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文檔簡介

2.4矩陣的初等變換與矩陣的秩

1.矩陣的初等變換

2.矩陣的秩

定義2.16

下列三種變換稱為矩陣的初等行變換此時變換的是第i行,第j行沒有變化!同理可定義矩陣的初等列變換

(把“r”換成“c”)．2.4.1矩陣的初等變換矩陣的初等變換通常稱(1)換法變換(2)倍法變換(3)消法變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換三種初等變換對應著三種初等方陣.矩陣初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛.

2.4.2初等矩陣由單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.

定義2.17(1)交換I的兩行或兩列，得初等對換矩陣。(2)以數(shù)乘I某行或某列，得初等倍乘矩陣。(3)以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。定理2.3證明：具體驗證即可另兩種情形同理可證一般記法：2、行階梯形矩陣、行最簡矩陣、標準形定義2滿足下列兩個條件的形如階梯的矩陣：（1）若有零行，則該行下方所有行元素均為零；(2)如果某一行元素不全為零，并且第一個不為零的元素位于第i列，則它下方的所有行（若存在）的前i個元素全為零。定義

行最簡矩陣是指在階梯形中(1)非零行第一個非零元素為1，(2)每一行第一個非零元素1所在的列中其它元素都為零，即：定理2.4

對任何矩陣Amn，總可以經(jīng)過有限次初等行變換，把它化為行階梯形矩陣，行最簡矩陣。

定理2.5

任何一個矩陣A都與一個形式為的矩陣等價。（r≤min(m,n),D稱為矩陣A的標準形。2.4.3初等變換求逆矩陣

為了得到利用初等變換求矩陣的逆的方法，我們首先需要建立如下的定理。定理2.6n階矩陣A可逆的充要條件是A的標準形是In.由，就有上面第一式表示經(jīng)有限個初等行變換化為單位矩陣，第二式表示經(jīng)這些初等行變換變?yōu)?用分塊矩陣形式把上兩式寫成或由定理2.6知道若A可逆，則A-1可表為有限個初等矩陣的乘積，即即初等行變換這表明如果對矩陣(A,B)施行初等行變換，當把A化為In

時，B就化為A-1B．例10求矩陣X，使AX=B，其中

解如果A可逆，

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