高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊課件2-6-2雙曲線的幾何性質(zhì)

2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì)第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì).(直觀想象)2.理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程.(邏輯推理)3.通過具體實例初步了解直線與雙曲線相交的相關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思火電廠、核電站的循環(huán)水自然通風(fēng)冷卻塔是一種大型薄殼型建筑物,建在水源不十分充足的地區(qū)的電廠.為了節(jié)約用水,需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng),以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復(fù)使用.大型電廠采用的冷卻建筑物多為雙曲線型冷卻塔.這樣從結(jié)構(gòu)上最穩(wěn)定,強(qiáng)度高,能夠獲得更大的容積,氣流順暢,對流冷卻效果好,造型美觀.知識點撥雙曲線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)范圍x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R對稱性對稱軸:x軸、y軸;對稱中心:坐標(biāo)原點頂點坐標(biāo)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)軸實軸:線段A1A2,長:2a;虛軸:線段B1B2,長:2b;半實軸長:a,半虛軸長:b漸近線離心率a,b,c間的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)名師點析(1)雙曲線與橢圓的六個不同點:曲線名稱雙曲線橢圓曲線形狀兩支曲線封閉的曲線頂點兩個頂點四個頂點軸實、虛軸長、短軸漸近線有漸近線無漸近線離心率e>10<e<1a,b,c關(guān)系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等軸雙曲線是實軸和虛軸等長的雙曲線,它的漸近線方程是y=±x,離心率為

.(3)共軛雙曲線:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.微練習(xí)(1)圓錐曲線

=1的離心率e=2,則實數(shù)m的值為(

)

C.19 D.-11答案

B(2)雙曲線

=1的漸近線方程為(

)x±4y=x±3y=0C.

x±2y=0x±16y=0答案

A微判斷

(3)等軸雙曲線的漸近線互相垂直.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)√微思考(1)雙曲線的離心率對開口大小有怎樣的影響?提示

雙曲線的離心率e=反映了雙曲線開口的大小,e越大,雙曲線的開口就越大.(2)一條直線與雙曲線的漸近線平行時,它與雙曲線有幾個公共點?提示

1個.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)例1求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.要點筆記由雙曲線的方程研究其幾何性質(zhì)的注意點(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵.(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點位置,確定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì).延伸探究求雙曲線nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半實軸長、半虛軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、頂點坐標(biāo)和漸近線方程.例2已知F1,F2為雙曲線

=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P,且∠PF1F2=30°,求該雙曲線的漸近線方程.分析求雙曲線的漸近線方程就必須求漸近線的斜率,也就是求a,b間的關(guān)系.本題利用雙曲線的定義和直角三角形邊、角之間的關(guān)系,求a,b間的關(guān)系.反思感悟1.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的方法中,最簡單且實用的是把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中等號右邊的“1”改成“0”,就得到了此雙曲線的漸近線方程.答案

A探究二由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例3根據(jù)以下條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.反思感悟1.根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組),但要注意焦點的位置,從而正確選擇方程的形式.2.巧設(shè)雙曲線方程的六種方法與技巧(5)漸近線為y=±kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).變式訓(xùn)練2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.探究三直線與雙曲線的位置關(guān)系例4(1)已知平面上兩點M(-5,0)和N(5,0),若直線上存在點P使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“單曲型直線”,下列直線:其中是“單曲型直線”的是

.

分析由已知點P在以M,N為焦點的雙曲線的右支上,即

=1(x>0).分別與①②③④中的直線聯(lián)立方程組,根據(jù)方程組的解的性質(zhì)判斷該直線是否為“單曲型直線”.(2)已知雙曲線焦距為4,焦點在x軸上,且過點P(2,3).①求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;②若直線m經(jīng)過該雙曲線的右焦點且斜率為1,求直線m被雙曲線截得的弦長.(1)答案

①②

∵Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,∴y=x+1是“單曲型直線”.消y得20x2+36x+153=0,∵Δ=362-4×20×153<0,∴y=2x+1不是“單曲型直線”.故符合題意的有①②.反思感悟1.直線與雙曲線位置關(guān)系的判定方法通常把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考查方程的判別式.(1)Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點.(2)Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點.(3)Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點.當(dāng)a=0時,此時直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個公共點.2.雙曲線的弦長公式和直線與橢圓相交所得的弦的長度求法一樣.設(shè)直線y=kx+b與雙曲線交于3.如果利用“點差法”解題,其過程是無法保證直線與雙曲線相交的,因此必須對所得直線方程的存在性進(jìn)行驗證.變式訓(xùn)練3(1)已知雙曲線方程為x2-=1,過點P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點,則l共有(

)條條條條答案

B解析

因為雙曲線方程為x2-=1,則P(1,0)是雙曲線的右頂點,所以過P(1,0)并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線,與雙曲線只有一個公共點,另外兩條就是過P(1,0)分別和兩條漸近線平行的直線,所以符合要求的有3條.(2)已知雙曲線2x2-y2=2,過點B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于點Q1,Q2,且B是弦Q1Q2的中點,若存在這樣的直線l,求出它的方程;若不存在,請說明理由.解

不存在.理由如下,設(shè)Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是雙曲線上的兩點,則x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,而Δ=-8<0,方程無實根,即直線與雙曲線無交點,故不存在滿足條件的直線.

素養(yǎng)形成專項探究

離心率問題

答案

A解析

因為△ABF2為等邊三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|,因為A為雙曲線右支上一點,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,因為B為雙曲線左支上一點,所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a,由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos

120°,得c2=7a2,則e2=7,又e>1,所以e=.故選A.答案

A歸納總結(jié)求雙曲線的離心率(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法②列出含有a,b,c的齊次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程或不等式求解.(2)求解時,若用到特殊幾何圖形,可運用幾何性質(zhì)使問題簡化.遷移應(yīng)用1漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是(

)答案

C答案

D當(dāng)堂檢測1.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m的值為(

)答案

C2.(多選)若雙曲線C的一個焦點F(5,0),P是雙曲線上一點,且漸近線方程為

答案

AD3.中心在原點,焦點在x軸上,且一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是

.

答案

x2-y2=8解析

令y=0,得x=-4,∴等軸雙曲線的一個焦點為(-4