一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優(yōu)化（8）高考湖北省數學起點考試圓錐曲線“一題多解”兩例

2024新高考湖北起點考試圓錐曲線“一題多解”兩例——談談圓錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應用的形式呈現，考察動態(tài)情形下的范圍、最值、定點、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數的關系法（主流方法）．設出動直線的方程（），與圓錐曲線方程聯立消元得到關于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數聯動變換法（圓曲不聯立）．此種方法有別于方法1，不聯立方程消元求解，而是直接將所設出點的坐標代入曲線（直線）方程和題設中，得到若干個關于點的坐標與參數間的關系式，對這些關系式進行整體變形整體代換而求解．如弦中點問題常用點差法處理．此種方法對多變量多參數的代數式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗．3、設點求點法．方法1、2均采用了設而不求的策略．當問題中直線與曲線的交點易求時，可考慮直接求出點的坐標進行求解，即設點求點法．如：動直線過曲線上一已知點時，則另一交點坐標可直接求出；再如動直線與橢圓的交點易求出．【騰云聯盟8月聯考?21】已知過點的直線交拋物線于A，B兩點，且（點O為坐標原點），M，N，P是拋物線上橫坐標不同的三點，直線MP過定點，直線NP過定點.（1）求該拋物線的標準方程；（2）證明：直線MN過定點.【答案】（1）（2）MN過定點，證明見解析【解析】(1)設直線AB方程為，，，聯立得，消x得，得，，因為，所以，即，，所以拋物線的解析式為：.(2)法一（多變量多參數聯動變換法）設，，，（兩兩互不相等）因為M、P、C三點共線，所以，即，①因為N、P、D三點共線，所以，即，②直線MN方程為：，即③由①②得，即，代入③得，所以直線MN過定點.法二（設點求點法）設，，，（兩兩互不相等）直線的方程為，與聯立消去得，方程的兩根為點的縱坐標，故，即，直線的方程為，與聯立消去得，方程的兩根為點的縱坐標，故，即，直線的方程為，即，化簡得，即，即，即，即所以直線MN過定點.【宜荊荊恩9月?22】已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩個動點，面積的最大值為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.【解析】(1)解：當點P為橢圓C短軸頂點時，的面積取最大值結合及，解得

，故橢圓C的標準方程為.法一（非對稱韋達法）設點若直線PQ的斜率為零，由對稱性知，不合題意.設直線PQ

的方程為

，由于直線PQ不過橢圓

C

的左、右頂點，則

聯立

得，由可得，，所以解得即直線PQ的方程為，故直線PQ過定點

.由韋達定理可得，由平面幾何知識所以設則，當時故在單調增因為，所以因此，的最大值為法二（設點求點法）設點直線的方程為，代入得方程的兩根為，則，，從而，點，因為，故點直線的方程為，代入得方程的兩根為，則，，從而，點，直線的方程為即令，化