2021北京昌平初三(上)期末數(shù)學(xué)(教師版) (一)_第1頁
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文檔簡介

2021北京昌平初三(上)期末

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁,共100分,考試時(shí)長120分鐘

一、選擇題(共8道小題,每小題3分,共24分)

1.如圖,以點(diǎn)P為圓心,以下列選項(xiàng)中的線段的長為半徑作圓,所得的圓與直線1相切的是()

A.PAB.PBC.PCD.PD

2.已知3x-4y=0(Ay#0),那么下列比例式中成立的是()

xyxy

A-=-B.-=—

3443

x3x4

C.—=-D

>43y

3.二次函數(shù)y=(x—3)2+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-3,1)B.(3,1)C.(-3,-1)D.(3,-1)

4.如圖,AB是。O的直徑,CD是。O的弦,如果/ACD=36。,那么/BAD等于()

A

A.36°B.44°C,54°D.56°

5.已知二次函數(shù)y=(x—2y+l,若點(diǎn)A(0,X)和B(3,%)在此函數(shù)圖象上,則月與月的大小關(guān)系是()

A.必>必B.y<%C.y=y2D.無法確定

6.小英家在學(xué)校北偏東40度的位置上,那么學(xué)校在小英家的方向是()

A.南偏東40度B.南偏西40度C.北偏東50度D.北偏西50度

7.如圖,AABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,貝Ijtan/ACB的值為()

B

8.如圖,點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),以點(diǎn)M為圓心,MA為半徑作。M,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)

為B,點(diǎn)C是。M上的一個(gè)動點(diǎn),連接BC,AC,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),連接OD,當(dāng)線段OD取得最大值時(shí),點(diǎn)D

的坐標(biāo)為()

A.(0,1+夜)B.(I,1+72)C.(2,2)D.(2,4)

二、填空題(共8道小題,每小題3分,共24分)

9.請寫出一個(gè)開口向上且過點(diǎn)(0,-2)的拋物線表達(dá)式為一.

10.點(diǎn)A(2,y),8(3,%)是反比例函數(shù)y=-9圖象上的兩點(diǎn),那么必,力的大小關(guān)系是X力?(填

x

“>”,或“=”)

11.如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,。。的半徑為6,則A8的長為.

12.如圖,平行四邊形ABCD中,延長AD至點(diǎn)E,使DE=gAD,連接BE,交CD于點(diǎn)F,若ADEF的面積為

2,則4CBF的面積為

AD

13.如圖,AB是。。的直徑,弦CDJ_AB,垂足為點(diǎn)E,CD=16,BE=4,則CE=,。。的半徑為

14.如圖,。0是AABC內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D,EF,已知NA=40。,連接OB,OC,DE,EF,則/BOC=

0,NDEF=

16.拋物線y=—/+2x+相交x軸于點(diǎn)A(a,0)和B(b,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),拋物線的頂點(diǎn)為D,下列

四個(gè)結(jié)論:①拋物線過點(diǎn)(2,m);②當(dāng)m=0時(shí),△ABD是等腰直角三角形;③a+b=4;④拋物線上有兩點(diǎn)P

(X1,%)和Q(乙,內(nèi)),若/<巧,且冉+々>2,則%?其中結(jié)論正確的序號是

三、解答題(共4道小題,每小題5分,共20分)

17.計(jì)算:73tan60°+cos2450-sin300.

18.如圖,AC平分/BAD,ZB=ZACD.

(1)求證:△ABC^AACD;

(2)若AB=2,AC=3,求AD的長.

19.已知二次函數(shù)y=f-2x—3.

(1)寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),再描點(diǎn)畫圖;

(2)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出><0時(shí)x的取值范圍.

4'木-

3

2-

J_i_i_i_

-4-3-2~101234x

-2

-3

20.下面是小東設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知:OO及<30外一點(diǎn)P.

求作:直線PA和直線PB,使PA切。O于點(diǎn)A,PB切。O于點(diǎn)B.

作法:如圖,

①作射線PO,與0O交于點(diǎn)M和點(diǎn)N;

②以點(diǎn)P為圓心,以PO為半徑作OP;

③以點(diǎn)。為圓心,以。O的直徑MN為半徑作圓,與。P交于點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接OE和OF,分別與。。交于點(diǎn)A和

點(diǎn)B;

④作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明:連接PE和PF,

VOE=MN,OA=OM=—MN,

2

二點(diǎn)A是0E中點(diǎn).

VPO=PE,

...PALOA于點(diǎn)A()(填推理的依據(jù)).

同理PB_LOB于點(diǎn)B.

VOA,OB為。。的半徑,

APA,PB是。O的切線.()(填推理的依據(jù)).

四、解答題(共2道小題,21題5分,22題6分,共11分)

21.某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會實(shí)踐活動時(shí),想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測昌平中心公園的仿

古建筑“弘文閣”AB的高度.他們先在點(diǎn)C處用高1.5米的測角儀CE測得“弘文閣”頂A的仰角為30。,然后向“弘文

閣'’的方向前進(jìn)18m到達(dá)D處,在點(diǎn)D處測得“弘文閣”頂A的仰角為50。.求“弘文閣”AB的高(結(jié)果精確到

0.1m,參考數(shù)據(jù):,tan500~1.19,tan400~0.84,Ga1.73).

22.如圖,AB為。O的直徑,點(diǎn)C,D是OO上的點(diǎn),AD平分NBAC,過點(diǎn)D作AC的垂線,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證:DE是。O的切線;

3

(2)延長AB交ED的延長線于點(diǎn)F,若。O半徑的長為3,tanNAFE=-,求CE的長.

DE

五、解答題(共3道小題,每小題7分,共21分)

23.在平面直角坐標(biāo)系x0y中,拋物線丁=〃/+笈+3與>軸交于點(diǎn)A,將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度,得到點(diǎn)

B,點(diǎn)B在拋物線上.

(1)①直接寫出拋物線的對稱軸是;

②用含a的代數(shù)式表示b;

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若拋物線與x軸交于P、Q兩點(diǎn),該拋物線在P、Q之間的部分與線段

PQ所圍成的區(qū)域(不包括邊界)恰有七個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.

24.在AABC中,AB=AC,ZBAC=90°,點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)(BD>CD),作射線AD,點(diǎn)B關(guān)于射線AD

的對稱點(diǎn)為E,作直線CE,交射線AD于點(diǎn)F.連接AE,BF.

(1)依題意補(bǔ)全圖形,直接寫出ZAFE的度數(shù);

(2)用等式表示線段AF,CF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,給出如下定義:若點(diǎn)P在圖形M上,點(diǎn)。在圖形N上,如果尸。兩點(diǎn)間的距離有

最小值,那么稱這個(gè)最小值為圖形的“近距離”,記為d(M,N).特別地,當(dāng)圖形M與圖形N有公共點(diǎn)時(shí),

d(M,N)=0.

已知A(-4,0),B(0,4),C(4,0),D(0,-4),

(1)d(點(diǎn)A,點(diǎn)C)=,d(點(diǎn)A,線段BD)=;

(2)。0半徑為r,

①當(dāng)r=l時(shí),求。。與正方形ABCD的“近距離”d正方形ABCD);

②若d(00,正方形ABCD)=1,則「=.

(3)M為x軸上一點(diǎn),0M的半徑為1,0M與正方形ABCD的“近距離”d(OM,正方形ABCD)<1,請直接

寫出圓心M的橫坐標(biāo)m的取值范圍.

昌平區(qū)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期初三年級期末水平測試

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共5頁,共100分,考試時(shí)長120分鐘

一、選擇題(共8道小題,每小題3分,共24分)

1.如圖,以點(diǎn)P為圓心,以下列選項(xiàng)中的線段的長為半徑作圓,所得的圓與直線1相切的是()

A.PAB.PBC.PCD.PD

【答案】B

【解析】

【分析】圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,據(jù)此解答.

【詳解】???以點(diǎn)P為圓心,所得的圓與直線1相切,

,直線1垂直于過點(diǎn)P的半徑,

APB的長是圓的半徑,

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查切線的性質(zhì)定理:知切線得垂直,熟記定理是解題的關(guān)鍵.

2.已知3%一分=0(◎#0),那么下列比例式中成立的是()

xyxy

A.-=-B.-=—

3443

x3x4

C.-=-D

>43y

【答案】B

【解析】

【分析】由3%一4〉=0(砧#0),可得3x=4y,再利用比例的基本性質(zhì)逐一分析各選項(xiàng),即可得到答案.

詳解】解:v3x-4y=0(^*0),

3%=4"0,

由2=?可得:4x=3y#0,故A不符合題意,

34

由2=2可得:3x=4y¥0,故5符合題意;

43

x3

由7=W可得:4x=3y(邛#0),故C不符合題意,

x4

由1=]可得:個(gè)=12(肛。0),故。不符合題意,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì),掌握比例的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.

3.二次函數(shù)y=(x—3y+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(-3,1)B.(3,1)C.(-3,-1)D.(3,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式形式即可寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】二次函數(shù)y=(x—3『+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,1)

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),關(guān)鍵是知道二次函數(shù)的頂點(diǎn)式或能把一般式化成頂點(diǎn)式.

4.如圖,AB是。O的直徑,CD是。O的弦,如果/ACD=36。,那么/BAD等于()

%D_?

A.36°B.44°C,54°D,56°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意由AB是00的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,可求得NADB=90。,又由NACD=36。,可

求得NABD的度數(shù),再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出答案.

【詳解】解::AB是OO的直徑,

ZADB=90°,

VZACD=36°,

ZABD=36°

ZBAD=90°-ZABD=54°,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理.注意掌握直徑所對的圓周角是直角以及在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角

相等,并結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行應(yīng)用.

5.已知二次函數(shù)y=(x—2>+l,若點(diǎn)A(0,X)和B(3,%)在此函數(shù)圖象上,則必與力的大小關(guān)系是()

A.x>必B.y<必C.y=y2D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】將點(diǎn)A(0,%)和點(diǎn)B(3,%)代入拋物線求出其、為即可判斷大小.

【詳解】根據(jù)題意,將點(diǎn)A(0,必)和點(diǎn)B(3,%)代入拋物線,得:

y=(0-2>+1=5,%=(3-2>+1=2,

所以M

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的值,明確二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式是解題關(guān)鍵.

6.小英家在學(xué)校的北偏東40度的位置上,那么學(xué)校在小英家的方向是()

A.南偏東40度B.南偏西40度C.北偏東50度D.北偏西50度

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出圖象,由方位角的表示方法得出結(jié)果.

【詳解】解:如圖,

小英家在學(xué)校的北偏東40度的位置上,則學(xué)校在小英家的南偏西40度的位置上.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查方位角,解題的關(guān)鍵是掌握方位角的表示方法.

7.如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,貝Utan/ACB的值為()

3

A.-B.-

35

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意連接BD可知NADB=90°,進(jìn)而利用勾股定理得出BD和CD,最后即可得出tan/ACB的值.

【詳解】解:如圖,連接BD,

根據(jù)圖象可知ZADB=45°+45°=90。,

則有BD=Vl2+12=叵,CD=A/22+22=2V2,

所以tanNACB=g2=9=L.

CD2V22

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義,注意掌握在直角三角形中,一銳角的正切等于它的對

邊與鄰邊的比值.

8.如圖,點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0),以點(diǎn)M為圓心,MA為半徑作。M,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)

為B,點(diǎn)C是。M上的一個(gè)動點(diǎn),連接BC,AC,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),連接OD,當(dāng)線段OD取得最大值時(shí),點(diǎn)D

的坐標(biāo)為()

C.(2,2)D.(2,4)

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到當(dāng)BC為直徑(過圓心M)時(shí),0D最大;然后延長BC與圓交于Ci點(diǎn),

連接AG;再由圓周角定理可得/BAG=90。,然后由垂徑定理得到AB=4、勾股定理可得BM=2應(yīng)即BC尸

4亞、ACi=4,最后求出線段AG的中點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】解:如圖:???點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)

;.OD//BC且OD」BC

2

.?.BC最大時(shí),即當(dāng)BC為直徑(過圓心M)時(shí),0D最

如圖:延長BC與圓交于Ci點(diǎn),連接AG,

:BCi是直徑

NBACi=90°

V0B=0M=0A=2

??.AB=2OA=4,點(diǎn)Ci的橫坐標(biāo)為2,BM=&+22=20,即BC=4&

/?ACI=^4>/2j—4~=4

.??點(diǎn)Ci的坐標(biāo)為(2,4)

的中點(diǎn)D”A(2,0)

的坐標(biāo)為(2,2).

【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題,主要考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形的中位線、勾股定理、線段的中點(diǎn)等知

識,將求線段OD最大時(shí)D的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成求BC最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題(共8道小題,每小題3分,共24分)

9.請寫出一個(gè)開口向上且過點(diǎn)(0,-2)的拋物線表達(dá)式為一.

【答案】y=x2-2

【解析】

【分析】令拋物線的對稱軸為V軸,二次項(xiàng)系數(shù)為1,則拋物線的解析式可設(shè)為y=/+m,然后把已知點(diǎn)的坐標(biāo)

代入求出加即可.

【詳解】解:設(shè)拋物線的解析式為y=/+根,

把(0,—2)代入得能=-2,

所以滿足條件的拋物線解析式為y=V-2.

故答案為:y=x2-2(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,解題的關(guān)鍵是在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí),要根

據(jù)題目給定的條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式,從而代入數(shù)值求解.

10?點(diǎn)A(2,%),8(3,%)是反比例函數(shù)y=-9圖象上的兩點(diǎn),那么必,力的大小關(guān)系是X(填

x

”〉,,,或

【答案】<

【解析】

【分析】由題意根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可計(jì)算出y”yz,

從而即可判斷它們的大小.

【詳解】解:42,X),8(3,%)是反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn),

X

.66

..乂=-5=-3,yz---=-2,

y<%?

故答案為:<.

k

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,注意掌握反比例函數(shù)>=一(k為常數(shù),k翔)的圖象是雙曲

X

線,圖象上的點(diǎn)(X,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k;雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對稱的,兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于

原點(diǎn)對稱.

11.如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于(DO,G)O的半徑為6,則的長為.

【答案】27t

【解析】

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到NAOB=60。,再利用弧長公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖連接OA、OB,

:正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,

.".ZAOB=60°,

?'?AB的長為與W=&

故答案為:2?.

【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì),弧長的計(jì)算公式,熟記圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖,平行四邊形ABCD中,延長AD至點(diǎn)E,使DE=^AD,連接BE,交CD于點(diǎn)F,若ADEF的面積為

2

2,則4CBF的面積為.

ADE

BC

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到△CBFS/\DEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】:四邊形ABCD是平行四邊形,

/?BC//AE,BC=AD

/.△CBF^ADEF

DE=—AD

2

ADE--BC

2

.?.△CBF與△DEF的相似比為2:1

..?△DEF面積為2

.?.△CBF為22x2=8

故答案為:8.

【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的面積比等于

相似比的平方.

13.如圖,AB是。。的直徑,弦CDJ_AB,垂足為點(diǎn)E,CD=16,BE=4,則CE=。。的半徑為.

【答案】①.8(2).10

【解析】

【分析】(1)直接由垂徑定理可得結(jié)果

(2)連結(jié)OC,設(shè)。O半徑為r,則OE=r-2,在RtAOCE中,利用勾股定理列出關(guān)于r等式,求出r即可.

【詳解】(1):AB是。。的直徑,弦CD_LAB,垂足為點(diǎn)E,CD=16

由垂徑定理可得,CE=—=—=8

22

故答案為:8

(2)連結(jié)OC,設(shè)。O半徑為r,則OC=r,OE=r-4,

弦CD_LAB

/.AOCE是RIAOCE

.,.OE2+CE2=OC2,

A(r-4)2+82=r2,解得r=10,

即。O半徑為10.

故答案為:10.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的綜合應(yīng)用.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的

兩條弧.

14.如圖,。。是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D,E,F,已知/A=40。,連接OB,OC,DE,EF,則/BOC=

°,ZDEF=°,

【答案】①.110?.70

【解析】

【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/ABC+NACB的度數(shù),進(jìn)而得到NOBC='/ABC,ZOCB=-ZACB,

22

求出/OBC+/OCB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出/BOC;②連接連接OD,OF,根據(jù)切線的性質(zhì)得到

/ODA=/OFA=90°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出/DOF,根據(jù)圓周角定理即可得到NDEF.

【詳解】???NA=4()°,

.,.ZABC+ZACB=140°.

:0是4ABC的內(nèi)切圓,

.".ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

/.ZOBC+ZOCB=70°,

.?./BOC=180°-70°=110°,

如圖,連接OD,OF,

;AB、AC分別切(DO于D、F點(diǎn),

.?./ODA=/OFA=90。,

.".ZA+ZDOF=180°.

...NDOF=14()°,

/./DEF=-ZDOF=70°.

2

故答案為:110;70.

【點(diǎn)睛】本題考察三角形內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓周角定理和切線的性質(zhì),掌握三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交

點(diǎn)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

15.二次函數(shù)y=ax?+bx+c圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:

X012m

21

y04664

6

則這個(gè)二次函數(shù)的對稱軸為直線x=,m=(m>0).

【答案】①②.4

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意把點(diǎn)(0,6)代入求出c,再把點(diǎn)(-1,4)和(1,6)代入求出a、b,進(jìn)而分析計(jì)算即可求出答

案.

【詳解】解:由表得,拋物線y=ax?+bx+c(a翔)過點(diǎn)(0,6),

;.c=6,

;拋物線y=ax?+bx+6過點(diǎn)(-1,4)和(1,6),

a-b+6=4fa=-l

???〈解得:1,,,

。+8+6=616=1

...二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=-x?+x+6;

,拋物線y=ax?+bx+c(a/0)過點(diǎn)(0,6)和(1,6),

二拋物線的對稱軸方程為直線x=!,

當(dāng)x=m時(shí)、y=-6,代入y=-x2+x+6,貝I]有-6=-m2+m+6,

解得:m=-3或m=4,

Vm>0,

m=4,

故答案為:—,4.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握并用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的應(yīng)用,能求出二次函數(shù)的解

析式是解答此題的關(guān)鍵.

16.拋物線了=一/+2%+相交*軸于點(diǎn)八(a,0)和B(b,0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),拋物線的頂點(diǎn)為D,下列

四個(gè)結(jié)論:①拋物線過點(diǎn)(2,m);②當(dāng)m=0時(shí),△ABD是等腰直角三角形;③a+b=4;④拋物線上有兩點(diǎn)P

(x},X)和QC/,為),若*]<々,且為+>2>2,則其中結(jié)論正確的序號是

【答案】①②④

【解析】

【分析】①根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱性即可判斷;

②當(dāng)m=0時(shí),可得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可判斷;

③根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸即可得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷;

④根據(jù)二次函數(shù)圖象即可進(jìn)行判斷.

【詳解】解:①?.?拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,m),

2

?,對稱軸為x=——=1

-2

,(0,m)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為(2,m),在拋物線上

故①正確;

②當(dāng)m=0時(shí),拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)、(2,0),

對稱軸x=l,

.?.△ABD是等腰直角三角形,

故②正確;

③:對稱軸x=l,

.?3=1

2

Aa+b=2,

故③錯(cuò)誤;

④觀察二次函數(shù)圖象可知:

當(dāng)X1<X2,且X|+X2>2,

則X]離對稱軸比X2離對稱軸更近,故yi>y2.

故④正確.

故答案為:①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與X軸的交點(diǎn)、等腰直角

三角形,解決本題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識.

三、解答題(共4道小題,每小題5分,共20分)

17.計(jì)算:43tan60°+cos2450-sin300.

【答案】3

【解析】

【分析】先求出各特殊角的三角函數(shù)值,在進(jìn)行混合運(yùn)算即可.

【詳解】V3tan60°+cos2450-sin300.

=3

【點(diǎn)睛】本題考查不同特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算,掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖,AC平分/BAD,ZB=ZACD.

(1)求證:△ABC^AACD;

(2)若AB=2,AC=3,求AD的長.

9

【答案】(1)證明見解析;(2)

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知NBAC=NCAD,再根據(jù)題意NB=NACD,即可證明△ABCs^ACD.

An

(2)利用三角形相似的性質(zhì),可知——=—,再根據(jù)題意AB和AC的長,即可求出AD.

ABAC

【詳解】(1):AC分/BAD,

;.NBAC=/CAD,

ZB=ZACD,

...△ABC^AACD.

(2)VAABC^AACD,

.ACAD

..=,

ABAC

VAB=2,AC=3,

.9

.?.AD=—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì).掌握三角形相似的判定條件是解答本題的關(guān)鍵.

19.己知二次函數(shù)y=-2X-3.

(1)寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),再描點(diǎn)畫圖;

(2)結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出》<()時(shí)x的取值范圍.

4

3

2

1234*x

【答案】(1)頂點(diǎn)為(1,-4);對稱軸為x=l;作圖見解析;(2)-1<尤<3

【解析】

【分析】(1)由題意先將二次函數(shù)一般式通過配方法化為頂點(diǎn)式進(jìn)而即可得出二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點(diǎn)坐

標(biāo),再描點(diǎn)畫圖即可;

(2)由題意直接觀察圖象,即找出位于x軸下方時(shí)對應(yīng)的自變量的取值范圍即可.

【詳解】解:(1)???y=x2-2x-3=(x—l)2—4,

頂點(diǎn)為(1,-4),

對稱軸為x=l,

列表得:

X-10123

y0-3-4-30

描點(diǎn)、連線得到y(tǒng)=f—2》一3的圖象,如圖所示:

(2)由圖象可知,當(dāng)yVO時(shí),就是圖象位于x軸下方的所對應(yīng)的自變量的取值范圍,

即:當(dāng)-lVx<3時(shí),y<0.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),列表、描點(diǎn)、連線是畫函數(shù)圖象的基本方法,同時(shí)也可利用對稱性,

二次函數(shù)的圖象.

20.下面是小東設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知:OO及。O外一點(diǎn)P.

求作:直線PA和直線PB,使PA切。O于點(diǎn)A,PB切。O于點(diǎn)B.

作法:如圖,

①作射線PO,與。o交于點(diǎn)M和點(diǎn)N;

②以點(diǎn)P為圓心,以PO為半徑作。P;

③以點(diǎn)。為圓心,以。0的直徑MN為半徑作圓,與。P交于點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接OE和OF,分別與。。交于點(diǎn)A和

點(diǎn)B;

④作直線PA和直線PB.

所以直線PA和PB就是所求作的直線.

(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明:連接PE和PF,

VOE=MN,OA=OM=—MN,

2

.?.點(diǎn)A是0E的中點(diǎn).

VPO=PE,

.?.PALOA于點(diǎn)A()(填推理的依據(jù)).

同理PB_LOB于點(diǎn)B.

VOA,OB為。。的半徑,

.?.PA,PB是。O的切線.()(填推理的依據(jù)).

【答案】(1)答案見解析;(2)三線合一;經(jīng)過半徑外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直線的定義,線段的定義,圓的定義作圖即可;

⑵連接PE和PF,根據(jù)OE=MN,OA=OM=;MN,得到點(diǎn)A是0E的中點(diǎn),利用PO=PE,證得PAJ_OA于點(diǎn)

A,同理PBLOB于點(diǎn)B,即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)補(bǔ)全圖形如圖:

VOE=MN,OA=OM=—MN,

2

.??點(diǎn)A是OE的中點(diǎn),

VPO=PE,

,PA1_OA于點(diǎn)A(三線合一).

同理PBLOB于點(diǎn)B,

VOA,OB為。O的半徑,

.?.PA,PB是。O的切線.(經(jīng)過半徑外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線).

故答案為:三線合一;經(jīng)過半徑外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

【點(diǎn)睛】此題考查尺規(guī)作圖-圓,根據(jù)語句描述畫射線,等腰三角形的三線合一的性質(zhì),圓的切線的判定定理,正

確理解語句作出圖形,掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

四、解答題(共2道小題,21題5分,22題6分,共11分)

21.某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會實(shí)踐活動時(shí),想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測昌平中心公園的仿

古建筑“弘文閣”AB的高度.他們先在點(diǎn)C處用高1.5米的測角儀CE測得“弘文閣”頂A的仰角為30°,然后向“弘文

閣''的方向前進(jìn)18m到達(dá)D處,在點(diǎn)D處測得“弘文閣”頂A的仰角為50。.求“弘文閣”AB的高(結(jié)果精確到

0.1m,參考數(shù)據(jù):,tan50°W.19,tan400~0.84,73?1.73).

【答案】21.7m

【解析】

【分析】根據(jù)題意得至UGB=DF=CE=1.5m,ZAEG=30°,FE=18m,由三角形內(nèi)角和得出NGAE=60。,

ZGAF=40°,在RtAAGE中,GE=tan60°AG,在RsAFG中,GF=tan40°AG,由EF=EG-GF=18,代入求出AG的

值,由AB=AG+GB即可求出AB的值.

【詳解】解:由題可知:GB=DF=CE=1.5,ZAEG=30°,FE=18m,ZAFG=50°.

AZGAE=60°,NGAF=40°

;在Rt/XAGE中,NGAE=60°

tan/GAE=-----

AG

GE=tan60°AG

;在Rt^AFG中,NGAF=40。

GF

tanZGAF=-----

AG

GF=tan40°AG

EF=EG-GF,EF=18m

tan60°AG—tan40°AG=18,

1.73AG-0.84AG=18,

0.98AG=18,

AG=20.2m.

AB=AG+GB-20.2+1.5=21.7m.

答:“弘文閣”AB高約217m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,解題的關(guān)鍵是借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形

利用三角函數(shù)解直角三角形.

22.如圖,AB為。O的直徑,點(diǎn)C,D是。O上的點(diǎn),AD平分NBAC,過點(diǎn)D作AC的垂線,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證:DE是。O的切線;

3

(2)延長AB交ED的延長線于點(diǎn)F,若。0半徑的長為3,tanNAFE=一,求CE的長.

4

【答案】⑴證明見解析;⑵I

【解析】

【分析】(1)證明:連接OD,利用AD平分NBAC推出Nl=/2,由OA=OD推出Nl=/3,由此得到

OD〃AE,利用ACLDE,得至ljOD_LDE,即可得到結(jié)論;

(2)連接BC,交OD于點(diǎn)M,證明四邊形CEDM是矩形,推出CE=MD,CM〃DE,得到ZF=ZABC,設(shè)

996

OM=3x,BM=4x,利用勾股定理求出OM=g,得到CE=MD=3-《=丁

【詳解】(1)證明:連接OD,

:AD平分NBAC,

.*.Z1=Z2,

VOA=OD,

.".Z1=Z3,

N3=N2,

;.OD〃AE,

VACIDE,

AODIDE,

:OD是。O半徑,

,OD是。O的切線;

(2)連接BC,交OD于點(diǎn)M,

?;AB是0O的直徑,

:.ZACB=90°,

VZE=ZODE=90°,

???ZACB=ZE=ZODE=90°

???四邊形CEDM是矩形,

ACE=MD,CM〃DE,

AZF=ZABC,

3

在RSOBM中,OB=3,tanZABC=-,

4

設(shè)OM=3x,BM=4x,

???(3x)2+(4x)2=32,

3

解得x=-,

9

?,.OM二一,

5

.96

??CE=MD=3--=—.

55

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì),證明直線是圓的切線,圓周角定理,勾股定理,銳角三角函數(shù),矩形的判定及

性質(zhì),熟練掌握各知識點(diǎn)并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.

五、解答題(共3道小題,每小題7分,共21分)

23.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線丁=0^+陵+3與丁軸交于點(diǎn)A,將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度,得到點(diǎn)

B,點(diǎn)B在拋物線上.

(1)①直接寫出拋物線的對稱軸是:

②用含a的代數(shù)式表示b;

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).若拋物線與x軸交于P、Q兩點(diǎn),該拋物線在P、Q之間的部分與線段

PQ所圍成的區(qū)域(不包括邊界)恰有七個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍.

2

【答案】(1)①x=l;②b=-2a;(2)-l<a<一一或10<aWll

3

【解析】

h

【分析】(1)①根據(jù)拋物線的對稱性可以直接得出其對稱軸;②利用對稱軸公式x=-一進(jìn)一步求解即可;

2a

(2)如圖,分兩種情況:①a>0,②a<0,據(jù)此依次討論即可.

【詳解】解:⑴①???拋物線y=++區(qū)+3與)'軸交于點(diǎn)A,

/.A(0,3),

???將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B,

AB(2,3),

???點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對稱軸對稱,

??對稱軸是:x=l;

②對稱軸為直線X=---=1

2a

/.b=-2a;

(2)由題可知:A(0,3),B(2,3),

①若a>0時(shí),如圖1所示,有七個(gè)整點(diǎn),

當(dāng)x=l時(shí),y=a+b+3=a-2a+3=-a+3,

:恰有7個(gè)整數(shù)點(diǎn)(不包括邊界),

-8g?a+3V-7j

A10<a<ll;

②若aVO時(shí),如圖2所示,有七個(gè)整點(diǎn),

當(dāng)x=-l時(shí),y=a-b+3=3a+3,

當(dāng)x=l時(shí),y=-a+3,

??,恰有7個(gè)整數(shù)點(diǎn)(不包括邊界),

3。+341

:.<,

一。+3(4

,2

??-10W—.

3

2

綜上所述,-1Wag或lOVa/ll.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)和一元一次不等式組的綜合運(yùn)用,屬于綜合題型,熟練二次函數(shù)的性質(zhì)、靈

活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵.

24.在△ABC中,AB=AC,/BAC=9O。,點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)(BD>CD),作射線AD,點(diǎn)B關(guān)于射線AD

的對稱點(diǎn)為E,作直線CE,交射線AD于點(diǎn)F.連接AE,BF.

(1)依題意補(bǔ)全圖形,直接寫出/AFE的度數(shù);

(2)用等式表示線段AF,CF,BF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】(1)作圖見解析;45。;(2)CF+BF=0AF,證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)軸對稱即可補(bǔ)全圖形,延長FB至點(diǎn)M使MB=CF,通過△ABA/g/XACE,進(jìn)而證得4MAF

是等腰直角三角形,問題即可解決;

(2)由(1)知AMAF是等腰直角三角形及CF=BF,再根據(jù)勾股定理問題即可解決;

【詳解】(1)補(bǔ)全圖形,如圖所示:

A

ZAFE=45°

理由如下:

延長FB至點(diǎn)M使MB=CF,

?.?點(diǎn)B、E關(guān)于AF對稱,

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