2017年高中數(shù)學(xué)人教A版必修2教案：4.2.2直線與圓的位置關(guān)系（第2課時）Word版含解析

直線與圓的位置關(guān)系（第2課時）導(dǎo)入新課一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處,受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？圖1分析：如圖1,以臺風(fēng)中心為原點O,以東西方向為x軸,建立直角坐標系,其中,取10km為單位長度.則臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓心為O的圓的方程為x2+y2=9；輪船航線所在的直線l的方程為4x+7y-28=0.問題歸結(jié)為圓心為O的圓與直線l有無公共點.因此我們繼續(xù)研究直線與圓的位置關(guān)系.推進新課新知探究提出問題①過圓上一點可作幾條切線？如何求出切線方程？②過圓外一點可作幾條切線？如何求出切線方程？③過圓內(nèi)一點可作幾條切線？④你能概括出求圓切線方程的步驟是什么嗎？⑤如何求直線與圓的交點？⑥如何求直線與圓的相交弦的長?討論結(jié)果：①過圓上一點可作一條切線,過圓x2+y2=r2上一點(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2；過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②過圓外一點可作兩條切線,求出切線方程有代數(shù)法和幾何法.代數(shù)法的關(guān)鍵是把直線與圓相切這個幾何問題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立它們的方程組只有一個解的代數(shù)問題.可通過一元二次方程有一個實根的充要條件——Δ=0去求出k的值,從而求出切線的方程.用幾何方法去求解,要充分利用直線與圓相切的幾何性質(zhì),圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.③過圓內(nèi)一點不能作圓的切線.④求圓切線方程,一般有三種方法,一是設(shè)切點,利用①②中的切線公式法;二是設(shè)切線的斜率,用判別式法;三是設(shè)切線的斜率,用圖形的幾何性質(zhì)來解,即圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),求出k的值.⑤把直線與圓的方程聯(lián)立得方程組,方程組的解即是交點的坐標.⑥把直線與圓的方程聯(lián)立得交點的坐標,結(jié)合兩點的距離公式來求;再就是利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系來求.應(yīng)用示例例1過點P(-2,0)向圓x2+y2=1引切線,求切線的方程.圖3解:如圖3,方法一:設(shè)所求切線的斜率為k,則切線方程為y=k(x+2),因此由方程組得x2+k2(x+2)2=1.上述一元二次方程有一個實根,Δ=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=±,所以所求切線的方程為y=±(x+2).方法二:設(shè)所求切線的斜率為k,則切線方程為y=k(x+2),由于圓心到切線的距離等于圓的半徑(d=r),所以d==1,解得k=±.所以所求切線的方程為y=±(x+2).方法三：利用過圓上一點的切線的結(jié)論.可假設(shè)切點為(x0,y0),此時可求得切線方程為x0x+y0y=1.然后利用點(-2,0)在切線上得到-2x0=1,從中解得x0=-.再由點(x0,y0)在圓上,所以滿足x02+y02=1,既+y02=1,解出y0=±.這樣就可求得切線的方程為,整理得y=±(x+2).點評:過圓外一點向圓可作兩條切線；可用三種方法求出切線方程,其中以幾何法“d=r”比較好(簡便).變式訓(xùn)練已知直線l的斜率為k,且與圓x2+y2=r2只有一個公共點,求直線l的方程.活動：學(xué)生思考,觀察題目的特點,見題想法,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時給予提示,直線與圓只有一個公共點,說明直線與圓相切.可利用圓的幾何性質(zhì)求解.圖4解:如圖4,方法一:設(shè)所求的直線方程為y=kx+b,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,得d==r,∴b=±r,求得切線方程是y=kx±r.方法二:設(shè)所求的直線方程為y=kx+b,直線l與圓x2+y2=r2只有一個公共點,所以它們組成的方程組只有一組實數(shù)解,由,得x2+k2(x+b)2=1,即x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0得b=±r,求得切線方程是y=kx±r.例2已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0,一定點為A(1,2),要使過定點A(1,2)作圓的切線有兩條,求a的取值范圍.活動：學(xué)生討論,教師指導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,教師對學(xué)生解題中出現(xiàn)的問題及時處理,利用幾何方法,點A(1,2)在圓外,即到圓心的距離大于圓的半徑.解:將圓的方程配方得(x+)2+(y+1)2=,圓心C的坐標為(－,－1),半徑r=,條件是4－3a2＞0,過點A(1,2)所作圓的切線有兩條,則點A必在圓外,即＞.化簡,得a2+a+9＞0,由解得－＜a＜,a∈R.所以－＜a＜.故a的取值范圍是(－,).點評:過圓外一點可作圓的兩條切線,反之經(jīng)過一點可作圓的兩條切線,則該點在圓外.同時注意圓的一般方程的條件.拓展提升已知點P到兩個定點M(－1,0)、N(1,0)距離的比為,點N到直線PM的距離為1,求直線PN的方程.解:設(shè)點P的坐標為(x,y),由題設(shè)有=,即=·,整理得x2+y2－6x+1=0.①因為點N到PM的距離為1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直線PM的斜率為±.直線PM的方程為y=±(x+1).②將②代入①整理,得x2－4x+1=0.解得x1=2+,x2=2－.代入②得點P的坐標為(2+,1+3)或(2－,－1+)；(2+,－1－3)或(2－,1－).直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1.課堂小結(jié)1.直線和圓位置關(guān)系的判定方法：代數(shù)法和幾何法.2.直線和圓相切,這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線