高一數(shù)學(xué)人教A版2019試題2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式（第2課時）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（第2課時）（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：解分式不等式1.解下列不等式：(1)eq\f(x－3,x＋2)<0；(2)eq\f(x＋1,2x－3)≤1.[解](1)eq\f(x－3,x＋2)<0?(x－3)(x＋2)<0?－2<x<3，∴原不等式的解集為{x|－2<x<3}．(2)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等價于(x－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)或x≥4)))).題型二：一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用2．商場若將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件可定為（

）A．11元 B．16元C．12元到16元之間 D．13元到15元之間【答案】C【解析】設(shè)銷售價定為每件元，利潤為元，根據(jù)題意可得利潤的函數(shù)解的一元二次不等式，解不等式即可求得每件銷售價的范圍.【詳解】設(shè)銷售價定為每件元,利潤為元，則，由題意可得：，即，所以，解得：，所以每件銷售價應(yīng)定為12元到16元之間，故選：C3．某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，可列不等式同時需要注意最低售價為15元，即.同時滿足上述條件，可解得范圍得到答案【詳解】由題意，得，即，∴，解得．又每盞的最低售價為15元，∴．故選：B．4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則其邊長（單位：m）的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形相似列出方程，將矩形的另一邊用表示，再根據(jù)矩形的面積不小于300m2列出不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)矩形的另一邊長為m，則由三角形相似知，，所以，因?yàn)?，所以，即，解?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.5.某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x件與售價P元/件之間的關(guān)系為P＝150－2x，生產(chǎn)x件所需成本為C＝50＋30x元，要使日獲利不少于1300元，則該廠日產(chǎn)量應(yīng)在_________范圍之內(nèi)(件).【答案】15≤x≤45，且x為自然數(shù)【分析】根據(jù)題干信息，可知存在不等關(guān)系，列不等式求解即可【詳解】由題意得：(150－2x)x－(50＋30x)≥1300化簡得：x2－60x＋675≤0解得：15≤x≤45，且x為自然數(shù)故答案為：15≤x≤45，且x為自然數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式，根據(jù)題意列不等式，并利用一元二次不等式的解法求解6.用一段長為30的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18，要求菜園的面積不小于216，靠墻的一邊長為，其中的不等關(guān)系可用不等式(組)表示為________.【答案】【分析】先求得矩形的邊長，結(jié)合題意列出不等關(guān)系.【詳解】矩形菜園靠墻的一邊長為，則另一邊長為，即，根據(jù)已知得.故答案為：7.甲廠以x千克/時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤元．要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，則x的最小值是______．【答案】3【分析】根據(jù)題意，由求解.【詳解】要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，則，整理得，又，所以，解得．故x的最小值是3．故答案為：38.國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點(diǎn)，即8%)．為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點(diǎn)，收購量能增加2x個百分點(diǎn)．試確定x的范圍，使稅率調(diào)低后，國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計劃的78%.[思路點(diǎn)撥]將文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言：“稅率降低x個百分點(diǎn)”即調(diào)節(jié)后稅率為(8－x)%；“收購量能增加2x個百分點(diǎn)”，此時總收購量為m(1＋2x%)噸，“原計劃的78%”即為2400m×8%×78%.[解]設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依題意，得y≥2400m×8%×78%，即－eq\f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根據(jù)x的實(shí)際意義，知x的范圍為0<x≤2.9．某校園內(nèi)有一塊長為800m，寬為600m的長方形地面，現(xiàn)要對該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．[解]設(shè)花卉帶的寬度為xm(0<x<600)，則中間草坪的長為(800－2x)m，寬為(600－2x)m.根據(jù)題意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為0＜x≤100.題型三：不等式恒成立問題10.對于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．－2＜a≤2當(dāng)a－2＝0，即a＝2時，－4＜0恒成立；當(dāng)a－2≠0，即a≠2時，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＜0，,Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－4＜0，))解得－2＜a＜2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是－2＜a≤2.11.已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]對于含參數(shù)的函數(shù)在某一范圍上的函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．[解]設(shè)函數(shù)y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2時的最小值為關(guān)于a的一次函數(shù)，設(shè)為g(a)，則(1)當(dāng)對稱軸x＝－eq\f(a,2)<－2，即a>4時，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，與a>4矛盾，不符合題意．(2)當(dāng)－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時，g(a)＝3－a－eq\f(a2,4)≥0，解得－6≤a≤2，此時－4≤a≤2.(3)當(dāng)－eq\f(a,2)>2，即a<－4時，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此時－7≤a<－4.綜上，a的取值范圍為－7≤a≤2.【能力提升】12．（多選）某輛汽車以的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為，其中為常數(shù)．若汽車以120km/h的速度行駛時，每小時的油耗為，欲使每小時的油耗不超過，則速度x的值可為（

）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】ABC【解析】先利用120km/h時的油耗，計算出的值，然后根據(jù)題意“油耗不超過”列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由汽車以120km/h的速度行駛時，每小時的油耗為，，解得：，故每小時油耗為，由題意得，解得：，又，故，所以速度的取值范圍為.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用待定系數(shù)法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是先利用120km/h時的油耗，計算出的值，然后代入根據(jù)題意解不等式，考查實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中檔題.13．不等式eq\f(x＋1x＋22x＋3,x＋4)>0的解集為________．{x|－4<x<－3或x>－1}原式可轉(zhuǎn)化為(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為－4<x<－3或x>－1.14．在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m．又知甲、乙兩種車型的剎車距離sm與車速xkm/h之間分別有如下關(guān)系：s甲xx2，s乙xx2．這次事故的主要責(zé)任方為________．【答案】乙車【分析】依題意,分別列出一元二次不等式,求出各車的最低速度,即可求解.【詳解】解:由題意列出不等式s甲xx2>12，s乙xx2>10．分別求解，得x甲<－40或x甲>30．x乙<－50或x乙>40．由于x>0，從而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．故答案為:乙車.15．通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進(jìn)入歐洲市場.2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.(1)據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實(shí)施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費(fèi)用，投入500萬歐元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬歐元作為浮動宣傳費(fèi)用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達(dá)到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售價.【答案】(1)40(2)該種玻璃的銷售量至少達(dá)到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元.【分析】（1）設(shè)出未知數(shù)，列不等式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意，得到關(guān)于的關(guān)系式，，利用基本不等式進(jìn)行求解（1）設(shè)該種玻璃的售價提高到x歐元/平方米解得：所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米（2）整理得：除以得：由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該種玻璃的銷售量至少達(dá)到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元/平方米.16.黔東南某地有一座水庫，設(shè)計最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測，汛期時水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現(xiàn)系統(tǒng)自動報警．(1)求的值；(2)當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)汛期的第9天會有危險，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件可建立方程，解出即可；（2）設(shè)第天發(fā)生危險，由題意得，解出此不等式，然后可得答案.(1)由題意得：，即(2)由（1）得設(shè)第天發(fā)生危險，由題意得，即，得．所以汛期的第9天會有危險17.為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點(diǎn)，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（）萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.(1)要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？(2)是否存在實(shí)數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)75人(2)存在，7【分析】（1）根據(jù)題意直接列出不等式可求解；（2）由條件可得，，分別利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式即可求解.(1)依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員人數(shù)為，年人均投入為萬元，則，()解得，又，，所以調(diào)整后的技術(shù)人員的人數(shù)最多75人；(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件.由技術(shù)人員年人均投入不減少有，解得.由研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入有，兩邊同除以得，整理得，故有，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，又因?yàn)?，，所以?dāng)時，取得最大值7，所以，，即存在這樣的m滿足條件，其范圍為.18.2020年11月23日，貴州宣布最后9個深度貧困縣退出貧困縣序列，這不僅標(biāo)志著貴州省66個貧困縣實(shí)現(xiàn)整體脫貧，這也標(biāo)志著國務(wù)院扶貧辦確定的全國832個貧困縣全部脫貧摘帽，全國脫貧攻堅目標(biāo)任務(wù)已經(jīng)完成.在脫貧攻堅過程中，某地縣鄉(xiāng)村三級干部在幫扶走訪中得知某貧困戶的實(shí)際情況后，為他家量身定制了脫貧計劃，政府無息貸款10萬元給該農(nóng)戶種養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤0.15萬元.若進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼娜f元全部投資網(wǎng)店，進(jìn)行農(nóng)產(chǎn)品銷售，則每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中.（1）若進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤，求的取值范圍；（2）若網(wǎng)店銷售的利潤始終不高于技術(shù)指導(dǎo)后養(yǎng)羊的利潤，求的最大值.【答案】（1）的取值范圍為；（2）的最大值為．【解析】（1）由題意得，解不等式可得結(jié)果；（2）由題意得恒成立，分離出參數(shù)得恒成立，只要利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】解：（1）由題意，得，整理得，解得，又，故．（2）由題意知網(wǎng)店銷售的利潤為萬元，技術(shù)指導(dǎo)后，養(yǎng)羊的利潤為萬元，則恒成立，又，∴恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，即的最大值為．答：（1）的取值范圍為；（2）的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查不等式的解法，第2問解題的關(guān)鍵是由恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用基本不等式求的最小值即可，屬于中檔題19.科技創(chuàng)新是企業(yè)發(fā)展的源動力，是一個企業(yè)能夠?qū)崿F(xiàn)健康持續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)．某科技企業(yè)最新研發(fā)了一款大型電子設(shè)備，并投入生產(chǎn)應(yīng)用．經(jīng)調(diào)研，該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備獲得的月利潤（單位：萬元）與投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)（，單位：萬元）有關(guān)：當(dāng)投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于36萬元時，；當(dāng)投入月研發(fā)經(jīng)費(fèi)高于36萬元時，．對于企業(yè)而言，研發(fā)利潤率，是優(yōu)化企業(yè)管理的重要依據(jù)之一，越大，研發(fā)利潤率越高，反之越?。?）求該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率的最大值以及相應(yīng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的值；（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率不低于190%，求月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍．【答案】（1）30萬元，最大值200%；（2）.【解析】（1）分別寫出與時研發(fā)利潤率關(guān)于月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的函數(shù)，再由基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求最值，取最大值中的最大者得結(jié)論；（2）由（1）可得應(yīng)付利潤率關(guān)于研發(fā)經(jīng)費(fèi)的解析式，列不等式求解的范圍即可【詳解】（1）由已知，當(dāng)時，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號；當(dāng)時，．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以．因?yàn)?，所以?dāng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)為30萬元時，研發(fā)利潤率取得最大值200%．（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤率不低于190%，由（1）可知，此時月研發(fā)經(jīng)費(fèi)．于是，令，整理得，解得．因此，當(dāng)研發(fā)利潤率不小于190%時，月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型