廣東省江門市臺山市名校2023-2024學年高三上學期第一次月考數(shù)學試題（Word版含答案）

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數(shù)學參考答案

1~8DBBACBAC9.ACD10.ABC11.BCD12.BC

13.14.15.16.

3.解：由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，

由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負的兩個零點，

則，解得，，

”是“方程有正實數(shù)根”的必要不充分條件．故選：．

6.解：若小王在號路口，小李在號路口，則剩余個人分到兩個路口，

兩個路口為人分布，共有種方案，

兩個路口為人分布，共有種方案，此時共有種方案；

同理若小王在號路口，小李在號路口，也共有種方案．

所以一共有種不同的安排方案種數(shù)．故選：．

7.解：當時，設，則，

則在上單調遞增，所以，

可得，可得，即

，

設，則，因為，

當時，．所以在上單調遞增，所以，即，

所以．故選A．

8.解：令，則在上單調遞減

令，則．

由，得或

由，得，

所以在和上單調遞增，在上單調遞減，

于是，的極大值為，極小值為．

在同一坐標系中作出兩函數(shù)和的圖象，如下圖：

顯然由，得由的解析式，得

若，當時，，不符合題意

若，當時，，不符合題意

若，

時，

當時，，即

由，時符合題意．

此時，結合圖象可知，當時，在上沒有零點，在上有個零點

當時，在上有個零點，在上有個或個零點．

綜上，最多有個零點．故選C．

9.【答案】

解：項：由圖可知眾數(shù)為，故A正確；

項：均值為，故B錯誤

項：占比，占比，占比，占比為，

，，所以中位數(shù)為，故C正確；

項：成績大于或等于的占比為，

所以全部大一新生中有資格的約為人，故D正確．故選ACD．

10.【答案】

解：，一定成立

，一定成立

又，故，一定成立

令，，即可推得不一定成立．故選ABC．

11.【答案】

解：兩個變量的相關系數(shù)為，則越小，與之間的相關性越弱，A錯誤；

B.設隨機變量服從正態(tài)分布，則，若，則，B正確；

C.在回歸分析中，越接近于，模型的擬合效果越好，所以為的模型比為的模型擬合的更好，C正確；

D.某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則數(shù)學期望，說明答對題的概率最大，D正確．

另解：假設答對題的概率最大，則，解得，因為，故，即答對題的概率最大，D正確．故選：．

12.【答案】

解：由函數(shù)，

令，則，可得，

可得，

所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關于對稱，

又由，令，

可得，所以為單調遞增函數(shù)，且，

當時，，單調遞增，即時，單調遞增；

當時，，單調遞減，即時，單調遞減，

由不等式，可得，即

所以不等式恒成立，即恒成立，

所以的解集為，所以且，

解得，結合選項，可得適合．故選：．

13.【答案】

解：由題知命題的否定“，”是真命題．

令，

則解得，故實數(shù)的最大值為．故答案為：．

14.【答案】

解：由，

設與的夾角為，則，

因為，所以．故答案為：．

15.【答案】

解：，，成等差數(shù)列，，

即，．故答案為．

16.【答案】

解：用和分別表示取一人是來自甲學院與乙學院，表示抽取一人恰好是女生，

則根據(jù)已知有，，且，，

所以．故答案為．

17.【答案】解：根據(jù)正弦定理，，．

可得；

當時，由，

，，角為銳角，，

在中，

，

．

18.【答案】解：，

則，得．

由題意，可得曲線在點處的切線方程為，即；

由已知得，又由知，所以．

故，，，

由，得或由，得，

故在上的單調遞增區(qū)間為和單調遞減區(qū)間為

19.【答案】證明：取的中點，連接，．

，．

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，而平面，則．

在菱形中，，為等邊三角形，

的中點為，，

，

，，平面，

平面，

平面，C.

由平面，，平面，

，，又，

以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，

，，．

設平面的法向量為，

由，取，得．

設平面的法向量為，

由，取，得．

設二面角的大小為，由圖可知為鈍角，

，則．

二面角的正弦值為．

20.【答案】解：，

，

數(shù)列為首項為，公比為等比數(shù)列

由可得

即

而隨著的增大而增大

要使，即，則

的最小值為．

21.【答案】解：橢圓：與軸的正半軸相交于點，點，為橢圓的焦點，且是邊長為的等邊三角形，

，，，

橢圓：

聯(lián)立，得，

，解得或，

設，，則，，

．

直線，的斜率之積為定值．

，

到直線：的距離，

的面積

，

當且僅當，即時，的面積取最大值．

22.【答案】解：由題意可知的可能取值有、、、，

，，

，

所以隨機變量的分布列如下表所示：

所以；

他們在每輪答題中取得勝利的概率為：

，

由，，，得，

則，因此，

令，，

于是當時，，

要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值，

設他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，

由，即，解得，

而，則，

所以理論上至少要進行輪答題．臺山市名校2023-2024學年高三上學期第一次月考

數(shù)學試題

一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則()

A.B.C.D.

3.“”是“方程有正實數(shù)根”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知，則的最小值為()

A.B.C.D.

5.的展開式中含的系數(shù)是()

A.B.C.D.

6.年某地馬拉松于月日舉行，組委會決定派小王、小李等名志愿者到甲乙兩個路口做引導員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為()

A.B.C.D.

7.設，，，則()

A.B.C.D.

8.設函數(shù)的值域為，若，則的零點個數(shù)最多是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）

9.《國家學生體質健康標準》是國家學校教育工作的基礎性指導文件和教育質量基本標準，它適用于全日制普通小學、初中、普通高中、中等職業(yè)學校、普通高等學校的學生，某高校組織名大一新生進行體質健康測試，現(xiàn)抽查大一新生的體測成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間為，，，，，則下列說法正確的是()

A.估計該樣本的眾數(shù)是

B.估計該樣本的均值是

C.估計該樣本的中位數(shù)是

D.若測試成績達到分方可參加評獎，則有資格參加評獎的大一新生約為人

10.已知非零實數(shù)，滿足，則下列不等關系一定成立的是()

A.B.C.D.

11.下列關于概率統(tǒng)計說法中正確的是．()

A.兩個變量的相關系數(shù)為，則越小，與之間的相關性越弱

B.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則

C.在回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的更好

D.某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則答對題的概率最大

12.已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值可能是()

A.B.C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為．

14.已知向量滿足，則與的夾角為．

15.已知，為橢圓的兩個焦點，為上一點，若，，成等差數(shù)列，則的離心率為．

16.某大學決定從甲、乙兩個學院分別抽取人、人參加演出活動，其中甲學院中女生占，乙學院中女生占從中抽取一人恰好是女生的概率為．

四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，，．

求的值；

若，求的面積

18.本小題2分

設為函數(shù)的導函數(shù)，已知，且的圖象經(jīng)過點．

求曲線在點處的切線方程；

求函數(shù)在上的單調區(qū)間．

19.本小題分

已知圖是由等腰直角三角形和菱形組成的一個平面圖形，其中菱形邊長為，，將三角形沿折起，使得平面平面如圖．

求證：；

求二面角的正弦值．

20.本小題2分

已知數(shù)列的首項，且滿足，設．

求證：數(shù)列為等比數(shù)列

若，求滿足條件的最小正整數(shù)．

本小題分

已知橢圓：與軸的正半軸相交于點，點，為橢圓的焦點，且是邊長為的等邊三角形，若直線：與橢圓交于不同的兩點、．

直線，的斜率之積是否為定值；若是，請求出該定值．若不是．請說明理由．

求的面積的最大值．

22.本小題分

“英才計劃”最早開始于年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到年已經(jīng)培養(yǎng)了多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．

若化學組的名學員中恰有人來自同一中學