數(shù)學(xué)建模-層次分析法省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

層次分析法河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院第1頁目錄基本步驟1建模舉例2優(yōu)點和不足3正互反陣最大特征值和特征向量實用算法4第2頁層次分析法建模

日常生活中有許多決議問題。決議是指在面臨各種方案時需要依據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)選擇某一個方案。例1購物

買鋼筆，普通要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面原因選擇某一支鋼筆。

買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面原因選擇某種飯菜。例2旅游

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗蘇州，還是去迷人北戴河，或者是去山水甲天下桂林，普通會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等原因選擇去哪個地方。第3頁例3擇業(yè)

面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位能夠去選擇，普通依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等原因擇業(yè)。例4科研課題選擇

因為經(jīng)費等原因，有時不能同時開展幾個課題，普通依據(jù)課題可行性、應(yīng)用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等原因進行選題。第4頁

面臨各種各樣方案，要進行比較、判斷、評價、最終作出決議。這個過程主觀原因占有相當(dāng)比重給用數(shù)學(xué)方法處理問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一個能有效處理這類問題實用方法。

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一個定性和定量相結(jié)合、系統(tǒng)化、層次化分析方法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象因果關(guān)系，后者以隨機數(shù)學(xué)為工具，經(jīng)過大量觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展系統(tǒng)分析是又一個方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析數(shù)學(xué)工具之一。第5頁ThomasL.Saaty(Arabic:???????????)(born1926,Mosul,Iraq)[saaty全名ThomasL.Saaty，漢字名薩蒂，男，1926生，，美國國家工程院院士，賓夕法尼亞大學(xué)沃頓商學(xué)院教授，匹斯堡大學(xué)出色教授，層次分析法（AHP）和網(wǎng)絡(luò)程序法（ANP）創(chuàng)始人。第6頁層次分析法基本思緒：與人們對某一復(fù)雜決議問題思維、判斷過程大致一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序?qū)⒏鱾€鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第7頁一層次分析法基本步驟1建立層次結(jié)構(gòu)模型

普通分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層買鋼筆質(zhì)量顏色價格外形實用可供選擇的筆第8頁例2層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層A方案層B目標(biāo)層Z若上層每個原因都支配著下一層全部原因，或被下一層所有原因影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，不然稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。選擇旅游地景色費用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林第9頁設(shè)某層有個原因，2結(jié)構(gòu)成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）影響程度，確定在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占比重。（即把個原因?qū)ι蠈幽骋荒繕?biāo)影響程度排序）用表示第個原因相對于第個原因比較結(jié)果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩原因之間進行比較，比較時取1~9尺度。第10頁１３５７９尺度第

個原因與第個原因影響相同第

個原因比第個原因影響稍強第個原因比第個原因影響強第個原因比第個原因影響明強第個原因比第個原因影響絕對地強含義比較尺度：（1~9尺度含義）2,4,6,8表示第個原因相對于第個原因影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)含義，依據(jù)

。第11頁由上述定義知，成對比較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2旅游問題中，第二層A各原因?qū)δ繕?biāo)層Z影響兩兩比較結(jié)果以下：滿足一下性質(zhì),

,ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。第12頁由上表，可得成對比較矩陣旅游問題成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭扰判蚪Y(jié)果呢？第13頁3層次單排序及一致性檢驗層次單排序：確定下層各原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭冗^程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單例子看怎樣確定權(quán)值。比如一塊石頭重量記為1，打壞分成各小塊，各塊重量分別記為：則可得成對比較矩陣由右面矩陣能夠看出，第14頁即，但在例2成對比較矩陣中，在正互反矩陣中，若,則稱為一致陣。一致陣性質(zhì)：5.任一列(行)都是對應(yīng)于特征根特征向量。第15頁若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應(yīng)于最大特征根歸一化特征向量，且定理：階互反陣最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時，為一致陣。表示下層第個原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭葯?quán)值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人提議用其最大特征根對應(yīng)歸一化特征向量作為權(quán)向量，則這么確定權(quán)向量方法稱為特征根法.第16頁因為連續(xù)依賴于，則比大越多，不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對應(yīng)特征向量作為被比較原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭葯?quán)向量，其不一致程度越大，引發(fā)判斷誤差越大。因而能夠用數(shù)值大小來衡量不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中為對角線元素之和，也為特征根之和。第17頁則可得一致性指標(biāo)定義隨機一致性指標(biāo)隨機結(jié)構(gòu)500個成對比較矩陣隨機一致性指標(biāo)RI數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第18頁一致性檢驗：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機一致性指標(biāo)數(shù)值表，對進行檢驗過程。

普通，當(dāng)一致性比率不一致程度在允許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，不然要重新結(jié)構(gòu)成對比較矩陣，對加以調(diào)整。時，認為第19頁4層次總排序及其一致性檢驗

確定某層全部原因?qū)τ诳偰繕?biāo)相對主要性排序權(quán)值過程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進行。設(shè)：對總目標(biāo)Z排序為層次單排序為第20頁即層第個原因?qū)偰繕?biāo)權(quán)值為：層層次總排序為：B層層次總排序AB第21頁層次總排序一致性檢驗設(shè)層對上層(層)中原因?qū)哟螁闻判蛞恢滦灾笜?biāo)為，隨機一致性指為，則層次總排序一致性比率為：當(dāng)時，認為層次總排序經(jīng)過一致性檢驗。到此，依據(jù)最下層（決議層）層次總排序做出最終決議。第22頁1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

該結(jié)構(gòu)圖包含目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法基本步驟歸納以下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.結(jié)構(gòu)成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗經(jīng)過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不經(jīng)過，需要重新結(jié)構(gòu)成對比較矩陣。第23頁計算最下層對最上層總排序權(quán)向量。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗進行檢驗。若經(jīng)過，則可按照總排序權(quán)向量表示結(jié)果進行決議，不然需要重新考慮模型或重新結(jié)構(gòu)那些一致性比率較大成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第24頁二層次分析法建模舉例旅游問題(1)建立模型分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。第25頁（2）結(jié)構(gòu)成對比較矩陣第26頁(3)計算層次單排序權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣最大特征值表明經(jīng)過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)歸一化特征向量第27頁

對成對比較矩陣能夠求層次總排序權(quán)向量并進行一致性檢驗，結(jié)果以下：計算可知經(jīng)過一致性檢驗。第28頁對總目標(biāo)權(quán)值為：（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗又決議層對總目標(biāo)權(quán)向量為：同理得，對總目標(biāo)權(quán)值分別為：故，層次總排序經(jīng)過一致性檢驗。第29頁可作為最終決議依據(jù)。故最終決議應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案權(quán)重排序為第30頁（5）MatLab編程計算1.結(jié)構(gòu)成對比較矩陣形成文本文件11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/53111251/2121/51/2111/31/8311/38311131131/31/311341/3111/411111/4111/4441第31頁clc,clearfid=fopen('txt3.txt','r');n1=5;n2=3;a=[];fori=1:n1tmp=str2num(fgetl(fid));a=[a;tmp];%讀準(zhǔn)則層判斷矩陣endfori=1:n1str1=char(['b',int2str(i),'=[];']);str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';tmp];']);eval(str1);forj=1:n2tmp=str2num(fgetl(fid));eval(str2);%讀方案層判斷矩陣endend2.編寫代碼讀入數(shù)據(jù)文件第32頁ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45];%一致性指標(biāo)[x,y]=eig(a);lamda=max(diag(y));num=find(diag(y)==lamda);w0=x(:,num)/sum(x(:,num));cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)（3）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗fori=1:n1[x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)])));lamda=max(diag(y));num=find(diag(y)==lamda);w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num));cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);endcr1,ts=w1*w0(4)計算層次單排序權(quán)向量和一致性檢驗第33頁(5)計算層次總一致性檢驗cr=cr1*w0(6)計算結(jié)果cr0=0.0161cr1=0.00480.0013-0.00000.00790ts=0.29930.24530.4554cr=0.0027因為計算截斷誤差使得結(jié)果與前面有出入，但結(jié)論是一致。第34頁三層次分析法優(yōu)點和不足1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合思維方式進行決議，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來系統(tǒng)分析主要工具。2實用性

層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)最優(yōu)化技術(shù)無法著手實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決議者與決議分析者能夠相互溝通，決議者甚至能夠直接應(yīng)用它，這就增加了決議有效性。第35頁3簡練性

含有中等文化程度人即能夠了解層次分析法基本原理并掌握該法基本步驟，計算也非常簡便，而且所得結(jié)果簡單明確，輕易被決議者了解和掌握。以上三點表達了層次分析法優(yōu)點，該法局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一只能從原有方案中優(yōu)選一個出來，沒有方法得出更加好新方案。第36頁第二該法中比較、判斷以及結(jié)果計算過程都是粗糙，不適合用于精度較高問題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀