2022秋蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊 典中點(diǎn) 第2章 習(xí)題課件

圓的認(rèn)識2.1.1

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓AB12345A678106.5cm或2.5cmBD11答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接98cmBC12B8cm＜r＜10cmD131415答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接3.5平面內(nèi)已知點(diǎn)P，以點(diǎn)P為圓心，3cm為半徑作圓，這樣的圓可以作(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．無數(shù)個(gè)1A【2021春·杭州蕭山月考】下列各組圖形中，四個(gè)頂點(diǎn)一定在同一圓上的是(

)A．矩形，菱形

B．矩形，正方形C．菱形，正方形

D．平行四邊形，菱形2B【2021春·泰州興化期末】已知⊙O的半徑為4cm，點(diǎn)P到圓心O的距離為5cm，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是(

)A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

B．點(diǎn)P在⊙O上

C．點(diǎn)P在⊙O外

D．無法確定3C【2020秋·徐州期末】已知⊙O的半徑為3cm，若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則OP的長可能是(

)A．2cm

B．3cmC．4cm

D．5cm4A在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，⊙O的半徑為10，則點(diǎn)P(－10，1)與⊙O的位置關(guān)系為(

)A．點(diǎn)P在⊙O上

B．點(diǎn)P在⊙O外

C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

D．無法確定5B6【點(diǎn)撥】【答案】D已知⊙O的半徑為6cm，OP＝2cm，則點(diǎn)P到⊙O上的最大距離為________．78cm【2021·青?！奎c(diǎn)P是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是______________．86.5cm或2.5cm在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，0)，(a，0)，⊙A的半徑為2.下列說法中不正確的是(

)A．當(dāng)a＝－1時(shí)，點(diǎn)B在⊙A上

B．當(dāng)a＜1時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)C．當(dāng)a＜－1時(shí)，點(diǎn)B在⊙A外

D．當(dāng)－1＜a＜3時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)9【點(diǎn)撥】如圖．∵A(1，0)，⊙A的半徑是2，∴AC＝AE＝2.∴OE＝1，OC＝3.A中當(dāng)a＝－1時(shí)，點(diǎn)B在E處，即點(diǎn)B在⊙A上，正確；B中當(dāng)a＝－3時(shí)，點(diǎn)B在⊙A外，即當(dāng)a＜1時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)錯(cuò)誤；C中當(dāng)a＜－1時(shí)，AB＞2，即點(diǎn)B在⊙A外正確；D中當(dāng)－1＜a＜3時(shí)，點(diǎn)B在⊙A內(nèi)正確.【答案】BA，B兩點(diǎn)的距離為4厘米，用圖形表示具有下列性質(zhì)的點(diǎn)的集合，并指出它們是怎樣的圖形：(1)到點(diǎn)A的距離等于3厘米的點(diǎn)的集合；解：到點(diǎn)A的距離等于3厘米的點(diǎn)的集合，如圖①；10(2)到點(diǎn)B的距離等于3厘米的點(diǎn)的集合；解：到點(diǎn)B的距離等于3厘米的點(diǎn)的集合，如圖②；(3)到A，B兩點(diǎn)的距離都等于3厘米的點(diǎn)的集合；解：點(diǎn)C，D即為符合條件的點(diǎn)的集合，如圖③；(4)到A，B兩點(diǎn)的距離都不大于3厘米的點(diǎn)的集合．解：陰影部分即為符合條件的點(diǎn)的集合(含邊界)，如圖④.如圖，∠ABC＝∠ADC＝∠AEC＝90°.求證：點(diǎn)A，B，C，D，E在同一個(gè)圓上．11已知點(diǎn)C在線段AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)A，B的圓記作⊙O1，過點(diǎn)B，C的圓記作⊙O2，過點(diǎn)C，A的圓記作⊙O3，則下列說法中正確的是(

)A．⊙O1經(jīng)過點(diǎn)C

B．點(diǎn)C在⊙O1的內(nèi)部C．點(diǎn)A在⊙O2的內(nèi)部

D．點(diǎn)B在⊙O3的內(nèi)部12【點(diǎn)撥】∵點(diǎn)C在線段AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，過點(diǎn)A，B的圓記作⊙O1，∴點(diǎn)C在⊙O1的內(nèi)部，故A錯(cuò)誤，B正確.∵過點(diǎn)B，C的圓記作⊙O2，∴點(diǎn)A在⊙O2的外部，故C錯(cuò)誤；∵過點(diǎn)C，A的圓記作⊙O3，∴點(diǎn)B在⊙O3的外部，故D錯(cuò)誤.【答案】B如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝6cm，AD＝8cm.若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中有兩個(gè)點(diǎn)在⊙A內(nèi)，有一點(diǎn)在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是_______________．138cm＜r＜10cm如圖，若正方形、矩形、圓的面積相等，則周長L的大小關(guān)系是(

)A．LA＞LB＞LC

B．LA＜LB＜LC

C．LB＞LC＞LA

D．LC＜LA＜LB14【點(diǎn)撥】【答案】D【2021·西昌模擬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3，4)，(3，0)，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作⊙A，P為⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，M為OP的中點(diǎn)，則BM的最大值為________．153.5【點(diǎn)撥】與圓有關(guān)的概念2.1.2

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓CA1234567810CD1211答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9140°B301213習(xí)題鏈接下圖中∠ACB是圓心角的是(

)1C【2020秋·武安期末】如圖，是⊙O弦的是(

)A．線段AB

B．線段AC

C．線段AE

D．線段DE2A如圖，圖中的弦共有(

)A．1條

B．2條

C．3條

D．4條3B如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上的任意一點(diǎn)(不包括點(diǎn)O，B)，CD，EF是過點(diǎn)P的兩條弦，則圖中的弦有____________________，以B為端點(diǎn)的劣弧有______________________．4AB，CD，EFBD，BC，BE，BF︵︵︵︵【2020秋·揚(yáng)州期末】A，B是半徑為5cm的⊙O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是(

)A．AB＞0

B．0＜AB＜5C．0＜AB＜10

D．0＜AB≤105D如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，10為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))P有______個(gè)．612如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDEF是正方形．(1)求證：OC＝OF；7證明：如圖，連接OD，OE，則OD＝OE.∵∠OCD＝∠OFE＝90°，DC＝EF，∴Rt△ODC≌Rt△OEF(HL)，∴OC＝OF.(2)在正方形CDEF的右側(cè)有一正方形FGHK，點(diǎn)G在AB上，點(diǎn)H在半圓上，點(diǎn)K在EF上．若正方形CDEF的邊長為2，求正方形FGHK的面積．解：如圖，連接OH.∵CF＝EF＝2，OC＝OF，∴OF＝1，∴OH2＝OE2＝OF2＋EF2＝12＋22＝5.設(shè)FG＝GH＝x，則OG＝x＋1.∵OG2＋GH2＝OH2，∴(x＋1)2＋x2＝5，∴x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合題意，舍去).∴S正方形FGHK＝FG2＝12＝1.【2021春·荷澤巨野縣期末】下列說法：①弦是直徑；②半圓是??；③過圓心的線段是直徑；④圓心相同，半徑相等的兩個(gè)圓是同心圓．其中錯(cuò)誤的有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)8【點(diǎn)撥】①直徑是弦，故錯(cuò)誤，符合題意；②半圓是弧，正確，不符合題意；③過圓心的弦是直徑，故錯(cuò)誤，符合題意；④圓心相同，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，故錯(cuò)誤，符合題意，錯(cuò)誤的有3個(gè).【答案】C【2020秋·咸寧嘉魚縣期末】如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A＝80°，∠C＝60°，則∠B的度數(shù)為_____．9140°如圖，OA，OB是⊙O的半徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，則∠OAC＝______°.3010【點(diǎn)撥】如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE＝BF.OE與OF相等嗎？為什么？11解：OE與OF相等．理由如下：連接OA，OB，則OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS).∴OE＝OF.如圖，⊙O的半徑為6，△OAB的面積為18，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OP長為整數(shù)時(shí)，滿足題意的P點(diǎn)共有幾個(gè)？12如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最大值和最小值分別是多少？13解：由題意知，AP為點(diǎn)A到⊙O上的距離，如圖，連接AO，OP，且AO交⊙O于點(diǎn)E.在△APO中，∵AP＋PO>AO＝AE＋EO，且PO＝EO.∴AP>AE，且當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)有AP＝AE.∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E處時(shí)，AP取得最小值.圓心角、弧、弦之間的關(guān)系2.2.1

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓圓心42°12345B67810C36°311答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9DA12圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是________．1圓心【2021秋·南京玄武區(qū)校級月考】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB，CD的延長線交于E點(diǎn)，若AB＝2DE，∠E＝14°，則AC的度數(shù)為________．242°︵如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在小量角器上對應(yīng)的刻度為63°，那么點(diǎn)P在大量角器上對應(yīng)的刻度為(只考慮小于90°的角)(

)A．54°

B．55°C．56°

D．57°3【點(diǎn)撥】連接O1P，O2P，如圖.∵點(diǎn)P在小量角器上對應(yīng)的刻度為63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O2O1，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°，∴∠PO1O2＝180°－∠O1PO2－∠O1O2P＝∠180°－63°－63°＝54°，即點(diǎn)P在大量角器上對應(yīng)的刻度為54°(只考慮小于90°的角).【答案】A【2020·蘇州姑蘇區(qū)月考】如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在AB上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則AD的度數(shù)為(

)A．40°

B．50°C．60°

D．70°4B︵︵【2020秋·南京玄武區(qū)校級月考】已知弦AB把圓周分成1∶9兩部分，則弦AB所對圓心角的度數(shù)為______．536°如圖，AB，DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE＝3，則弦CE＝________．63如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠1＝∠2，則下列結(jié)論中正確的有(

)①AB＝CD；②BD＝AC；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)7D︵︵︵︵如圖，在⊙O中，AC＝2AB，則下列數(shù)量關(guān)系正確的是(

)A．AB＝AC

B．AC＝2AB

C．AC＜2AB

D．AC＞2AB8︵︵【點(diǎn)撥】如圖．連接BC.∵AC＝2AB，∴AB＝BC.∴AB＝BC.∴AB＋BC＞AC.∴2AB＞AC.【答案】C︵︵︵︵【2021秋·揚(yáng)州邗江區(qū)校級月考】如圖，在⊙O中，AB＝CD.求證：AD＝BC.9證明：∵AB＝CD，∴AB＝CD.∴AB－BD＝CD－BD.∴AD＝BC.︵︵︵︵︵︵︵︵︵︵如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AC＝DB.求證：∠OEF＝∠OFE.10︵︵證明：連接OA，OB，如圖.∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AC＝DB，∴∠AOE＝∠BOF.︵︵如圖，以平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作⊙A，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BA的延長線于點(diǎn)G.11(1)求證：EF＝FG；證明：連接AE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠EAF＝∠AEB，∠GAF＝∠B.∵AE＝AB，∴∠B＝∠AEB，∴∠EAF＝∠GAF，∴EF＝FG.︵︵︵︵(2)若EG為140°，求∠EGB的度數(shù)．︵︵(1)如圖①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分點(diǎn)，AB分別交OC，OD于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：AE＝BF＝CD；12︵證明：連接AC，BD.∵C，D是AB的三等分點(diǎn)，

∴AC＝CD＝BD，∴AC＝CD＝BD.∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.∵OA＝OC，∠AOC＝30°，︵︵︵︵(2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他條件不變，如圖②，那么(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．解：成立．證明過程同(1).垂徑定理2.2.2

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓A123451267810BD11答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9A下列圖形：平行四邊形、矩形、菱形、圓、等腰三角形，這些圖形中只是軸對稱圖形，而不是中心對稱圖形的有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)

D．4個(gè)1A【2021·牡丹江】半徑為12cm的圓中，垂直平分半徑的弦長為_________．2【2021·西寧】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD＝10，BE＝2，則⊙O的半徑OC＝_______．3【2020·南通】⊙O的半徑為13，弦AB的長度是10，則圓心O到弦AB的距離為________．412【2021·涼山州】點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為(

)A．3cm

B．4cmC．5cm

D．6cm5B【2021·淄博】“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長度是(

)A．12寸

B．24寸C．13寸

D．26寸6D下列說法正確的是(

)A．在同圓中，等弧所對的弦相等

B．平分弦的直徑垂直弦并平分弦所對的弧C．相等的弦所對的圓心角相等

D．相等的圓心角所對的弧相等7【點(diǎn)撥】選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的，應(yīng)該是平分弦(此弦非直徑)的直徑垂直弦并平分弦所對的??；選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的，必須在同圓或等圓中；選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的，必須在同圓或等圓中.【答案】A【2020秋·南京玄武區(qū)期中】如圖，某石拱橋的橋拱是圓弧形，拱的跨度AB為24m，點(diǎn)O是AB所在圓的圓心，⊙O的半徑為13m，求橋拱的高度．(弧的中點(diǎn)到弦的距離)8︵︵如圖，⊙O的半徑OA⊥OC，垂足為O，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2CD，OA＝4.(1)∠COD＝________°；930︵︵︵(2)求弦AD的長；解：∠AOD＝2∠COD＝2×30°＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴AD＝OA＝4.(3)P是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PD，請求出AP＋PD的最小值，并說明理由．解：如圖，延長AO交⊙O于點(diǎn)B，連接BD交OC于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)AP＋PD的值最小.∵OA⊥OC，OA＝OB，∴PA＝PB.∴PA＋PD＝PB＋PD.∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴AP＋PD的最小值為BD的長.如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，AB＝BF，CE＝1，AB＝6，求弦AF的長．10︵︵︵︵如圖，A，C為半徑是8的圓周上的兩動(dòng)點(diǎn)，B是AC的中點(diǎn)，以線段BA，BC為鄰邊作菱形ABCD，頂點(diǎn)D恰在該圓半徑的中點(diǎn)上，求該菱形的邊長．11︵︵確定圓的條件2.3

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓CD1234556781083答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9CC如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)D在直線AB外，過這四個(gè)點(diǎn)中的任意三個(gè)點(diǎn)，能畫的圓有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)

D．4個(gè)1C確定一個(gè)圓的條件是(

)A．已知圓心

B．已知半徑C．過兩個(gè)已知點(diǎn)

D．過一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)2D平面上有四個(gè)點(diǎn)，過其中任意三個(gè)點(diǎn)一共能確定圓的個(gè)數(shù)為(

)A．0或3或4

B．0或1或3C．0或1或3或4

D．0或1或43【點(diǎn)撥】如圖，當(dāng)四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，不能確定圓，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，只能作1個(gè)圓，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可以作3個(gè)圓，當(dāng)四點(diǎn)不共圓時(shí)，且沒有三點(diǎn)共線時(shí)，能確定4個(gè)圓.【答案】C【2020秋·鹽城亭湖區(qū)校級期末】直角三角形的兩條直角邊長分別為6和8，那么這個(gè)三角形的外接圓半徑為________．45【2021·南京鼓樓區(qū)一?！咳鐖D，O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，M，N分別是OD，OE的中點(diǎn)，連接MN，若MN＝2，則BC＝_______．58【2021·北京海淀區(qū)校級模擬】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，P的坐標(biāo)分別為(1，0)，(2，5)，(4，2)，若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P是△ABC的外心，則符合條件的C點(diǎn)有________個(gè)．637【點(diǎn)撥】由題意可得，存在兩種情況，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖中的△A1BC，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖中的△A2BC.連接A1A2，交BC于點(diǎn)D.∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，∴A1A2垂直平分BC.∴A1A2是⊙O的直徑，BD＝CD＝1.【答案】C如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，求⊙O的半徑．8解：連接OA，OB.∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∴AO⊥BC，∴∠BAO＝60°.又∵OA＝OB，∴△ABO為等邊三角形，∴OA＝AB＝8，即⊙O的半徑為8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(2，2)，(－6，4)，(2，－4)．(1)求△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)；9解：∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為(－6，－4)，(2，－4)，∴線段BC的垂直平分線是直線x＝－2.∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(2，2)，(2，－4)，∴線段AC的垂直平分線是直線y＝－1，∴△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為(－2，－1).(2)求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長．【2020·嘉興】如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，將△ABC繞它的外心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C′，求它們重疊部分的面積．10解：過點(diǎn)O作AM⊥BC，垂足為M，如圖，易知重疊部分是正六邊形，連接點(diǎn)O和正六邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，則所得的三角形都是全等的等邊三角形.圓周角的概念與圓周角定理2.4.1

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓CB12345C6781035C11答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接940°或140°C下列四個(gè)圖中，∠x為圓周角的是(

)1C【2021·阜新】如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠O＝70°，則∠C的度數(shù)是(

)A．40°B．35°C．30°

D．25°2B【2021·常州】如圖，BC是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝60°，則∠OAB的度數(shù)是(

)A．20°

B．25°C．30°

D．35°3C4C【2021·丹陽二模】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，CD∥AB，若∠COD＝40°，則∠A的度數(shù)為________°.535【2021·鹽城建湖縣二?！咳鐖D，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都在⊙O上，若∠ABD＝63°，∠DCO＝24°，則∠BDC的度數(shù)是(

)A．15°

B．24°C．39°

D．63°6C在⊙O中，點(diǎn)A，B在⊙O上，∠AOB＝80°，則弦AB所對的圓周角為____________．740°或140°【點(diǎn)撥】如圖，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足為E.求證：∠BOC＋∠AOD＝180°.8證明：連接AC.∵圓周角∠BAC與圓心角∠BOC同是BC所對的角，∴∠BOC＝2∠BAC.∵圓周角∠ACD與圓心角∠AOD同是AD所對的角，∴∠AOD＝2∠ACD.在Rt△ACE中，∵∠EAC＋∠ACE＝90°，即∠BAC＋∠ACD＝90°.∴∠BOC＋∠AOD＝2∠BAC＋2∠ACD＝2(∠BAC＋∠ACD)＝2×90°＝180°.︵︵【2020·襄陽】在⊙O中，若弦BC垂直平分半徑OA，求弦BC所對的圓周角的度數(shù)．9︵如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，點(diǎn)E在對角線AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度數(shù)；解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°.∴∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°(同弧所對的圓周角相等).∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°.10(2)求證：∠1＝∠2.證明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE.∵∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD.∵∠BAE＝∠CDB＝∠CBD，∴∠1＝∠2.【2021·臨沂】如圖，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC與AD相交于點(diǎn)E.求證：(1)AD∥BC；11證明：連接BD.∵AB＝CD，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.︵︵︵︵︵(2)四邊形BCDE是菱形．證明：設(shè)BD交OC于點(diǎn)F.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BCF.∵BC＝CD，OC經(jīng)過圓心，∴BF＝DF，OC⊥BD.又∵∠DFE＝∠BFC，∴△DEF≌△BCF(AAS)，∴DE＝BC.∵AD∥BC，即DE∥BC，∴四邊形BCDE是平行四邊形.又∵OC⊥BD，即EC⊥BD，∴四邊形BCDE是菱形.︵︵圓周角定理的推論2.4.2

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓B321234513°67810①③60°或120°答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9D【2021·桂林】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，連接AC，BC，則∠C的度數(shù)是(

)A．60°

B．90°C．120°

D．150°1B【2021·徐州】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠ADC＝58°，則∠BAC＝________°.232如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是(

)A．②④⑤⑥

B．①③⑤⑥C．②③④⑥

D．①③④⑤3【點(diǎn)撥】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.因此①正確；∠AOC＝2∠ABC，∠AEC＝∠ABC＋∠BAD，若∠AOC＝∠AEC，則∠BAD＝∠ABC，則AC＝BD，而由已知無法推斷出AC＝BD，因此②錯(cuò)誤；∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠CBD＝∠OBC.即BC平分∠ABD.因此③正確；︵︵︵︵∵AD⊥BD，OC∥BD，∴OC⊥AD.∵點(diǎn)O為圓心，∴AF＝DF.因此④正確；∵AF＝DF，AO＝BO，∴BD＝2OF.因此⑤正確；若△CEF≌△BED成立，則CF＝BD，此時(shí)CF＝2OF，而由已知無法推斷出CF＝2OF，故⑥錯(cuò)誤，因此①③④⑤一定成立，故選D.【答案】D【2021·宿遷】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，點(diǎn)B，C在⊙O上，邊AB，AC分別交⊙O于D，E兩點(diǎn)，B是CD的中點(diǎn)，則∠ABE＝_______．413°︵【2021秋·泰州海陵區(qū)校級月考】如圖，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓內(nèi)，連接AP，BP，并延長分別交半圓于點(diǎn)C，D，連接AD，BC并延長交于點(diǎn)F，作直線PF，下列說法：①BD⊥AF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④FP平分∠AFB.其中一定正確的序號為________．5①③660°或120°【點(diǎn)撥】如圖，當(dāng)點(diǎn)P(P1)在弦AB所對的優(yōu)弧上時(shí)，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，OB.由垂徑定理可得AC＝2，∠AOC＝∠BOC.【2021春·鹽城亭湖區(qū)校級期末】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E.7(1)求證：E是BC的中點(diǎn)；證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即E是BC的中點(diǎn).(2)若∠BOD＝75°，求∠CED的度數(shù)．【2020秋·揚(yáng)州期末】如圖，AB是⊙O的直徑，C是BD的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F.8︵(1)求證：CF＝BF；證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.∴∠2＝90°－∠ABC＝∠A.又∵C是BD的中點(diǎn)，∴∠1＝∠A.∴∠1＝∠2.∴CF＝BF.︵(2)若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半徑和CE的長．︵︵︵如圖，已知ED是⊙O的直徑且ED＝4，A(不與點(diǎn)E，D重合)是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB經(jīng)過點(diǎn)E，且EA＝EB，F(xiàn)是⊙O上一點(diǎn)，∠FEB＝90°，BF的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)C.9(1)求證：△EFB≌△ADE；證明：如圖，連接FA.∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB.∵BE＝AE，∴BF＝AF.∵∠FEA＝∠FEB＝90°，∴AF是⊙O的直徑．∴AF＝DE.∴BF＝ED.∵DE是⊙O的直徑，∴∠EAD＝90°.(2)當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上移動(dòng)時(shí)，直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少．解：四邊形FCDE的最大面積為8.【中考·宜昌】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓形交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，延長AE至點(diǎn)F，使EF＝AE，連接FB，F(xiàn)C.10(1)求證：四邊形ABFC是菱形；證明：∵AB為半圓形的直徑，∴∠AEB＝90°.∵AB＝AC，∴CE＝BE.又∵EF＝AE，∴四邊形ABFC是平行四邊形.又∵AB＝AC，∴平行四邊形ABFC是菱形.(2)若AD＝7，BE＝2，求半圓形和菱形ABFC的面積．解：設(shè)CD＝x，則AB＝AC＝7＋x，∵CE＝BE＝2，∴BC＝4.連接BD，如圖，圓內(nèi)接四邊形2.4.3

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓BA12345A67810C6011答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9C80下列說法中正確的是(

)A．在圓內(nèi)部的多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形B．過四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓C．任意一個(gè)四邊形都有外接圓D．一個(gè)圓只有唯一一個(gè)內(nèi)接四邊形1B下列多邊形中一定有外接圓的是(

)A．三角形

B．四邊形

C．五邊形

D．六邊形2A【2021·鹽城】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，若∠ABC＝100°，則∠ADC＝________°.380【2021·海南】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE.若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)為(

)A．30°

B．35°C．45°

D．60°4A5C【2021·常州金壇區(qū)模擬】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠CBE是它的一個(gè)外角，若∠CBE＝60°，則∠ADC＝________°.660如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，延長AB與DC相交于點(diǎn)G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為(

)A．50°B．60°C．80°D．85°7C【2020秋·南京秦淮區(qū)校級月考】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，∠BCA＝∠BAD，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD的延長線于點(diǎn)

E．求證：EC＝AC.8證明：∵AE∥BC，∴∠E＋∠ECB＝180°，∠BCA＝∠CAE.∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD＋∠ECB＝180°.∴∠E＝∠BAD.∵∠BCA＝∠BAD，∴∠E＝∠CAE.∴EC＝AC.【2020·蘇州張家港模擬】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E.9(1)若∠BAC＝40°，求∠ADC的度數(shù)；(2)求證：∠BAC＝2∠DAC.證明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°.∴∠ACB＝90°－∠CBD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°－∠CBD.∴∠BAC＝180°－2∠ABC＝2∠CBD.∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC.如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是AD延長線上一點(diǎn)，且AC＝BC.求證：DC平分∠BDE.10證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∵∠3＋∠ADC＝180°，∴∠3＝∠ABC.∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ABC.∴∠2＝∠3.即DC平分∠BDE.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E.11(1)求證：MD＝ME；證明：在Rt△ABC中，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴MA＝MB.∴∠A＝∠ABM.連接DE，則四邊形ABED是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠BED＝180°，∠ABE＋∠ADE＝180°.∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∠BED＋∠MED＝180°，∴∠A＝∠MED，∠ABE＝∠MDE.∵∠A＝∠ABM，即∠A＝∠ABE，∴∠MDE＝∠MED.∴MD＝ME.(2)連接OD，OE，當(dāng)∠C＝30°時(shí)，求證：四邊形ODME是菱形．證明：∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴∠A＝60°，∴∠ABM＝60°.∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形.∴∠BOE＝60°.∴∠BOE＝∠A.∴OE∥AC.同理可得OD∥BM.∴四邊形ODME是平行四邊形.∵OD＝OE，∴四邊形ODME是菱形.直線與圓的位置關(guān)系2.5.1

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓CA12345C67810AC答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接93cm或5cmD若直線m與⊙O的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)不小于1，則直線m與⊙O的位置關(guān)系為(

)A．相交

B．相切C．相交或相切

D．相離1C【2021·江陰模擬】已知⊙O的圓心O到直線l的距離為5，⊙O的半徑為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為(

)A．相離

B．相切C．相交

D．相交或相切2A【2021·嘉興】已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為(

)A．相離

B．相交C．相切

D．相交或相切3D【中考·廣州】⊙O的半徑為1，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，過點(diǎn)P可作⊙O切線的條數(shù)為(

)A．0條

B．1條C．2條

D．無數(shù)條4C【2020秋·揚(yáng)州高郵市期末】若直線l與半徑為5的⊙O相交，則圓心O到直線l的距離d滿足(

)A．d＜5

B．d＞5C．d＝5

D．d≤55A已知⊙O的半徑為r＝3，設(shè)圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m，給出下列結(jié)論：①若d＞5，則m＝0；②若d＝5，則m＝1；③若1＜d＜5，則m＝3；④若d＝1，則m＝2；⑤若d＜1，則m＝4.其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2

C．3

D．56C【2020·泰州】如圖，直線a⊥b，垂足為H，點(diǎn)P在直線b上，PH＝4cm，O為直線b上一動(dòng)點(diǎn)，若以1cm為半徑的⊙O與直線a相切，則OP的長為____________．73cm或5cm【點(diǎn)撥】需要分兩種情況討論，點(diǎn)O在直線a的左側(cè)和點(diǎn)O在直線a的右側(cè).如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.(1)先作∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)P，再以點(diǎn)P為圓心，PA長為半徑作⊙P；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)8解：如圖所示.(2)請你判斷直線BC與(1)中⊙P的位置關(guān)系，并說明理由．解：直線BC與⊙P相切.如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BC，垂足為D.∵CP是∠ACB的平分線，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA.∴點(diǎn)P到BC的距離等于⊙P的半徑.∴直線BC與⊙P相切.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD.9︵(1)求證：∠A＝∠DOB；︵︵︵(2)直線DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．解：直線DE與⊙O相切.∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，∴直線DE與⊙O相切(經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).已知∠MAN＝30°，點(diǎn)O在AN上，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于點(diǎn)D，E，設(shè)AD＝x.(1)如圖①，當(dāng)x取何值時(shí)，直線AM與⊙O相切？解：如圖①，過點(diǎn)O作OF⊥AM，垂足為F，當(dāng)OF＝r＝2時(shí)，直線AM與⊙O相切，此時(shí)OA＝4，故AD＝2.即當(dāng)x＝2時(shí)，直線AM與⊙O相切.10(2)如圖②，當(dāng)x取何值時(shí)，直線AM交⊙O于點(diǎn)B、C，且∠BOC＝90°？圓的切線的判定與性質(zhì)2.5.2

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓CA12345C67810B答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9A下列四個(gè)命題：①與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；③圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；④過直徑端點(diǎn)，且垂直于此直徑的直線是圓的切線．其中是真命題的是(

)A．①②

B．②③

C．③④

D．①④1C如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，要使DE是⊙O的切線，還需補(bǔ)充一個(gè)條件，則補(bǔ)充的條件不正確的是(

)A．DE＝DO

B．AB＝ACC．CD＝DB

D．AC∥OD2A【2021·鎮(zhèn)江】如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于(

)A．27°

B．29°C．35°

D．37°3A【2021·蘇州二?！咳鐖D，菱形ABCD的兩邊與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，點(diǎn)D在⊙O上，則∠B的度數(shù)是(

)A．45°

B．50°C．60°

D．65°4C5如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以點(diǎn)C為圓心的圓與AB相切，則⊙C的半徑為(

)A．2.3B．2.4C．2.5D．2.66【點(diǎn)撥】【答案】B【2021·郴州】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，D是BC的中點(diǎn)，DE∥BC交AC的延長線于點(diǎn)E.7︵(1)求證：直線DE與⊙O相切；證明：連接OD，如圖.∵D是BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC.∵DE∥BC，∴DE⊥OD，∴直線DE與⊙O相切(經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).︵(2)若⊙O的直徑是10，∠A＝45°，求CE的長．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分線交BC于D，以D為圓心，DB為半徑作⊙D.求證：直線AC與⊙D相切．8證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E.又∵AD平分∠BAC，BD⊥AB，∴DE＝DB，即點(diǎn)D到AC的距離等于⊙D的半徑，∴直線AC與⊙D相切.【中考·綏化】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交AC的延長線于點(diǎn)E.求證：9(1)DE⊥AE；證明：連接OD，如圖.∵OA＝OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD.∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE.(2)AE＋CE＝AB.︵︵【2021·錦州】如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，延長EC，AB交于點(diǎn)F，∠ECD＝∠BCF.10(1)求證：CE是⊙O的切線；證明：連接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°(圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)).∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC，即∠CDE＝∠OCB.∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE＋∠ECD＝90°.∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB＋∠BCF＝90°，∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF.∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線.(2)若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．三角形的內(nèi)切圓2.5.3

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓C(2，3)12345C67810AC答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接91.5下列說法中錯(cuò)誤的是(

)A．三角形的內(nèi)切圓與三角形的三邊都相切B．一個(gè)三角形一定有唯一一個(gè)內(nèi)切圓C．一個(gè)圓一定有唯一一個(gè)外切三角形D．等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓是同心圓1C【2020·泰州】如圖所示的網(wǎng)格由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，點(diǎn)A，B，C在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，則△ABC的內(nèi)心的坐標(biāo)為________．2(2，3)【2020秋·無錫濱湖區(qū)期末】設(shè)兩直角邊分別為3，4的直角三角形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑長分別為R和r，則R－r＝________．31.5《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步．問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少？”(

)A．3步

B．5步

C．6步

D．8步4C5A6【點(diǎn)撥】如圖．∵△ABC是等邊三角形，∴△ABC的內(nèi)切圓和外接圓是同心圓，圓心為O，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)D.設(shè)AC與△ABC的內(nèi)切圓切于點(diǎn)E，連接OE，易知AD⊥BC，則OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R＋r，故A正確；【答案】C如圖，以點(diǎn)O為圓心的圓與△ABC的三邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求證：O是△ABC的內(nèi)心．7證明：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，OP⊥BC，OQ⊥AC，垂足分別為D，P，Q，連接OE，OF，OG，OH，OM，ON.∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，∴△OEF≌△OGH≌△OMN(SSS).∴OD＝OP＝OQ.∴O是△ABC的內(nèi)心.8(1)用海倫公式求△ABC的面積；(2)求△ABC的內(nèi)切圓的半徑r.【中考·鄂州節(jié)選】如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AB⊥PO于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)B，連接BC，PB.求證：9(1)PB是⊙O的切線；(2)點(diǎn)E是△PAB的內(nèi)心．證明：連接AE，如圖.∵PA是⊙O的切線，∴∠PAE＋∠OAE＝90°.∵AD⊥ED，∴∠DAE＋∠AED＝90°.∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即AE平分∠PAD.易知PD平分∠APB交∠PAD的平分線于點(diǎn)E.∴E是△PAB的內(nèi)心.【2021·南京鼓樓區(qū)一?！咳鐖D①，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，DO，EO，F(xiàn)O的延長線分別交⊙O于點(diǎn)G，H，I，過點(diǎn)G，H，I分別作AB，BC，AC的平行線，從△ABC上截得六邊形JKMNPQ.通常，在六邊形中，我們把相間兩個(gè)內(nèi)角的內(nèi)角稱為六邊形的對角，把相鄰兩角的夾邊和它們的對角的夾邊稱為六邊形的對邊．10(1)求證：六邊形JKMNPQ的對角相等；證明：∵JQ∥AB，∴∠A＋∠AJQ＝180°，∵NP∥AC，∴∠A＋∠ANP＝180°，∴∠AJQ＝∠ANP，同理可得∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN，即六邊形JKMNPQ的對角相等.(2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)探索，如圖②，連接OJ，OM，ON，OQ，他發(fā)現(xiàn)△DOM≌△GOQ，△DON≌△GOJ，于是猜想六邊形JKMNPQ的對邊也相等．請你證明他的發(fā)現(xiàn)與猜想．切線長定理2.5.4

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓DD12345A67831答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接9D如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，若PA＝5，則PB的長是(

)A．2B．3C．4D．51D【中考·益陽】如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長線交⊙O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．PA＝PB

B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD

D．AB平分PD2D3D4A【2021·哈爾濱模擬】如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)C在AB上，過點(diǎn)C的切線分別交PA，PB于點(diǎn)E，F(xiàn).若△PEF的周長為6，則線段PA的長為________．53︵【2020·青海】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝________．61【點(diǎn)撥】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根據(jù)勾股定理，得AB＝5，如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，連接OD，OE，OF.∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，根據(jù)切線長定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形.設(shè)CE＝CF＝r，則AF＝AD＝AC－FC＝3－r，BE＝BD＝BC－CE＝4－r，∵AD＋BD＝AB，∴3－r＋4－r＝5，解得r＝1.∴△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝1.【2021·鹽城濱?？h一模】如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)E在AB上，過點(diǎn)E的切線分別交PA，PB于點(diǎn)C，D.△PCD的周長為12，∠APB＝60°.求：7︵(1)求PA的長；解：∵CA、CE都是⊙O的切線，∴CA＝CE(過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等).同理DE＝DB，PA＝PB，∴△PCD的周長＝PD＋CD＋PC＝PD＋CE＋DE＋PC＝PD＋CA＋DB＋PC＝PA＋PB＝2PA＝12，即PA的長為6.(2)求∠COD的度數(shù)．(1)如圖①，四邊形ABCD的各邊與⊙O分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，說明AB＋CD與BC＋AD的大小關(guān)系；8解：由切線長定理，得AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，∴AB＋CD＝AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH＝AH＋DH＋BF＋CF＝BC＋AD，即AB＋CD＝BC＋AD.(2)如圖②，四邊形ABCD的三邊與⊙O分別相切于點(diǎn)F，G，H，說明AB＋CD與BC＋AD的大小關(guān)系．解：過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AD于點(diǎn)M.由(1)可知BM＋CD＝BC＋MD.∵AB＜AM＋BM，∴AB＋BM＋CD＜AM＋BM＋BC＋MD，∴AB＋CD＜BC＋AD.已知：AB是⊙O的直徑，AB＝2，弦DE＝1，直線AD與BE相交于點(diǎn)C，弦DE在⊙O上運(yùn)動(dòng)且保持長度不變，過點(diǎn)D的切線交BC于點(diǎn)F.(1)如圖①，若DE∥AB，求證：CF＝EF；9證明：如圖，連接OD，OE.∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.∴△ODE是等邊三角形.∴∠ODE＝∠OED＝60°.∵DE∥AB，∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠BOE＝∠OED＝60°.∴△AOD和△BOE都是等邊三角形．∴∠OAD＝∠OBE＝60°.∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.∴△CDE是等邊三角形.∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD.∴∠ODF＝90°.∴∠EDF＝90°－∠CED＝90°－60°＝30°.∴∠DFE＝180°－∠EDF－∠CED＝180°－30°－60°＝90°.∴DF⊥CE.∴CF＝EF.(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，試判斷CF與BF是否相等，并說明理由．解：CF與BF相等.當(dāng)點(diǎn)E與運(yùn)動(dòng)至與點(diǎn)B重合時(shí)，BC與⊙O只有一個(gè)公共點(diǎn)，即BC是⊙O的切線.∵⊙O的切線DF交BC于點(diǎn)F，∴BF＝DF(過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等).∴∠BDF＝∠DBF.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∴∠BDF＋∠FDC＝∠C＋∠DBF＝90°.∴∠FDC＝∠C.∴DF＝CF.∴BF＝CF.正多邊形與圓2.6

蘇科版九年級上第2章對稱圖形——圓24123457267810AD11答案呈現(xiàn)溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接930°12

【2020秋·江陰期末】一個(gè)半徑為4cm的圓內(nèi)接正六邊形的周長等于________cm.124【2021·綏化】邊長為4cm的正六邊形，它的外接圓與內(nèi)切圓半徑的比值是________．2【2021·徐州模擬】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接BD，則∠CBD的度數(shù)是________．330°【2021·南京玄武區(qū)二?！咳鐖D，直線PQ經(jīng)過正五邊形ABCDE的中心O，與AB，CD邊分別交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)C1是點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)，連接CC1，AC1，則∠CC1A的度數(shù)為________°.472【2020秋·蘇州期末】劉徽是我國魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計(jì)算圓的面積．設(shè)半徑為1的圓的面積與其內(nèi)接正n邊形的面積差為Δn，如圖①，圖②，若用圓的內(nèi)接正八邊形和內(nèi)