人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （最短路徑問(wèn)題）軸對(duì)稱(chēng)課件

第十三章軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題

學(xué)習(xí)目標(biāo)12體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．（重點(diǎn)）能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？AlA′知識(shí)講解1、牧馬人飲馬問(wèn)題“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)之為最短路徑問(wèn)題.

現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”及“造橋選址問(wèn)題”.AB①②③PlABCD

如圖，牧馬人從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問(wèn)題作圖問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題ABl問(wèn)題1

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.問(wèn)題2

如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？想一想：對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？Al利用軸對(duì)稱(chēng)，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′.BB′作法：（1）作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′例1

如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）

A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱(chēng).∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.B

總結(jié)：此類(lèi)求線段和的最小值問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，而再根據(jù)已知條件求解.例2

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，然后依據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B′的坐標(biāo)可得到BE、AE的長(zhǎng)，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA

總結(jié)：求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BA2、造橋選址問(wèn)題

?BA●●NMNM

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思考方案：（1）把A平移到岸邊.（2）把B平移到岸邊.（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.BAＭＮBAＭＮA'B'（1）把A平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了（2）把B平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了BAＭＮ（3）把橋平移到和A相連.（4）把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長(zhǎng)度有沒(méi)有改變呢？解決問(wèn)題BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN

轉(zhuǎn)化為AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１

轉(zhuǎn)化為AA１＋A１N１＋BN１.在△A１N１B

中，因?yàn)锳1N1+BN1＞A1B.因此AM１＋M１N１＋BN１＞AM+MN+BN.ABMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,∴A到B的路徑長(zhǎng)為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長(zhǎng)為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，故橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.總結(jié)：在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變換把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.隨堂訓(xùn)練1、如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMCPQlMDDPQlMQ2、如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（）A．10B．15

C．20D．30A3、如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河10004、如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD課堂小結(jié)原理線段公理和垂線段最短牧馬人飲馬問(wèn)題解題方法造橋選址問(wèn)題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移最短路徑問(wèn)題軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)+線段公理解題方法授課教師：docer讀秀BYYUSHEN第十九章一次函數(shù)變量與函數(shù)VARIABLESANDFUNCTIONS

BYYUSHEN教學(xué)目標(biāo)011.了解變量與常量的意義，體驗(yàn)在一個(gè)過(guò)程中常量與變量是相對(duì)存在的；2.在較復(fù)雜問(wèn)題中辨別常量與變量；3.通過(guò)列舉同學(xué)們身邊的事例，激發(fā)同學(xué)們探究問(wèn)題的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，在探索活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)。目錄CONTENS學(xué)習(xí)重難點(diǎn)021.重點(diǎn)：能找出一個(gè)變化過(guò)程中的變量與常量，2.難點(diǎn)：體會(huì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中量的變化．授課教師：docer讀秀BYYUSHENPART01教學(xué)目標(biāo)TEACHINGOBJECTIVESBYYUSHEN創(chuàng)設(shè)情境形成概念01t（分）······1251015······S（米）············1.在這個(gè)行程問(wèn)題中，我們所研究的對(duì)象有幾個(gè)量？2.幾個(gè)所研究的對(duì)象中，哪些是變化的量，哪些是固定不變的量？

他們之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問(wèn)題：五一假期，李想和朋友從學(xué)校門(mén)口出發(fā)，騎自行車(chē)去王坨山公園游玩，他們勻速行駛，每分鐘騎200米騎車(chē)的總路程為s米，騎車(chē)的時(shí)間為t分鐘。填一填：BYYUSHEN創(chuàng)設(shè)情境01思考下面問(wèn)題，并填表：

（1）汽車(chē)以60

km/h的速度勻速行駛，行駛時(shí)間為t

h，行駛路程為s

km．BYYUSHEN想一想01研究對(duì)象變化的量固定不變的量存在的關(guān)系BYYUSHEN想一想01（2）每張電影票的售價(jià)為10元，第一場(chǎng)售出票150張票，第二場(chǎng)售出205張，第三場(chǎng)售出310張，三場(chǎng)電影票的票房收入各多少元？設(shè)一場(chǎng)電影售出x張票，票房收入為y元，y的值隨x的值變化而變化嗎？票房收入=單價(jià)×售票張數(shù)第一場(chǎng)票房收入=10×150=1500（元）第二場(chǎng)票房收入=10×205=2050（元）第三場(chǎng)票房收入=10×310=3100（元）BYYUSHEN想一想01研究對(duì)象變化的量固定不變的量存在的關(guān)系路程，時(shí)間，速度路程，時(shí)間速度S=60t單價(jià)，張數(shù)，票房收入張數(shù)，收入單價(jià)Y=10xBYYUSHEN想一想01（3）圓形水波慢慢地?cái)U(kuò)大，在這一過(guò)程中，當(dāng)圓的半徑r分別為10

cm，20

cm，30

cm時(shí)，圓的面積S分別為多少？BYYUSHEN想一想01研究對(duì)象變化的量固定不變的量存在的關(guān)系路程，時(shí)間，速度路程，時(shí)間速度S=60t單價(jià)，張數(shù)，票房收入張數(shù)，收入單價(jià)Y=10x面積，半徑，圓周率π面積，半徑圓周率πS=πBYYUSHEN想一想01xyABCD（4）用10

m長(zhǎng)的繩子圍一個(gè)矩形，當(dāng)矩形的一邊長(zhǎng)x分別為3

m，3.5

m，4

m，4.5

m時(shí)，它的鄰邊長(zhǎng)y分別為多少？BYYUSHEN想一想01研究對(duì)象變化的量固定不變的量存在的關(guān)系路程，時(shí)間，速度路程，時(shí)間速度S=60t單價(jià)，張數(shù)，票房收入張數(shù)，收入單價(jià)Y=10x面積，半徑，圓周率π面積，半徑圓周率πS=π周長(zhǎng)，邊長(zhǎng)，鄰邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)，鄰邊長(zhǎng)周長(zhǎng)Y=5-x上述運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)量，你認(rèn)為可以怎樣分類(lèi)？數(shù)值發(fā)生變化的量數(shù)值始終不變的量BYYUSHEN形成概念01變量常量

在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量,稱(chēng)為變量.數(shù)值始終不變的量，稱(chēng)之為常量.定義：授課教師：docer讀秀BYYUSHENPART02練一練HOMEWORKPRACTICEBYYUSHEN練一練021.某種報(bào)紙每份2元，購(gòu)買(mǎi)x份此種報(bào)紙共需y元，則y＝2x中的常量是

，變量是

。若每份a元，則y＝ax中的常量是

，變量是

。BYYUSHEN練一練022.觀察某市2月份某日的氣溫變化圖（1）這天的6時(shí)的氣溫是

℃，10時(shí)的氣溫是

℃，14時(shí)的氣溫是

℃；（2）這一天中，最高氣溫是

℃，最低氣溫是

℃；小結(jié)：天氣溫度隨

的變化而變化，即T隨

的變化而變化；

BYYUSHEN練一練023.彈簧原長(zhǎng)22cm,掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，測(cè)得一彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）有如下關(guān)系：x/kg0123456y/cm2222.52323.52424.525寫(xiě)出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式并找出變量和常量BYYUSHEN練一練024.指出下列關(guān)系式中的常量和變量1.y=2x+32.y=3.y=x2+14.c=2rBYYUSHEN