最優(yōu)控制理論考試重點(diǎn)

1．最優(yōu)控制問(wèn)題的性能指標(biāo)(1)積分型性能指標(biāo)(拉格朗日型)：J(u)=ItfL[x(t),u(t),t]dtt0反映控制進(jìn)程誤差在某種意義下的平均或控制進(jìn)程的快速性，同時(shí)能反映燃料或能量的消耗。(2)末值型性能指標(biāo)(梅耶型)：J(u)=0[x(t),t]，接近目標(biāo)集程度，即末態(tài)控制精度的氣宇。⑶綜合性能指標(biāo)(鮑爾扌L型)：J(u)二機(jī)x(t),t]+ItfL[x(t),u(t),t]dto2．最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型fft02．最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型?It=t,x(t)=x給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程：x(t)=f[x(t),心];狀態(tài)方程的邊界條件：[=t0,x(t0)e&給定性能指標(biāo)：J(u)=0[x(t),t]+1tfL[x(t),u(t),t]dt；允許控制域u(t)：u(t)eU。fft03．最優(yōu)控制應(yīng)用的幾種類型：最短時(shí)刻控制，最小能量控制，線性調(diào)節(jié)器，最少燃料消耗控制，線性跟蹤器。4．選取性能指標(biāo)注意：應(yīng)能反映對(duì)系統(tǒng)的主要技術(shù)條件要求，便于對(duì)最優(yōu)控制進(jìn)行求解，所導(dǎo)出最優(yōu)控制易于實(shí)現(xiàn)。5．邊界條件：指狀態(tài)向量在起點(diǎn)或終點(diǎn)的所有允許值的集合。6．橫截條件：依據(jù)性能指標(biāo)的要求，從允許值的集合當(dāng)選擇哪一點(diǎn)作為始態(tài)或終態(tài)的問(wèn)題。泛函：對(duì)于某一類函數(shù)y(?)中的每一個(gè)函數(shù)y(x),變量J都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量J稱作依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為：J=J[y(x)],y(x)稱為泛函的宗量。宗量的變分：5y二y(x)-y0(x)。泛函的持續(xù)性：對(duì)任意給定的正數(shù)￡,總存在另一個(gè)正數(shù)5，當(dāng)|y(x)—y0(x)|<5,|y(x)—y0(x)|<5y(k)(x)—y(k)(x)<5，…時(shí)，|J[y(x)]—J[y0(x)]|<￡，貝9稱泛函J[y(x)]在點(diǎn)y0(x)處是持續(xù)的，而現(xiàn)在y(x)與y0(x)具有k階接近度。J[y(x)]知足：(1)J[y(x)+y(x)]=J[y(x)]+J[y(x)]，(2)J[ay(x)]=aJ[y(x)]1212貝稱其為線性泛函。泛函的變分(計(jì)算題)設(shè)泛函J[y(x)]為持續(xù)泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分，記為：5J。泛函的變分是唯一的。泛函J[y(x)]的求解：5J[y(x)]=J[y(x)+eSy(x)]。des=0dx(t)dx(t)J=ftfL[t,x(t),x(t)]dt，則J=Itf{dL[t，x(())x(t)]5x(t)+dL[t，x(()：x(t)]5x(dx(t)dx(t)t0t0性能指標(biāo)為=IQ性能指標(biāo)為=IQ丄+龍'dt*0由歐拉方程cl例=確定點(diǎn)A(0,1>至給定直踐回門=2-f的最短的曲線方程?解：由A至甲的弧長(zhǎng)層=J3亍+(dx)2=Vl+x2dt■?丫(￡、一￥十■?丫(￡、一￥十1對(duì)于與y0(x)接近的曲線y(x),泛函J[y(x)]的增量2)可變端點(diǎn)：歐拉方程：L—￡■L=0，橫截條件：xdtx積分律a/13-</)=E+b抿據(jù)始踹條件抿揺終端橫戳條件，[￡I(i^r—x)Z.^]f_JlI0I(—1—◎、jp—°pi亠-L得最優(yōu)軌線方程；±一°一丄泛函的極值A(chǔ)J=J[y(x)]—J[y0(x)]'0或人丿=J[y(x)]-J[y0(x)]<0，則泛函J[y(x)]在曲線y0(x)上達(dá)到極值。泛函極值定理:若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上達(dá)到極值，則在y=y0(x)上的變分為零，即5J=0。歐拉方程：(1)一()]=。或厶一L=0，展開(kāi)形式為L(zhǎng)一L一xL一xL=0。exdtexxdtxxxtxxxx(2)L中不顯含t時(shí)，即L=L(x,x)，現(xiàn)在L—xL=C。x無(wú)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題(思路)(解題步驟)(計(jì)算)(1)端點(diǎn)固定：歐拉方程：L—dL=0。xdtx),),t]+JtfL[x(t),u(t),t]dt，泛函極值ft0[L+帥—x)L]二0;x(t)二x,x(t)二屮(txtf00ff[L+伸—x)L]二0;x(t)=Q(t),x(t)二x

Ixt000ft7.具有等式約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題：J(u)=0[x(t必要條件為：6H.0h0h狀態(tài)方程：x=-=f[x,u,t]，協(xié)態(tài)方程：九=——，控制方程(極值條件)：―~=0,弘excu

cQ?QgT叫—冊(cè)吞v，cQ?QgT叫—冊(cè)吞v，橫截條件：端點(diǎn)約束：00端點(diǎn)約束.g[x(t),t]二0ffH(t)++vt二0。fdtdt8．應(yīng)用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題步驟如上，第一列寫哈密爾頓函數(shù)H=L+九Tf,橫截條件用于補(bǔ)充所缺少的邊界條件。dFddF—0dFddF—0dFdxdtdx，橫截條件：n(t)dx7oQ2L.Q2Lx—0^或L—L—Lx—Lx—0xtxxxxx(1)J(x)取極值的必要條件為：歐拉方程:(2)歐拉方程的展開(kāi)形式：學(xué)-些—x—:—QxQtQxQxQxQx2(3)不同函數(shù)F的歐拉方程：QFQ2FQ2FQ2F1)F[x(t),t]：亍—0；2)F[x(t),t]:—x—0；3)F[x(t),t]:—x+-—0；4)—[x(t),x(t)]:QaQ卩——04)—[x(t),x(t)]:QaQ卩——0oQxQtx+——0；5)—[x(t),x(t),t]—a(x,t)+P(x,t)x:Qx2QxQtQx持續(xù)系統(tǒng)的最小值原理沿最優(yōu)軌線函數(shù)H相對(duì)最優(yōu)控制u*(t)取絕對(duì)極小值，這是極小值原理的一個(gè)重要結(jié)論。H[x*(t),九(t),u*(t),t]—minH[x*(t),九(t),u(t),t]u(t)gU設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(t)—f[x(t),u(t),t]，控制u(t)是有第一類中斷點(diǎn)的分段持續(xù)函數(shù)，屬于p維空間中的有界閉集Q,知足不等式約束：G[x(t),u(t),t]>0，在終端時(shí)刻tf未知的情形下，為使?fàn)顟B(tài)自初態(tài)x(t)—x，轉(zhuǎn)移到知足邊界條件M[x(t),t]—0的終態(tài)，00ff并使性能指標(biāo)J—0[x(t),t]+ftfF[x(t),u(t),t]dt達(dá)極小值。fftt0設(shè)哈密而頓函數(shù)為H—F(x,u,t)+九Tf(x,u,t)則最優(yōu)控制u*(t)，最優(yōu)軌線x*(t)和最優(yōu)伴隨向量入*(t)必需知足下列條件：QHQHQG(1)沿最優(yōu)軌線知足正則方程：x—，九--—()Tr，式中r是與時(shí)刻t無(wú)Q九QxQxQH關(guān)的拉格朗日乘子向量，其維數(shù)與G相同，若G中不包括X,貝y：九--〒oQx[H(x,u,九,t)+QQ0+()T[H(x,u,九,t)+QQ0+()TV]QtQtt=tfx(t)—x，00fQxQxt—tM[x(t),t]—0o(3)在最優(yōu)軌線x*(t)上與最優(yōu)控制u*(t)相對(duì)應(yīng)的H函數(shù)取絕對(duì)極小值，即H(x*,X*,u*,t)<H(x*,X*,u,t)，QHQG而且沿最優(yōu)軌線，下式成立=-()troQuQu上述條件與不等式約束下的最優(yōu)控制的必要條件相較較，橫截條件及端點(diǎn)邊界條件沒(méi)有QH改變，僅亍—0這一條件不成立，而代之以與最優(yōu)控制相對(duì)應(yīng)的函數(shù)為絕對(duì)極小，第二是Qu正則方程略有改變，僅當(dāng)G中不包括x時(shí)，方程才不改變。1．砰-砰控制原理：若線性定常系統(tǒng)X(t)=Ax+Bu屬于普通情形，則其最短時(shí)刻控制為u*(t)二-Msgn[Bt九*(t)]，u*(t)的各個(gè)分量都是時(shí)刻的分段恒值函數(shù),并均取邊界值，稱此為Bang-Bang原理。即u*(t)二-sgn[q*(t)]二一sgn{^b(t”*(t)},(j二1,2,...,m)jjijiJi=1或u*(t)=—sgn[Q(t)]=—sgn{BT[x*(t),t]X*(t)}。2.普通最短時(shí)刻控制系統(tǒng)：q*只是在各個(gè)孤立的瞬刻才取零值，u*是有第一類中斷點(diǎn)的分段恒值函數(shù)。3．奇異(非普通)最短時(shí)刻控制系統(tǒng)：q*在一段區(qū)間取零值。并非意味著在該區(qū)間內(nèi)最優(yōu)控制不存在，僅表明，從必要條件不能推出確切關(guān)系式。若是九*t(t)b在某一時(shí)刻區(qū)間內(nèi)維持為零，則u*(t)為不肯定值，這種情形稱為奇異問(wèn)題或非普通問(wèn)題，相應(yīng)的時(shí)刻區(qū)段稱為奇異區(qū)段。當(dāng)整個(gè)時(shí)刻區(qū)間內(nèi)不出現(xiàn)奇異區(qū)段時(shí)，則稱為非奇異問(wèn)題或普通問(wèn)題，對(duì)于普通問(wèn)題，有以下幾個(gè)概念及定理。砰--砰控制原理也稱為繼電器型控制或開(kāi)關(guān)控制，其主要特點(diǎn)是控制向量的分量都取控制域的邊界，而且不斷的從一個(gè)邊界值切換到另一個(gè)邊界值，從而組成一種最強(qiáng)的控制作用。砰-砰控制實(shí)質(zhì)是普通時(shí)刻最優(yōu)問(wèn)題，其最優(yōu)解也就是控制器的輸出是一個(gè)類似于繼電器動(dòng)作的開(kāi)關(guān)式動(dòng)作。最短時(shí)刻控制存在定理：若線性定常系統(tǒng)X(t)=Ax+Bu完全能控，矩陣A的特征值均具有非正實(shí)部，控制變量知足不等式約束lu(t)IWM,貝y最短時(shí)刻控制存在。最短時(shí)刻控制的唯一性定理：若線性定常系統(tǒng)X(t)=Ax+Bu屬于普通情形，若時(shí)刻最優(yōu)控制存在，則一定是唯一的。開(kāi)關(guān)次數(shù)定理：若線性定常系統(tǒng)X(t)=Ax+Bu控制變量知足不等式約束Iu(t)IWM,矩陣A的特征值全數(shù)為實(shí)數(shù)，若最短時(shí)刻控制存在。則必為Bang-Bang控制，而且每一個(gè)控制分量在兩個(gè)邊界值之間的切換次數(shù)最多不超過(guò)n-1次。切換點(diǎn)為q*(t)=b九=0。jj系統(tǒng)普通的充要條件：當(dāng)且僅當(dāng)m個(gè)矩陣G=氣,Abj,A2b,...,An-ib]中全數(shù)為非奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)是普通的。(至少有一個(gè)為奇異矩陣時(shí)，系統(tǒng)是奇異的。)雙積分模型的物理意義：慣性負(fù)載在無(wú)阻力環(huán)境中運(yùn)動(dòng)。fx(t)=x(t)雙積分模型仁12的最短時(shí)刻控制問(wèn)題，求解進(jìn)程為：Ix(t)=u(t)21)應(yīng)用最小值原理得出最優(yōu)控制表達(dá)式u*=—sgn[九2(t)]；2)解協(xié)態(tài)方程，結(jié)合開(kāi)關(guān)次數(shù)定理，列出最優(yōu)控制的候選函數(shù)序列(4種)；3)在狀態(tài)平面上分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線，尋覓開(kāi)關(guān)曲線，總結(jié)控制規(guī)律；4)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最短時(shí)刻。解題步驟：1)判斷系統(tǒng)是不是能控：rank(G)=rank([b,Ab,A2b,...,An-"])是不是等于n，A的特征值是不是全數(shù)有jjjjj非正實(shí)部。.QH2)列寫H函數(shù)：H=L+九Tf；3)伴隨方程：九=-丁；4)極值條件：QxH(x*,X*,u*,t)<H(x*,X*,u,t)。

5)最優(yōu)控制規(guī)律：u*(t)線。-5)最優(yōu)控制規(guī)律：u*(t)線。-M,q>0

=<+M,q<0；6)、不定,q=0Iu=+M時(shí)，求解x*(t)

u=-M時(shí)，求解x*(t)7)肯定開(kāi)關(guān)曲聚散原理：若燃料控制是平凡的，則最優(yōu)控制各分量u*都是時(shí)刻分段橫值函數(shù)，并在-1,0,+1三個(gè)值之間切換。q(t)~j—在某個(gè)(或jq(t)~j—在某個(gè)(或j普通燃料最優(yōu)問(wèn)題：甘只在孤立點(diǎn)等于1；非普通燃料最優(yōu)問(wèn)題:某些)區(qū)間內(nèi)等于1?！胀ㄗ钌偃剂峡刂频某浞謼l件：det[G;AT]豐0o最優(yōu)解唯一性定理：系統(tǒng)是普通的且最少燃料控制存在，則最少燃料控制必然是唯一的，且目標(biāo)泛函的相對(duì)極小值也是唯一的。Ix(t)=x(t)雙積分模型<的最少燃料控制問(wèn)題：Ix(t)=u(t)21)判斷其普通性：該系統(tǒng)是奇異的(則最少燃料控制不必然是唯一的)。最優(yōu)控制表達(dá)式：u*=-dez{~c^~}=-dez{BT九}=-dez(九?)。3)利用協(xié)態(tài)方程求解九2(t)，肯定u(t)9種可能的控制序列作為候選函數(shù)。5)計(jì)算在狀態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)程中燃料的消耗。燃料消耗量的下限|x20|，所以，若是能找到一個(gè)控制，差遣狀態(tài)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)的燃料消耗為|x20|，則該控制肯定是燃料最優(yōu)控制。6)以此為依據(jù)來(lái)選擇最優(yōu)控制序列(最優(yōu)軌線)雙積分模型的最少燃料控制問(wèn)題，求解進(jìn)程為：1)應(yīng)用最小值原理得出最優(yōu)控制表達(dá)式；2)解協(xié)態(tài)方程，列出最優(yōu)控制的候選函數(shù)序列(9個(gè))；燃料消耗量的下限為；4)在狀態(tài)平面上分析狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線，尋覓開(kāi)關(guān)曲線，總結(jié)控制規(guī)律；計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移的所需時(shí)刻、消耗燃料。結(jié)論：⑴(x1o,x20)刊+普通情形：只有{+1}序列可差遣系統(tǒng)狀態(tài)抵達(dá)原點(diǎn)，故為問(wèn)題的解。非普通情形：因?yàn)閡*(t)=-sgn仏)?v(t)，v(t)<1，則系統(tǒng)狀態(tài)不可能抵達(dá)原點(diǎn)。u*u*(t)dt=ftfu*(t)dt=xo2t0f=-x201)u*=1為最優(yōu)解；2)消耗燃料P(x,t0f=-x2010200⑵(x10,x20)GR4

非普通情形：u*(t)二—sgn(X20)?v(t),v(t)vl，能夠找到許多v(t)，使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。且燃料消耗為|x20|，因此都是最優(yōu)控制。普通情形：只有序列｛0,+1｝和｛-1,0，+1｝可差遣系統(tǒng)狀態(tài)抵達(dá)原點(diǎn)。其中：｛0,+1｝控制下，燃料消耗為|x20|，｛-1，0，+1｝，燃料消耗大于憶訃。結(jié)論：｛0,+1｝為最優(yōu)控制序列，且在各類情形下其響應(yīng)時(shí)刻最短。(3)(X,x)GR10201普通情形：只有序列｛-1，0,+1｝可差遣系統(tǒng)狀態(tài)抵達(dá)原點(diǎn)。結(jié)論：燃料控制問(wèn)題無(wú)解(￡-燃料最優(yōu)控制)。雙積分裝置最少燃料問(wèn)題的控制規(guī)律如下：;(H=-1T.；<0}Y;(H=-1T.；<0}Y：==+1rrh=+1工、紜嚴(yán)打=—](工)，x_rf+=OO：i*芯)ml_J不仔在(“亠工)芒尺LJ冬根據(jù)什么原則選取狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌跡°最少燃料控制為三位式控制，存在(+1，0，-1)三種控制狀態(tài)，與最短時(shí)刻控制相較，多1個(gè)u=0的控制狀態(tài)，這意味著：在狀態(tài)轉(zhuǎn)移的某些階段，可借助系統(tǒng)中積存的能量來(lái)維持運(yùn)動(dòng)，根本不需要消耗能量。雙積分裝置最少燃料系統(tǒng)的最優(yōu)解取決于初態(tài)的位置。即可無(wú)解，也可唯一解或多個(gè)解。這意味著，同一個(gè)問(wèn)題，在某些初值下是普通的，在另一些初值下是非普通的。單考慮燃料最少，相應(yīng)可能太慢，應(yīng)與時(shí)刻綜合考慮。如：采歷時(shí)刻燃料綜合最優(yōu)的指標(biāo)函數(shù)，J[u(t)]=Jtf[K+|u(t)|]dt。0

兀B!■2：2：I/；r-j.杲短時(shí)間控制與最少燃料控制的相互關(guān)系本質(zhì)：雖短時(shí)間控制憲消耗燃料減少時(shí)間.最少時(shí)間控制則克延長(zhǎng)時(shí)間來(lái)節(jié)省燃料=占兀B!■2：2：I/；r-j.杲短時(shí)間控制與最少燃料控制的相互關(guān)系本質(zhì)：雖短時(shí)間控制憲消耗燃料減少時(shí)間.最少時(shí)間控制則克延長(zhǎng)時(shí)間來(lái)節(jié)省燃料=占最少燃料控制時(shí)間、燃料綜合最優(yōu)雖短時(shí)間腔制看=[ABFl，ACEO時(shí)間最短珀三.方式只少燼?注3—11養(yǎng)性二次型問(wèn)題的提濫詢二押詢+即加)3—11設(shè)踐性時(shí)孌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為wmw、個(gè)設(shè)控制向量川門不受約束.用叫⑴表示期望輸出、則誤差向量關(guān)e(/t-yjf)-y(/)(G-2)求最優(yōu)控制/⑴*使下列二次型性能指標(biāo)最小、JW=斗/(?恥厲)+*『［eT(f)Q(f)e(t)+吹)5(加⑴］出(6-3：胃一半正定對(duì)稱常數(shù)加權(quán)矩陣Q(t)—半正定對(duì)稱時(shí)變加權(quán)矩陣血⑴一正定對(duì)稱時(shí)變加權(quán)矩陣?及“固定正定二次型甘v尹彷…-捫掬半正-定二次型……恢■護(hù)召----屛禺色勺-；實(shí)對(duì)稱陣A為正定(半正是)的充要條件屋全部特征值X)<「加權(quán)矩陣總可化為對(duì)秫形式.OOO■J\u)-￡嚴(yán)(/,)膾(rJ丨*『疔0r1^(/14-u(t)TR(t)n(f)］dt〔〔、一m性能指標(biāo)的物理含義’兀=寺貞。7"。?kG)>0—狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中斷量v("大小的代價(jià)函數(shù)/?=歸加門汕一:弋卻朝緲兀L盤量訊f)丿???■?、勺氏仃環(huán)|?轅心=\YF叩—坯卒吭血I.佔(zhàn)連己滙J線性二氏型問(wèn)題的本質(zhì)：用不大的腔制「來(lái)保持較屮的誤差’以達(dá)到能雖和誤差綜合最優(yōu)的目的線性二次型問(wèn)題的三種重要情形：対)=占⑴心+哄加("(6-1).vtn-cX；j.v(/>曲)=卞衛(wèi))一譏0(6-2)I)Ci7)-2__v,(/)-0__y(i)-xih--e(!)__曲侗磚口九芒)—0'■⑴—W)輸匚詞弓器卜I-@"1亙〕_“匚亦卜吊壓?jiǎn)栠|矩陣F,Q(t),R(t)的每一元素，都是對(duì)應(yīng)二次項(xiàng)的系數(shù)。意義：是借以衡量各個(gè)誤差分量和控制分量重要程度的加權(quán)矩陣。對(duì)于重要的誤差分量或控制分量，其系數(shù)取較大值；對(duì)于次要的誤差分量或控制分量，系數(shù)取較小值；而對(duì)于互不相關(guān)的誤差分量或控制分量，系數(shù)取零值。狀態(tài)調(diào)節(jié)器：用不大的控制能量，使?fàn)顟B(tài)維持在零值周