山西省晉中市博雅培文實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期8月開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

晉中市博雅培文實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二年級(jí)8月檢測(cè)試題數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1）學(xué)生必須用黑色中性筆在答題卡上答題。2）答卷前請(qǐng)將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。3）答題時(shí)字跡要清楚、工整，不宜過(guò)大，以防答題卡區(qū)域不夠使用。一、選擇題。單選題（共8小題，每題5分共40分）1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A． B． C． D．3．“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高．現(xiàn)隨機(jī)抽取10位某市居民進(jìn)行街頭調(diào)查，得到他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．94．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A．1 B． C． D．5．如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，作平面ABCD．若，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（）A． B． C． D．6．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為，那么等于（）A． B． C． D．47．2019年10月1日，在慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年大閱兵的徒步方隊(duì)中，被譽(yù)為“最強(qiáng)大腦”的院?？蒲蟹疥?duì)隊(duì)員分別由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)三所院校聯(lián)合抽組，已知軍事科學(xué)院的甲、乙、丙三名同學(xué)被選上的概率分別為，，，則這三名同學(xué)中至少有一名同學(xué)被選上的概率為（）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題：“今有勾五步，股十二步，問(wèn)勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法：如圖（1），用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為b和a的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱．青），將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖（2）所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊d，由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖（3），設(shè)D為斜邊BC的中點(diǎn)，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形的對(duì)角線AE，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F，則下列推理正確的是（）（1）（2）（3）①由圖（1）和圖（2）面積相等可得；②由可得；③由可得；④由可得．A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③二、多選題（每題5分共20分，少選得2分有錯(cuò)選得0分）9．已知，i為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A．z的虛部為 B．z的模為2 C．z的共軛復(fù)數(shù)為2i D．z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限10．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，D為PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．平面PAB B． C．平面PBC D．平面ADC11．已知向量，，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．設(shè)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，D．的最大值為12．某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對(duì)隨機(jī)抽出的編號(hào)為1~1000的1000名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題1：您的編號(hào)是否為奇數(shù)？問(wèn)題2：您是否吸煙？被調(diào)查者隨機(jī)從設(shè)計(jì)好的隨機(jī)裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球100個(gè)，紅球100個(gè)）中摸出一個(gè)小球：若摸出白球則回答問(wèn)題1，若摸出紅球則回答問(wèn)題2，共有270人回答“是”，則下述正確的是（）A．估計(jì)被調(diào)查者中約有520人吸煙 B．估計(jì)約有20人對(duì)問(wèn)題2的回答為“是”C．估計(jì)該地區(qū)約有4%的中學(xué)生吸煙 D．估計(jì)該地區(qū)約有2%的中學(xué)生吸煙三、填空題（共4題；每題5分共20分）13．中國(guó)乒乓球隊(duì)中的甲．乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙?jiàn)Z得冠軍的概率為，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_(kāi)_______．14．已知棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)含有一個(gè)可以旋轉(zhuǎn)的小正方體，則所含的小正方體的體積的最大值為_(kāi)_______．15．將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為，A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15，30，20，則樣本的平均數(shù)為_(kāi)_______．16．如圖，在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．四、解答題（解答過(guò)程要完整）17．已知復(fù)數(shù)．（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．設(shè)兩個(gè)向量，滿足，，，的夾角為．若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．19．在四棱錐中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中點(diǎn)，，，．（1）證明：平面EAC；（2）若四棱錐的體積為，求．20．為檢查學(xué)生學(xué)習(xí)傳染病防控知識(shí)的成效，某校高一年級(jí)部對(duì)本年級(jí)1200名新生進(jìn)行了傳染病防控知識(shí)測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了300份答卷，按得分區(qū)間、、、、、分別統(tǒng)計(jì)，繪制成頻率分布直方圖如下．（1）求圖中a的值；（2）若從高一年級(jí)1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其得分不低于75分的概率；（3）估計(jì)高一年級(jí)傳染病防控知識(shí)測(cè)試得分的平均數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）21．在四棱錐中，底面ABCD，，，，．（1）證明：；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值．22．某市政府隨機(jī)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350度之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．（1）求直方圖中x的值，并估計(jì)居民月用電量的眾數(shù)；（2）為了既滿足居民的基本用電需求，又能提高能源的利用效率，市政府計(jì)劃采用階梯電價(jià)，使75%的居民繳費(fèi)在第一檔，請(qǐng)確定第一檔用電標(biāo)準(zhǔn)的度數(shù)；（3）用分層抽樣的方法在和兩組中抽取5戶居民作為節(jié)能代表，從節(jié)能代表中隨機(jī)選取2戶進(jìn)行采訪，求這2戶來(lái)自不同組的概率．參考答案一、選擇題1．答案：D解析：由題意得，，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限．故選：D．2．答案：D解析：∵集合，，又∵，∴或，解得或或．當(dāng)時(shí)，，，∴，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，∴，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，不滿足集合中元素的互異性．綜上可知，．則實(shí)數(shù)a的取值集合為．故選D．3．答案：C解析：數(shù)據(jù)3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，共10個(gè)，且，所以80%分位數(shù)是8.5．故選C．4．答案：D解析：，，，∴．5．答案：B解析：解法1：如圖1，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建系，則平面ABP的法向量，平面CDP的法向量，所以，的夾角為．解法2：如圖2，將四棱錐補(bǔ)成正方體，則平面ABP與平面CDP所成的二面角就是平面ABQP與平面CDPQ所成的二面角，其大小為．圖1圖26．答案：C解析：．故選C．7．答案：C解析：記“這三名同學(xué)中至少有一名同學(xué)被選上”為事件A，則事件為“這三名同學(xué)都沒(méi)被選上”，則，所以．選C．8．答案：A解析：由面積相等得，所以，故①正確．在題圖（3）中，由三角形面積得，由題意可知．又因?yàn)椋?，所以，故②正確．由題意得．因?yàn)?，所以，所以，故③正確．由得，即，故④正確．選A．二、多項(xiàng)選擇題9．答案：BC解：∵，∴，解得：，∴．對(duì)于A，z的虛部為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，z的共軛復(fù)數(shù)為2i，C正確；對(duì)于D，z對(duì)應(yīng)，不在第四象限，D錯(cuò)誤．故選：BC．10．答案：ABC解析：因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，，平面PAB，所以平面PAB，故A正確；由平面PAB，得，又，D是PB的中點(diǎn)，所以，又，平面PBC，所以平面PBC，所以，故B，C正確；由平面PAB，得，因此PB與CD不垂直，從而PB不與平面ADC垂直，D錯(cuò)誤．故選A，B，C．11．答案：ACD解析：A項(xiàng)，若，則，即，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，若，則，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，其中，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故C正確；D項(xiàng)，，所以，即的最大值為，故D項(xiàng)正確．12．答案：BC解析：略三、填空題13．答案：解析：由于事件“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙?jiàn)Z得冠軍”，但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，即中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為．14．答案：解析：設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的半徑為r，則，解得．設(shè)所求的小正方體的棱長(zhǎng)為a，則，所以，所以小正方體體積的最大值為．15．答案：20.5解析：由題意可知樣本的平均數(shù)為，故答案為：20.516．答案：解析：連接，沿將旋轉(zhuǎn)到與在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖，連接，則的長(zhǎng)度就是所求的最小值．通過(guò)計(jì)算可得，又，所以，由余弦定理可求得．四、解答題17．答案：（1）（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍為解析：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，所以，解之得，．（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，0解之得，得．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18．答案：實(shí)數(shù)t的取值范圍為解析：設(shè)向量與的夾角為．∵向量與的夾角為鈍角，∴，∴，解得．當(dāng)時(shí)，也有．設(shè)，，由，不共線，得，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為．19．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)F，連接FE，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以F是BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍱AC，平面EAC，所以平面EAC；（2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，則，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，所以平面ABCD，設(shè)，則，得，連接CO，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，，所以，且，因?yàn)椋?，所以，又，所以由余弦定理可得?0．答案：（1）；（2）0.5；（3）74．解析：（1）由圖可得，解得；（2）估計(jì)得分不低于75分的概率為；（3）估計(jì)得分的平均數(shù)．21．（1）答案：證明見(jiàn)解析解析：證明：∵，，，∴四邊形ABCD是等腰梯形．如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，則，．又，∴．又，∴．又，，∴，∴．∵平面ABCD，平面ABCD，∴．又，∴平面PAD．∵平面PAD，∴．（2）答案：解析：以D為原點(diǎn)，DA，DB，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則，即．取，得，，則．設(shè)直線PD與平面PAB所成的角為，則．∴PD與平面PAB所成的角的正弦值為．22．答案：（1）0.0044，175（2）234（3）解析