《垂直于弦的直徑》PPT課件下載

24.1.2垂直于弦的直徑人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第二十四章圓前言學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推導(dǎo)，能初步應(yīng)用垂徑定理進行計算和證明；2．通過圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的熱愛。重點難點重點：垂徑定理及應(yīng)用。難點：垂徑定理的證明。

把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？結(jié)論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸探究你能證明剛才的結(jié)論嗎？·OADECB如圖，CD是⊙O的任一條直徑，A是⊙O上點C,D以外任意一點，過點A作CD⊥AB，交⊙O于點B，垂足為E，連接OA,OB.在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形而OE⊥AB∴AE=EB即CD是AB的垂直平分線。這就是說對于圓上任意一點A,在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點B,因此⊙O關(guān)于直線CD對稱。探究圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。·OADECB【提問】根據(jù)軸對稱圖形性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段（半徑除外）和??？線段：AE=BE⌒⌒即直徑CD平分弦AB，并且平分AB,ACB⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒小結(jié)垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．符號語言：∵①CD是直徑，②CD⊥AB

∴③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒·OAECDB垂徑定理（*）

平分弦的直徑垂直于這條弦嗎？情況一：弦是直徑情況二：弦不是直徑OCDAB·OAECBD利用圖形軸對稱的性質(zhì)，可以證明情況二成立思考平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵①CD是直徑②AE=BE且AB不是直徑符號語言：∴③CD⊥AB，④AC=BC，⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒OCDABE垂徑定理的推論（*）1400多年前,我國隋朝建的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為37.4m,拱高為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).【解題關(guān)鍵】將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題。情景思考1400多年前,我國隋朝建的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對是弦的長)為37m,拱高為7.23m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).解：用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點，C是AB的中點，CD就是拱高．⌒⌒⌒⌒⌒3718.5RR-7.23

思路：通過垂徑定理，構(gòu)造直角三角形（半徑半弦弦心距），結(jié)合勾股定理，建立方程。情景思考半徑半弦弦心距

弦心距：圓心到弦的距離（即圓心到弦的垂線段的距離）．半徑、半弦、弦心距之間如圖，在⊙O中，弦AB的長為6cm，圓心O到AB的距離（弦心距）為4cm，求⊙O的半徑．AB.OE34解：

在Rt△AOE中

,,(垂徑定理）過圓心O作OE⊥AB于E，.試一試變式一：半徑為4cm的⊙O中，弦AB=2cm,那么圓心O到弦AB

的距離是

.ABOEABO

6cmE變式二：⊙O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的距離OE=4cm，則弦AB的長是

.1454

試一試變式三：如圖，⊙M與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C，D兩點，若M(2,0)，B(5,0)，則C點的坐標(biāo)是

.253試一試變式四：如圖，⊙O的直徑CD⊥AB于E，AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O的半徑.62rr-2DCABEO解方程過程略試一試3r9-r變式五：如圖，⊙O的直徑CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O的半徑.DCABEO解方程過程略試一試1．如圖是一個圓弧形門拱，拱高，跨度，那么這個門拱的半徑為（）A.2m B.2.5m C.3m D.5m【答案】B【詳解】設(shè)這個門拱的半徑為r，則OB=r?1，∵CD=4m，AB⊥CD，∴BC=CD=2m，在Rt△BOC中，∵BC+OB=OC,即2+(r?1)=r，解得r=2.5m.故選B.課堂測試2．如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面AB寬為（）A.4m B.5m C.6m D.8m

課堂測試

H課堂測試感謝各位的聆聽指導(dǎo)人教版數(shù)學(xué)九年級上冊垂直于弦的直徑第二十四章圓1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題.（重點）3.靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)折一折：你能通過折疊的方式找到圓形紙片的對稱軸嗎？在折的過程中你有何發(fā)現(xiàn)？圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．導(dǎo)入新課講授新課圓的對稱軸一（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？（2）你是怎么得出結(jié)論的？圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.用折疊的方法●O說一說問題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理及其推論二垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.歸納總結(jié)想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC歸納總結(jié)

如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧.上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？思考探索

DOABEC舉例證明其中一種組合方法已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.證明舉例⌒⌒思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂徑定理及其推論的計算三∴cm.典例精析例2

如圖，

⊙

O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)試一試：根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問題嗎?垂徑定理的實際應(yīng)用四解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.練一練：如圖a、b,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm

在圓中有關(guān)弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·歸納總結(jié)1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=

.

103cm3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.14cm或2cm當(dāng)堂練習(xí)4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.

5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。你認為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.