專題2.8 圓與圓的位置關(guān)系【七大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題2.8圓與圓的位置關(guān)系【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓與圓的位置關(guān)系的判定】 2【題型2由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)】 3【題型3兩圓的公切線長(zhǎng)】 5【題型4兩圓的公切線方程或條數(shù)】 8【題型5相交圓的公共弦方程】 11【題型6兩圓的公共弦長(zhǎng)】 12【題型7圓系方程及其應(yīng)用】 15【知識(shí)點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系及判定】1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無(wú)②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時(shí)，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.【題型1圓與圓的位置關(guān)系的判定】【例1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓O：x2+y2=1與圓C:x2+y2+6y+5=0的位置關(guān)系是（

A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【解題思路】利用兩圓外切的定義判斷即可.【解答過(guò)程】圓O是以O(shè)(0,0)為圓心，半徑r圓C:x2+y2+6y+5=0改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為x則OC=3，r1故選：C.【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）圓O1:x-2A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【解題思路】計(jì)算兩圓圓心距離，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【解答過(guò)程】圓O1圓心為O12,0，半徑為r1=2，圓O則兩圓的圓心距為O1O2則圓O1與圓O故選：D.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓O1，與圓O2的半徑分別為2和6，圓心距為4，則這兩圓的位置關(guān)系是（A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【解題思路】根據(jù)給定條件，利用圓心距與兩圓半徑和差大小關(guān)系判斷作答.【解答過(guò)程】依題意，圓O1與圓O2的圓心距4等于圓O2的半徑6減去圓所以圓O1內(nèi)切于圓O故選：D.【變式1-3】（2023春·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓C1:x2+A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【解題思路】先將兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定即可.【解答過(guò)程】?jī)蓤A化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得C1:(可知半徑r1=4，r2而3=r故選：C.【題型2由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)】【例2】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知圓x2+y2=4與圓xA．7 B．8 C．9 D．10【解題思路】由兩圓外切,則兩圓心間的距離等于兩半徑之和可得答案.【解答過(guò)程】由圓x2+y2=4由圓x2+y2-6x因?yàn)閮蓤A外切，所以MN=r1+r故選：D.【變式2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“a＝3”是“圓x2+y2=1與圓xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】當(dāng)兩圓外切時(shí)，a＝－3或a＝3；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，a＝1或a＝－1．再利用充分必要條件的定義判斷得解.【解答過(guò)程】解：若圓x2+y當(dāng)兩圓外切時(shí)，(-a-0)2+02=2+1，所以當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，(-a-0)2+02=2-1，所以當(dāng)a=3時(shí)，圓x2+所以“a＝3”是“圓x2+y2=1當(dāng)圓x2+y2=1所以“a＝3”是“圓x2+y2=1所以“a＝3”是“圓x2+y2=1故選：A.【變式2-2】（2023秋·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）已知圓M:x2+y2=1A．3 B．32 C．5 D．【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AM:x2所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，即m-解得3≤m≤5，選項(xiàng)ABC滿足，m故選：D.【變式2-3】（2023秋·貴州黔東南·高二?？计谀┮阎獔AC1:x2+y2A．1,2+1 BC．1,2+1 D【解題思路】根據(jù)兩圓相交的性質(zhì)直接得出.【解答過(guò)程】由題意知，圓心C10,0與圓心則圓心距C1因?yàn)閳AC1與圓C則圓C1與圓C則r-解得22故選：B.【知識(shí)點(diǎn)2兩圓的公切線】1．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.【題型3兩圓的公切線長(zhǎng)】【例3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線l與圓C1:x+12+y2=1，圓CA．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，推導(dǎo)出C1為MC2的中點(diǎn)，A為BM【解答過(guò)程】如下圖所示，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，由于直線l與圓C1:x+12+y則AC1⊥l，∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故選：C.【變式3-1】（2022秋·廣東云浮·高二?？计谥校┮阎獔AA的方程為x2+y2-(1)判斷圓A與圓B是否相交，若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求兩圓的公切線長(zhǎng).【解題思路】（1）根據(jù)圓心距判斷圓的位置關(guān)系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)公切線的性質(zhì)，利用圓心距、半徑差、公切線構(gòu)成的直角三角形求解.【解答過(guò)程】（1）圓A：x-12+y兩圓心距AB=∵3-2<AB∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對(duì)應(yīng)相減得：4x此即為過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程.設(shè)兩交點(diǎn)分別為C、D，則AB垂直平分線段CD，∵A到CD的距離d=∴CD=2（2）設(shè)公切線l切圓A、圓B的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEFB是直角梯形.∴EF2∴EF=【變式3-2】（2023·高二單元測(cè)試）已知圓C1:(1)判斷兩圓的位置關(guān)系，并求它們的公切線之長(zhǎng)；(2)若動(dòng)直線l與圓C1交于P，Q，且線段PQ的長(zhǎng)度為26，求證：存在一個(gè)定圓C，直線l【解題思路】（1）求出兩圓的圓心和半徑，判斷圓心距與半徑之差、半徑之和的關(guān)系即可判斷兩圓的位置關(guān)系，設(shè)直線RS分別與圓C1,C2切于R，（2）利用幾何法求得點(diǎn)C11,2到直線l的距離為定值，即可得定圓C【解答過(guò)程】（1）由圓C1:(x-由圓C2:(x-C1所以1=r1-r設(shè)直線RS分別與圓C1,C2切于R，在直角梯形C1C2所以|RS|=C（2）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為D，則C1因?yàn)閯?dòng)直線l與圓C1交于P，Q，且線段PQ的長(zhǎng)度為2所以C1又因?yàn)镃1D⊥PQ，所以點(diǎn)C1所以直線l總與圓(x所以存在一個(gè)定圓C:(x-【變式3-3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：x2+y2-4x=0(1)求圓C1和圓C(2)在圓C1上是否存在點(diǎn)P，使得PA2+【解題思路】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，根據(jù)同側(cè)異側(cè)兩種情況計(jì)算公切線段長(zhǎng)度得到答案.（2）存在Px,y滿足條件，根據(jù)題意化解得到【解答過(guò)程】（1）圓C1：x2+y2-4x圓C2：x2+y2+4x+3=0，即圓心距為4>r1+當(dāng)兩圓在公切線同側(cè)時(shí)：l1當(dāng)兩圓在公切線異側(cè)時(shí)：l2綜上所述，公切線段長(zhǎng)為15或7.（2）假設(shè)存在Px,y化簡(jiǎn)得到：x2+y-1r1-故點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.【題型4兩圓的公切線方程或條數(shù)】【例4】（2023秋·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1：x2+y2=1與圓C2：xA．3x-4C．4x-3【解題思路】由兩圓的位置關(guān)系得出m，進(jìn)而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【解答過(guò)程】圓C1：x2+y2=1的圓心(x-4)2+(y因?yàn)閳AC1與圓C2相內(nèi)切，所以r2-1=由x2+y即C1與C2的公切線方程為故選：D.【變式4-1】（2022秋·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）圓C1:(x+2)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).【解答過(guò)程】圓C1:(x+2)圓C2:(x+1)所以兩圓的圓心距為d=因?yàn)?-3<17所以兩圓的公切線有2條.故選：B.【變式4-2】（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知圓M:x-22+y-1A．y=0 B．C．x-2y【解題思路】計(jì)算兩圓的圓心和半徑，可得兩圓相離，有四條公切線，兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則有兩條切線過(guò)原點(diǎn)O，另兩條切線與直線MN平行且相距為1，數(shù)形結(jié)合可計(jì)算四條切線方程，結(jié)合選項(xiàng)，即得解【解答過(guò)程】由題意，圓M:x-2圓N:x+22如圖所示，兩圓相離，有四條公切線.兩圓心坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則有兩條切線過(guò)原點(diǎn)O，設(shè)切線l:y=kx，則圓心到直線的距離2k另兩條切線與直線MN平行且相距為1，又由lMN設(shè)切線l:y=12結(jié)合選項(xiàng)，可得D不正確.故選：D.【變式4-3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1：x2+y-a2=a2a>0的圓心到直線A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【解題思路】先根據(jù)題意求得a=2，從而得到兩圓的圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內(nèi)切，即可知道公切線只有1條【解答過(guò)程】圓C1：x2+y-所以圓心到直線x-y-2=0的距離為d=因?yàn)閍>0，所以a所以圓C1：x2+y-圓C2：x2+圓心坐標(biāo)為C21,2，半徑圓心距d=所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．【知識(shí)點(diǎn)3兩圓的公共弦】1．兩圓的公共弦問(wèn)題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿足且，所以.即點(diǎn)適合直線方程，故在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③表示過(guò)兩圓與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng).【題型5相交圓的公共弦方程】【例5】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C1：x2+A．3x+4yC．3x-4【解題思路】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.【解答過(guò)程】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.【變式5-1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知圓C1:x2+y2-kxA．1,-12 BC．-1,-12【解題思路】計(jì)算公共弦所在直線為-kx+2y-【解答過(guò)程】圓C1:x-kx+2y-2ky+1=0故直線過(guò)定點(diǎn)1,-1故選：A.【變式5-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P(3,0)作圓O:(x-1)2A．x-3yC．3x-y【解題思路】求出以P(3,0)、O(1,23【解答過(guò)程】圓O:(x-1)以P(3,0)、O(1,23)為直徑,則PO的中點(diǎn)坐標(biāo)為∴以N為圓心，PO為直徑的圓的方程為(x因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(3,0)圓O:(x-所以AB是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦AB所在直線的方程為：x-故選：A．【變式5-3】（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓C1:x2+y2=1與圓C2A．2ax+byC．2ax+2by【解題思路】將兩圓方程相減得到直線AB的方程為a2+b2-2【解答過(guò)程】將兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2即2ax因?yàn)閳AC1的圓心為(0,0)，半徑為1，且公共弦AB的長(zhǎng)為1則C1(0,0)到直線2ax所以a2+b所以直線AB的方程為2ax故選：D.【題型6兩圓的公共弦長(zhǎng)】【例6】（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）圓O1:x2+A．5 B．10C．25 D．【解題思路】?jī)蓤A的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓O1公共弦長(zhǎng)公式d=2r【解答過(guò)程】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程x2兩式相減可得公共弦方程x-圓O1:x2+圓心O10,2到公共弦的距離為公共弦長(zhǎng)為d=2故選:C.【變式6-1】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二校考期末）圓C1：x2+y2-4=0A．2 B．4 C．2 D．2【解題思路】計(jì)算圓心距確定兩圓相交，得到公共弦為x-y【解答過(guò)程】圓C1：x2+y2圓C2：x-22+圓心距d=22聯(lián)立兩圓方程x2+y即公共弦所在直線的方程為x-故圓心0,0到公共弦的距離為2，公共弦長(zhǎng)為：2r故選：D.【變式6-2】（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓C1:x2+A．12 B．1 C．32 D【解題思路】將兩圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程得出兩圓圓心均在直線y=x【解答過(guò)程】由x2+y2+2ax+2由C2:x2+y2所以兩圓圓心均在直線y=x上，半徑分別為1和

如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過(guò)小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時(shí)，兩圓公共弦長(zhǎng)最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.故選：D.【變式6-3】（2022秋·河南·高二校聯(lián)考期中）已知圓O:x2+y2=r2r>0與圓C:xA．95 B．165 C．245【解題思路】設(shè)OC∩AB=M，分析可知點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，由四邊形OACB的面積為3r，可得出AB的長(zhǎng)，利用勾股定理可得出關(guān)于r【解答過(guò)程】如下圖所示：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x+42+y+3由題意可知，OA=OB，CA=CB，所以，∠AOC=∠BOC設(shè)OC∩AB=M，則故四邊形OACB的面積為S=12故AM=12∴CM=AC所以，9-9r225=5-故選：C.【知識(shí)點(diǎn)4圓系方程及其應(yīng)用】1．圓系方程及其應(yīng)用技巧具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫作圓系方程.常見(jiàn)的圓系方程有以下幾種：

(1)以(a,b)為圓心的同心圓系方程是.

(2)與圓同心的圓系方程是.

(3)過(guò)同一定點(diǎn)(a,b)的圓系方程是.

(4)過(guò)直線Ax+By+C=0與圓的交點(diǎn)的圓系方程是.(5)過(guò)兩圓:和:的交點(diǎn)的圓系方程是().(其中不含有:,注意檢驗(yàn)是否滿足題意,以防漏解).①當(dāng)時(shí)，l:為兩圓公共弦所在的直線方程.②當(dāng)兩圓相切(內(nèi)切或外切)時(shí)，l為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的直線方程.【題型7圓系方程及其應(yīng)用】【例7】（2