數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課堂探究1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

課堂探究探究一面積、體積的問(wèn)題1．求面積、體積的最大值問(wèn)題是生活、生產(chǎn)中的常見(jiàn)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質(zhì)寫(xiě)出面積或體積關(guān)于自變量的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)解．2．必要時(shí)，可選擇建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)建立函數(shù)關(guān)系或曲線方程，以利于解決問(wèn)題．【典型例題1】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm.(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．思路分析：用x分別表示出包裝盒的底邊長(zhǎng)和高，再求側(cè)面積和容積的最值．解：設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長(zhǎng)為acm.由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x),0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).探究二成本最低(費(fèi)用最省)問(wèn)題1．求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，一定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考慮，不符合實(shí)際意義的理論值應(yīng)舍去；2．在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值；3．在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，不僅要注意將問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式給予表示，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．【典型例題2】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．解：(1)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,(3x＋5)2)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,(3x＋5)2)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0≤x＜5時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)5＜x≤10時(shí)，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，最小值為70萬(wàn)元．探究三利潤(rùn)最大問(wèn)題1．經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問(wèn)題的解法經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤(rùn)的關(guān)系及利潤(rùn)增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng)．2．關(guān)于利潤(rùn)問(wèn)題常用的兩個(gè)等量關(guān)系(1)利潤(rùn)＝收入－成本．(2)利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售件數(shù)．【典型例題3】某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過(guò)40件，并且在生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)量x(x∈N*)件之間的關(guān)系為P＝eq\f(4200－x2,4500)，每生產(chǎn)一件正品盈利4000元，每出現(xiàn)一件次品虧損2000元．(注：正品率＝產(chǎn)品中的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%)(1)將日利潤(rùn)y(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)．(2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí)，日利潤(rùn)最大？并求出日利潤(rùn)的最大值．思路分析：(1)求出正品件數(shù)、次品件數(shù)，利用利潤(rùn)＝盈利－虧損求值；(2)利用可導(dǎo)函數(shù)求最值的方法來(lái)求解．解：(1)因?yàn)閥＝4000×eq\f(4200－x2,4500)x－2000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4200－x2,4500)))x＝3600x－eq\f(4,3)x3，所以所求的函數(shù)關(guān)系式是y＝－eq\f(4,3)x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)．(2)顯然y′＝3600－4x2.令y′＝0，解得x＝30.所以當(dāng)1≤x＜30時(shí)，y′＞0；當(dāng)30＜x≤40時(shí)，y′＜0.所以函數(shù)y＝－eq\f(4,3)x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)在[1,30)上單調(diào)遞增，在(30,40]上單調(diào)遞減．所以當(dāng)x＝30時(shí)，函數(shù)y＝－eq\f(4,3)x3＋3600x(x∈N*,1≤x≤40)取得最大值，最大值為－eq\f(4,3)×303＋3600×30＝72000(元)．所以該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí)，日利潤(rùn)最大，其最大值為72000元．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：沒(méi)有注意問(wèn)題的實(shí)際意義而出錯(cuò)【典型例題4】甲、乙兩地相距s千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米/時(shí)，已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成；可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？錯(cuò)解：(1)依題意，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為eq\f(s,v)，全程運(yùn)輸成本為y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，所求函數(shù)為y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，定義域?yàn)?0，c]．(2)由題意，s，a，b，v均為正數(shù)，由y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0，得v＝eq\r(\f(a,b))或v＝－eq\r(\f(a,b))(舍)．故為了使運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以eq\r(\f(a,b))千米/時(shí)的速度行駛．錯(cuò)因分析：一方面在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，忽略實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域而造成求解錯(cuò)誤；另一方面由于忽視了對(duì)v＝eq\r(\f(a,b))是否在區(qū)間(0，c]內(nèi)的討論，致使答案錯(cuò)誤．正解：(1)依題意，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用的時(shí)間為eq\f(s,v)，全程運(yùn)輸成本為y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv)).所以所求函數(shù)為y＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，定義域?yàn)?0，c]．(2)由題意知s，a，b，v均為正數(shù)．由y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0，得v＝eq\r(\f(a,b)).但v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，則當(dāng)v＝eq