新教材數(shù)學(xué)人教A版教案5-7三角函數(shù)的應(yīng)用

三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)抽象)2.體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(邏輯推理)3.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，使學(xué)生學(xué)會把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型的思想方法．(邏輯推理)教學(xué)重點(diǎn)：體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用；發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖并能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)列出關(guān)系式.教學(xué)過程：一、基礎(chǔ)知識知識點(diǎn)一、三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中（周期現(xiàn)象）的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮著重要作用．

三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：

①已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；

②把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，抽象出有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．

知識點(diǎn)二、利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟第一步：閱讀理解，審清題意．

讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字，理解題目所反映的實(shí)際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知什么、求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．

第二步：收集、整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型．

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，運(yùn)用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知識及相關(guān)知識建立關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與三角函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，即建立三角函數(shù)模型，從而實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化．

第三步：利用所學(xué)的三角函數(shù)知識對得到的三角函數(shù)模型予以解答．

第四步：將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的答案．

二、基礎(chǔ)自測1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是()①三角函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．②與周期有關(guān)的實(shí)際問題都必須用三角函數(shù)模型解決．③若一個(gè)簡諧振動的振動量的函數(shù)解析式是y＝3sin(4x＋eq\f(π,6))，則其往復(fù)振動一次所需時(shí)間為eq\f(1,2)秒．④若電流I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，則電流的最大值為4A．

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：B2．電流I(A)隨時(shí)間t(s)變化的關(guān)系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的周期是()A．eq\f(1,50)s B．50s C．eq\f(1,100)s D．100s答案：A3.如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動，離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin(2πt＋eq\f(π,6))，那么單擺來回?cái)[動一次所需的時(shí)間為()A．2πs B．πs C．0.5s D．1s答案：D解析：本題已給出了單擺離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式，單擺來回?cái)[一次所需的時(shí)間即為此函數(shù)的一個(gè)周期．即ω＝2π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.4．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，勞動節(jié)某商場的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]答案：C解析：由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時(shí)，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．三、題型探究題型一三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用例1已知表示電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．

(1)若電流強(qiáng)度I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，試根據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)為了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))中t在任意一段eq\f(1,100)秒的時(shí)間內(nèi)電流強(qiáng)度I能同時(shí)取得最大值A(chǔ)與最小值－A，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？【分析】對于(1)，由于解析式的類型已經(jīng)確定，只需根據(jù)圖象確定參數(shù)A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值與最小值確定，ω可由周期確定，φ可通過特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程求得．對于(2)，可利用正弦型函數(shù)的圖象在一個(gè)周期中必有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)來解．

【解析】(1)由題圖知，A＝300.T＝eq\f(1,60)－(－eq\f(1,300))＝eq\f(1,50)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π.∵(－eq\f(1,300)，0)是該函數(shù)圖象的第一個(gè)零點(diǎn)，∴－eq\f(φ,ω)＝－eq\f(1,300).∴φ＝eq\f(ω,300)＝eq\f(π,3).符合|φ|<eq\f(π,2)，∴I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))(t≥0)．(2)問題等價(jià)于T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)，∴ω≥200π.∴正整數(shù)ω的最小值為629.歸納提升：解決函數(shù)圖象與解析式對應(yīng)問題的策略

利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實(shí)質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ.其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特殊點(diǎn)求得；φ由點(diǎn)在圖象上求得，確定φ時(shí)，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.

對點(diǎn)練習(xí)1.本例(1)中，在其他條件不變的情況下，當(dāng)t＝10秒時(shí)的電流強(qiáng)度I應(yīng)為多少？

【解析】由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋eq\f(π,3))(t≥0)，將t＝10秒代入可得，I＝150eq\r(3)安培．題型二三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用例2如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點(diǎn)B開始1min旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面距離y(m)與時(shí)間x(s)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有()A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5【答案】A【解析】由1min旋轉(zhuǎn)4圈，則轉(zhuǎn)1圈的時(shí)間為T＝eq\f(1,4)min＝eq\f(1,4)×60＝15(s)，則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,15).又由圖可知，A＝3.歸納提升：1.解決與三角函數(shù)模型相關(guān)問題，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型．

2．三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在簡諧運(yùn)動中，其中對彈簧振子和單擺的運(yùn)動等有關(guān)問題考查最多，尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法．

對點(diǎn)練習(xí)2.如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動，其初始位置為P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()【答案】C【解析】∵P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，∴∠P0Ox＝eq\f(π,4).按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－eq\f(π,4).此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2sin(t－eq\f(π,4))，∵d＝2|sin(t－eq\f(π,4))|.當(dāng)t＝0時(shí)，d＝eq\r(2)，排除A、D；當(dāng)t＝eq\f(π,4)時(shí)，d＝0，排除B．誤區(qū)警示對物理概念理解不清，錯(cuò)求初相例3如圖，彈簧掛著一個(gè)小球作上下運(yùn)動，小球在t秒時(shí)相對于平衡位置的高度h(厘米)由如下關(guān)系式確定：h＝2sin(eq\f(π,4)t＋φ)，t∈[0，＋∞)，φ∈(－π，π)．已知當(dāng)t＝3時(shí)，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在開始振動(即t＝0)時(shí)h的值為______.【錯(cuò)解】∵當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，∴2sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0，∴φ＝－eq\f(3π,4).故h＝2sin(eq\f(π,4)t－eq\f(3π,4))，∴當(dāng)t＝0時(shí)，h＝2sin(－eq\f(3π,4))＝－eq\r(2).【錯(cuò)因分析】沒有認(rèn)真審題，不懂利用題目中的“并開始向下移動”條件求初相．

【正解】∵當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，∴2sin(eq\f(3π,4)＋φ)＝0.又∵當(dāng)t＝3時(shí)，h＝0，并開始向下移動，∴eq\f(3π,4)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.∵φ∈(－π，π)，∴φ＝eq\f(π,4)，故h＝2sin(eq\f(π,4)t＋eq\f(π,4))．∴當(dāng)t＝0時(shí)，h＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).科學(xué)素養(yǎng)數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)問題

處理此類問題時(shí)，先要根據(jù)表格或數(shù)據(jù)正確地畫出散點(diǎn)圖，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求出問題中所需要的相關(guān)量，如周期、振幅等，最后根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識解決問題．例4已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作：y＝f(t)．下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：

經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；

(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天的上午8：00時(shí)至晚上20：00時(shí)之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行活動？

【分析】本題以實(shí)際問題引入，注意通過表格提供的數(shù)據(jù)來抓住圖形的特征．

【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).由t＝0，y＝，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝，得b＝，∴A＝，b＝，即振幅為eq\f(1,2).∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.（2）由題意知，當(dāng)y>1時(shí)才對沖浪者開放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，∴coseq\f(π,6)t>0，∴2k