〔第7題〕 〔第8題〕.：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，如此DN+MN的最小值為 ．.如圖，在AABC中，ZB=90o,D是斜邊AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，連結(jié)AD,假設(shè)ZDAC：NDAB=2：5,出口上匕NDAC=..等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90o,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,假設(shè)AB+AD=8cm,如此底邊BC上的高為..銳角三角形ABC中，高AD和BE交于點(diǎn)H,且BH=AC,如此NABC=度.〔第9題〕 〔第10題〕 〔第13題〕二、選擇題〔每一小題3分,共30分〕.d?ΔABCψ,AB=AC,ZA=56o,如此高BD與BC的夾角為〔JA.28o B.34o C.68o D.62°.在AABC中，AB=3,AC=4,延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD,如此AD的長(zhǎng)的取值圍為〔〕A.1<AD<7B.2<AD<14C.2.5<AD<5.5D.5<AD<11.出口圖，在AABC中，NC=90°,CA=CB,AD平分NCAB交BC于D,DE_LAB于點(diǎn)、E,且AB=6,出口此ADEB的周長(zhǎng)為〔 JA.4B.6C.8D.10.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于角的示意圖如下,如此說(shuō)明NA'0,B,=NAoB的依據(jù)是A.〔S.S.S.〕B.〔S.A.S.〕C.〔A.S.A.〕D.〔A.A.S. （第14題）.對(duì)假命題"任何一個(gè)角的補(bǔ)角都不小于這個(gè)角〃舉反例，正確的反例是〔JZα=605,za的補(bǔ)角Nβ二120。,Zβ>ZaZa=905,Na的補(bǔ)角NB=9005,Zβ=ZaZa=1005,Za的補(bǔ)角Nβ=805,Zβ<Za.AABC與^A'B'C中，條件①AB=A'B',②BC=B'C',③AC=A，C：④NA=NA',⑤NB=NB',⑥NC=NC',如此如下各組條件中不能保證^AB34A'B'C'的是〔〕A.①②③B.①②⑤C.①③⑤D.②⑤⑥.如圖，在AABC中，AB=AC,高BD,CE交于點(diǎn)0,Ao交BC于點(diǎn)F,如此圖中共有全等三角形〔JA.7對(duì)18.?

白

A

19.成

立ABF,

20.4一第巨毒胤.度數(shù)等于〔J第IE題圖一--- ，VD.4對(duì)A.10oB.80oC.100o D.80°或100三、解答題〔每一小題5分,共30分〕.如圖，點(diǎn)E在AB上,AC=AD,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添?xiàng)l件為,

你得到的一對(duì)全等三角形是A=A.〔第21題〕.如圖，￡6〃人匕請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中再選兩個(gè)作為

條件,另一個(gè)為結(jié)論,推出一個(gè)正確的命題〔只需寫

出一種情況〕，并給予證明.①AB=AC,②DE=DF,③BE=CF,:EG〃AF,求證：證明：〔第22題〕.如圖，在AABC和^DEF中，B、E、C、F在同一直線上，下面有四個(gè)條件,請(qǐng)你在其中選擇3個(gè)作為題設(shè),余下的1個(gè)作為結(jié)論,寫一個(gè)真命題,并加以證明.①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF〔第23題〕.如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊CDAE、BF,給出如下五個(gè)關(guān)系式：①AD〃BC；②DE=CE③.∠1=∠2④.∠3=∠4.⑤AD+BC=AB將其中的三個(gè)關(guān)系式作為假設(shè),另外兩個(gè)作為結(jié)論,構(gòu)成一個(gè)命題.＜1＞用序號(hào)寫出一個(gè)真命題，書寫形式如：如果……，那么……，并給出證明；＜2＞用序號(hào)再寫出三個(gè)真命題〔不要求證明〕；〔3〕真命題不止以上四個(gè),想一想就能夠多寫出幾個(gè)真命題25.,如圖，口是^ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,AB〃FC.問(wèn)線段4口、CF的長(zhǎng)度關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明.A〔第25題〕26.如圖，?ABC是等腰直角三角形，∠C=90°. zL?e-F-SF〔1〕操作并觀察,如圖，將三角板的45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,使這個(gè)角落在2版8的部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的部旋轉(zhuǎn),觀察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí),AE、EF、FB中最長(zhǎng)線段是否始終是EF?寫出觀察結(jié)果.〔2〕探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明.四、探究題〔每題10分,共20分〕①,OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形.請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法,解答如下問(wèn)題：〔1〕如圖②,在AABC中，∠ACB是直角，∠B=60°,AD?CE分別是∠BAC?∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；〔2〕如圖③,在AABC中，如果/ACB不是直角，而＜1＞中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在＜1＞中所得結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立,請(qǐng)證明；假設(shè)不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.B28.如圖a,△ABC和ACEF年兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)。連接AF和BE.OPA_N

圖①＜1＞線段AF和怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論;FDEDC圖③CA＜2＞將圖a中的ACEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度,得到圖b,＜1＞中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷并說(shuō)明理由；＜3＞假設(shè)將圖a中的AABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度,請(qǐng)你畫山一個(gè)變換后的圖形＜草圖即可＞,＜1＞中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷不必說(shuō)明理由；＜4＞根據(jù)以上證明、說(shuō)理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn)〕.圖a 圖b參考答案一、1.∠DBE,CA2.AACE, SAS,AACD, ASA〔或SAS〕3.6CD=C'D'〔或AC=A'C',或NC=NC'或NCAD=NC'A'D'〕5.平移，翻折6.9010 8.20°9.8-4√210.45三、21.可選擇CE=DE、/CAB=/DAB、BC=BDAACE@AADE或AACB0AADB等.22.結(jié)合圖形，條件以與所供選擇的3個(gè)論斷,認(rèn)真分析它們之間的在聯(lián)系可選①AB=AC,②DE=DF,作為條件，③BE=CF作為結(jié)論；推理過(guò)程為：?.?EG"AF,.?.NGED=NCFD,NBGe=NBCA,VAB=AC,ΛNB=NBCA,.?.NB=NBGE.?.BE=EG,在ADEG和ADFC中，NGED=NCFD,DE=DF,NEDG=NFDC,.?.ADEG0ADFC,.?.EG=CF,而EG=BE,.BE=CF;假設(shè)選①AB=AC,③BE=CF為條件，同樣可以推得②DE=DF,23.結(jié)合圖形，認(rèn)真分析所供選擇的4個(gè)論斷之間的在聯(lián)系由④BE=CF還可推得BC=EF,根據(jù)三角形全等的判定方法，可選論斷：①AB=DE,②AC=DF,④BE=CF為條件，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等可以得到：AABC^ADEF,進(jìn)而推得論斷③NABC=NDEF,同樣可選①AB=DE,③NABC=NDEF,④BE=CF為條件,根據(jù)兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等可以得到：AABC@ADEF,進(jìn)而推得論斷②AC=DF.〔1〕如果①②③，那么④⑤證明：如圖，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于F因?yàn)锳D〃BC所以N1=NF又因?yàn)镹AED=NCEF,DE=EC所以AADE@AFCE,所以AD=CF,AE=EF因?yàn)镹1=NF,N1=N2所以N2=NF所以AB=BF.所以N3=N4所以AD+BC=CF+BC=BF=AB〔2〕如果①②④，那么③⑤；如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.＜3＞如果①②⑤，那么③④；如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.〔1〕觀察結(jié)果是：當(dāng)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在重合,并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在NACB部旋轉(zhuǎn)時(shí),AE、EF、FB中最長(zhǎng)的線段始終是EE〔2〕AE、EF、FB三條線段能構(gòu)成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：在NECF的部作NECG=NACE,使CG=AC,連結(jié)EG,FG,△ACE^△GCE,ZA=Z1,同理ZB=Z2,VZA+ZB=90o,ΛZ1+Z2=90o,ΛZEGF=90o,EF為斜邊.四、27.〔1〕FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE二FD答：〔1〕中的結(jié)