2022-2023學(xué)年河南省焦作市高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省焦作市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解一元二次不等式，然后由集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以解不等式可得：，所以，所?故選：A.2．若復(fù)數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則先化簡，再根據(jù)求模公式求.【詳解】，.故選：B.3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知條件得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，且，所以，，解?故選：D.4．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，進(jìn)而可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，.故選：C.5．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】利用題目所給的條件，計(jì)算出A點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案.【詳解】依題意作下圖：

設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.6．已知角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由兩角差的正切公式求出，再根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系，化簡后代入求值即可．【詳解】由，得，則，故選：C．7．已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，且兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角化簡函數(shù)解析式為，分析可知，函數(shù)的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數(shù)圖象對稱中心的橫坐標(biāo)，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離大于，所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，由可得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對稱中心的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，則，可得，又因?yàn)榍掖嬖冢瑒t，解得，因?yàn)?，則，所以，，故選：B.8．已知函數(shù)存在零點(diǎn)a，函數(shù)存在零點(diǎn)b，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出函數(shù)的零點(diǎn)，再把問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性，求出值域即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)，由，得，解得，函數(shù)存在零點(diǎn)b，即方程在上有解，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，?dāng)且無限趨向于時(shí)，無限趨向于負(fù)無窮，則函數(shù)在上的值域?yàn)?，所以?shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D二、多選題9．2014—2022年（2022年為上半年）中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）統(tǒng)計(jì)如下，且已知2022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．2022年下半年中國GDP為64.75萬億元B．2022年中國GDP大于2014年與2015年的GDP之和C．2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年D．2014—2021年中國GDP同比增長最快的是2021年【答案】ACD【分析】由2022年全年中國GDP減去2022年上半年中國GDP可判斷A；2014年與2015年上半年中國GDP和為大于2022年全年中國GDP，可判斷B；由圖可判斷C，D.【詳解】對于A，因?yàn)?022年全年中國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）為121.01萬億元，2022年上半年中國GDP為萬億元，所以2022年下半年中國GDP為萬億元，故A正確；對于B，因?yàn)?014年與2015年中國GDP和為，故2022年中國GDP小于2014年與2015年的GDP之和，故B錯(cuò)誤；對于C，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長率超過10%的有2017年、2018年、2021年，故C正確；對于D，由圖可知，2014—2021年中國GDP同比增長最快的是2021年，故D正確.故選：ACD.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為D．當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，的極大值為【答案】ABC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷AC選項(xiàng)；計(jì)算得出，可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的極值、極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，且不恒為零，所以，當(dāng)時(shí)，是上的增函數(shù)，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象沒有公共點(diǎn)，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對于方程，，由，可得，解得，因此，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)有一個(gè)極值點(diǎn)為時(shí)，，解得，則，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極大值為，D錯(cuò).故選：ABC.11．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，的最大值為6，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．橢圓C的短軸長為B．當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)四邊形的周長的取值范圍是C．存在四個(gè)不同的點(diǎn)P，使得D．若為銳角三角形，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是【答案】AD【分析】求得橢圓C的短軸長判斷選項(xiàng)A；求得四邊形的周長的取值范圍判斷選項(xiàng)B；求得使的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)判斷選項(xiàng)C；求得為銳角三角形時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題給條件可得，解之得，則，則橢圓C的方程為.設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為，選項(xiàng)A：橢圓C的短軸長為.判斷正確；選項(xiàng)B：當(dāng)P，Q分別在x軸的上方和下方時(shí)，四邊形的周長為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：中，，，則，則.又當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)取得最大值，則存在2個(gè)不同的點(diǎn)P，使得.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，由橢圓C的半焦距為2，則由為銳角三角形，可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.判斷正確.

故選：AD12．如圖，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱錐的外接球O的表面積為，記直線AC與所成的角為，直線與平面ABC所成的角為，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B．三棱柱的體積的最大值為6C．球心O到平面的距離為 D．【答案】BD【分析】棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，由線面垂直的性質(zhì)得出，又AB⊥BC，所以出現(xiàn)一個(gè)墻角模型，確定球心位置以及半徑大小，得出，逐一判斷選項(xiàng)A、C、D；結(jié)合基本不等式判斷選項(xiàng)B.【詳解】如圖，棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，又AB⊥BC，平面ABC，分別取的中點(diǎn)，則球心O為的中點(diǎn).由球O的表面積為，則，即，解得.由平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，又AB⊥BC，所以，又BC＝2，所以.對于A，因?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對于B，三棱柱的體積，當(dāng)取得等號.所以體積的最大值為6，故B正確；對于C，球心O為的中點(diǎn)，.球心O到平面的距離即點(diǎn)M為到平面的距離,也即點(diǎn)C為到平面的距離的一半,又BC＝2，球心O到平面的距離為1，故C錯(cuò)誤；對于D，記直線AC與所成的角為，，所以，；直線與平面ABC所成的角為，由平面ABC，所以，，.故D正確.

故選：BD.三、填空題13．若的展開式中的系數(shù)為15，則實(shí)數(shù)．【答案】或1【分析】寫出展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)展開式中的系數(shù)為15列出方程求解即可．【詳解】根據(jù)題意，展開式的通項(xiàng)公式為，則展開式中的系數(shù)為，即，解得或．故答案為：或.14．某足球隊(duì)共有30名球員練習(xí)點(diǎn)球，其中前鋒6人，中場16人，后衛(wèi)8人．若前鋒點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.9，中場點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.8，后衛(wèi)點(diǎn)球進(jìn)門的概率均是0.7，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】0.79【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可.【詳解】依題意，選中前鋒的概率為，選中中場的概率為，選中后衛(wèi)的概率為，則任選一名球員點(diǎn)球進(jìn)門的概率是.故答案為：0.7915．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．【答案】【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且該函數(shù)上單調(diào)遞增，由可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集為.故答案為：.16．已知在四面體中，，，則該四面體外接球的體積為．【答案】【分析】依題意可得，取的中點(diǎn)，連接、，即可得到，，從而得到平面，四面體外接球的球心在上，設(shè)球心為，外接球的半徑為，連接，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)?，取的中點(diǎn)，連接、，則，，且，所以，則，所以，，平面，所以平面，的外接圓圓心即為斜邊的中點(diǎn)，所以四面體外接球的球心在上，設(shè)球心為，外接球的半徑為，連接，則，即，解得，所以外接球的體積.

故答案為：四、解答題17．已知在等差數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若是等比數(shù)列，且，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組求得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，，得出數(shù)列是等比數(shù)列的公比，求得，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，所以．（2）解：由（1）可知，，則，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以公比為，所以，所以．所以．18．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若c＝2，△ABC的面積為，求證：△ABC是正三角形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式化簡即可得出答案；（2）由三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【詳解】（1）由及正弦定理得，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以ab＝4．由余弦定理可得，所以，即，所以a＋b＝4，所以a＝b＝2，所以a＝b＝c，所以△ABC是正三角形．19．如圖，在長方體中，，交于點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由，證得平面，同理可證平面，利用面面平行的判定定理，證得平面平面，即可證得平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可證，且平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則取，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．

20．2023年5月15日至21日是第二個(gè)全國家庭教育宣傳周，為進(jìn)一步促進(jìn)家校共育，某校舉行“家教伴成長，協(xié)同育新人”主題活動(dòng)，最終評出了8位“最美家長”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學(xué)校準(zhǔn)備從這8位“最美家長”中每次隨機(jī)選出一人做家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享．(1)若每位“最美家長”最多做一次家庭教育經(jīng)驗(yàn)分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和；(2)現(xiàn)需要每天從這8位“最美家長”中隨機(jī)選1人，連續(xù)4天分別為低年級、中年級、高年級和全體教師各做1場經(jīng)驗(yàn)分享，1天只做1場，且人選可以重復(fù)，記這4天中爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析，【分析】（1）由題可得，第二次抽到爸爸，則第一次抽到媽媽或第一次抽到爸爸，據(jù)此可得；（2）由題可得爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)X的所有可能取值，且，據(jù)此可得X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，．（2）爸爸做經(jīng)驗(yàn)分享的天數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，故，，，，，故X的分布列為：X01234P根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可知，．21．已知函數(shù)．(1)證明：在上單調(diào)遞減；(2)若函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)），且單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）令，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，證明，即可得到，即可證明在上單調(diào)遞減；（2）由題意可得在恒成立，分離參數(shù)可得，令，證明即可得出答案.【詳解】（1）由題可知的定義域?yàn)?，．令，則，．令，得，令，得．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．所以對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減．（2）由題可知，則．因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，即．令，則，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，則，解得．所以a的取值范圍為．22．已知點(diǎn)在雙曲線C：上，過C的右焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若點(diǎn)，分別為C的左、右頂點(diǎn)，Q為C上異于，的點(diǎn)，求（k表示斜率）的值；(2)證明以為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線，解得，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為，表示出化簡即可得出答案；（2）以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為，則，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線方程與雙曲線結(jié)合韋達(dá)定理可求出；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，求出，即可驗(yàn)證.【詳解】（1）∵點(diǎn)在雙曲線C：上∴，解得，∴雙曲線C的方程為，則，．設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，∴．∵點(diǎn)Q在雙曲線C上，∴，∴．

（2）設(shè)以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為．由（1）可知雙曲線的右焦點(diǎn)F為．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的