兩條直線平行和垂直的判定（導(dǎo)學(xué)案）高二數(shù)學(xué)系列（人教A版2019選擇性）

兩條直線平行和垂直的判定導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩條直線平行與垂直的條件,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).重點(diǎn)難點(diǎn)1.重點(diǎn)：理解兩條直線平行或垂直的判斷條件2.難點(diǎn)：會利用斜率判斷兩條直線平行或垂直課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點(diǎn)一兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件對應(yīng)關(guān)系??兩直線的斜率都不存在圖示思考：兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？提示不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．知識點(diǎn)二兩條直線垂直的判定圖示對應(yīng)關(guān)系若(兩直線的斜率都存在)?則．的斜率不存在，的斜率為0?思考：當(dāng)直線m與直線n平行或垂直時，它們對應(yīng)的斜率有怎樣的關(guān)系？提示當(dāng)兩直線平行時，它們對應(yīng)的斜率相等．當(dāng)兩直線垂直時，它們對應(yīng)的斜率的乘積為－1.特別地，當(dāng)兩直線的斜率都不存在時，兩直線平行．當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線垂直．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)如果兩條直線與垂直，則它們的斜率之積一定為－1.()(2)若兩條直線平行，則這兩條直線的方向向量一定相等．()(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．()(4)若兩條直線的斜率都不存在，且兩直線不重合，則這兩條直線平行．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√【詳解】(1)錯誤．當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩直線也垂直．(2)錯誤．若兩條直線平行，則這兩條直線的方向向量只要共線即可．(3)錯誤．當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線才垂直．(4)正確．斜率都不存在且不重合的兩條直線都是垂直于x軸的直線，所以這兩條直線平行．2.下列說法中，①若兩直線平行，則其斜率相等;②若兩直線斜率之積為1，則這兩條直線垂直;.③若直線與直線垂直，則.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率關(guān)系、直線垂直的判定判斷各項的真假，即可得結(jié)果.【詳解】①若兩直線平行且兩線都垂直于x軸，此時斜率不存在，錯誤；②若兩直線斜率之積為1，則這兩條直線垂直，正確；③若直線與直線垂直，則，，錯誤.正確命題為②.故選：A3.直線和直線平行，則（

）A． B．2或 C．3 D．或3【答案】A【解析】用兩直線平行的條件求解，注意去除兩直線重合的情形即可得．【詳解】由題意，解得或，時，兩直線方程都是，兩直線重合，舍去，時，兩直線直線方程分別為，，兩直線平行．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行求參數(shù)，兩直線和平行時，但包括兩直線平行和重合，因此需要驗證．4.直線與直線的位置關(guān)系是（）A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直【答案】C【解析】根據(jù)直線的一般方程滿足,則兩直線平行.【詳解】解:直線與直線,滿足,故直線與直線平行.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,若兩直線滿足,則兩直線平行.5.已知直線，則與（

）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【分析】由直線的斜率間的關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】因為的斜率分別為，所以，所以.故選：A.新課導(dǎo)學(xué)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題為了在平面直角坐標(biāo)系中用代數(shù)方法表示直線，我們從確定直線位置的幾何要素出發(fā)，引入直線的傾斜角，再利用傾斜角與直線上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系引入直線的斜率，從數(shù)的角度刻畫了直線相對于軸的傾斜程度，并導(dǎo)出了用直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)計算斜率的公式，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題下面，我們通過直線的斜率判斷兩條直線的位置關(guān)系．過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上,過山車的運(yùn)動包含了許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道,它們靠著一根根巨大的柱形鋼筋支撐著,為了使設(shè)備安全,柱子之間還有一些小的鋼筋連接,這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到過山車中的平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢?環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念思考問題1：我們知道，平面中兩條直線有兩種位置關(guān)系：相交、平行．當(dāng)兩條直線與直線平行時，它們的斜率與滿足什么關(guān)系？注釋：若沒有特別說明，說“兩條直線，”時，指兩條不重合的直線．如圖，若，則與的傾斜角與相等，由，可得，即．因此，若，則．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念反之，當(dāng)時，，由傾斜角的取值范圍及正切函數(shù)的單調(diào)性可知，，因此．于是，對于斜率分別為，的兩條直線，，有顯然，當(dāng)時，直線的斜率不存在，此時．若直線，重合，此時仍然有．用斜率證明三點(diǎn)共線時，常常用到這個結(jié)論．例2已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：如圖，由已知可得直線的斜率，直線的斜率，因為，所以直線．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例3已知四邊形的四個頂點(diǎn)分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．解：如圖，由已知可得邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．因為，，所以，．因此四邊形是平行四邊形．顯然，當(dāng)兩條直線相交時，它們的斜率不相等；反之，當(dāng)兩條直線的斜率不相等時，它們相交．在相交的位置關(guān)系中，垂直是最特殊的情形．問題2：當(dāng)直線，垂直時，它們的斜率除了不相等外，是否還有特殊的數(shù)量關(guān)系？設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則直線，的方向向量分別是，，于是，即．也就是說．當(dāng)直線或的傾斜角為時，若，則另一條直線的傾斜角為；反之亦然．由上我們得到，如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果兩條直線的斜率之積等于，那么它們互相垂直．即環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例4已知，，，，試判斷直線與的位置關(guān)系．解：直線的斜率，直線的斜率，因為，所以．例5已知，，三點(diǎn)，試判斷的形狀．分析：如圖，猜想，是直角三角形．解：邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．由，得，即，所以是直角三角形．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題3：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1.知識總結(jié)：利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二步．(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．(3)求值：計算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進(jìn)行討論．利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第57頁練習(xí)第1，2題第57頁習(xí)題2.1第5,6,9,10題備用練習(xí)1.若直線與直線互相垂直，則a的值為（

）A． B．1C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為直線與直線互相垂直，所以解得；故選：B2.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），且與直線垂直，那么直線l的方程是A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可求出直線l的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程化簡即可．【詳解】直線l與直線垂直，直線l的斜率為，則，即故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的求法，考查兩直線垂直的等價條件，屬于基礎(chǔ)題．4．已知直線l：，若直線l與直線：平行，則m的值為（

）A．