專題48直線的方程

專題48直線的方程知識梳理考綱要求考點預測常用結(jié)論方法技巧題型歸類題型一：直線的傾斜角與斜率題型二：求直線的方程題型三：直線方程的綜合應用培優(yōu)訓練訓練一：訓練二：訓練三：訓練四：訓練五：訓練六：強化測試單選題：共8題多選題：共4題填空題：共4題解答題：共6題一、【知識梳理】【考綱要求】1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.【考點預測】1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線【常用結(jié)論】直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：1．“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．2．“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)．應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個法向量v＝(A，B)，一個方向向量a＝(－B，A)．【方法技巧】1.斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法．2.傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性．3.求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程．②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程．4.在求直線方程時，應選擇適當?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用．5.直線過定點問題可以利用直線點斜式方程的結(jié)構(gòu)特征，對照得到定點坐標．6.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應根據(jù)直線方程求解相應坐標或者相關(guān)長度，進而求得多邊形面積．7.求參數(shù)值或范圍．注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．二、【題型歸類】【題型一】直線的傾斜角與斜率【典例1】直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的變化范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))【解析】直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．設直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).故選B.【典例2】過函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2的圖象上一個動點作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))【解析】設切線的傾斜角為α，則α∈[0，π)，∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切線的斜率k＝tanα≥－1，則α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故選B.【典例3】若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，則k的取值范圍是________．【解析】當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))時，k＝tanα∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))；當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))時，k＝tanα∈[－eq\r(3)，0)．綜上得k∈[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).【題型二】求直線的方程【典例1】經(jīng)過點P(2，－3)，且傾斜角為45°的直線方程為()A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0【解析】傾斜角為45°的直線的斜率為tan45°＝1，又該直線經(jīng)過點P(2，－3)，所以用點斜式求得直線的方程為y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.故選D.【典例2】已知點M是直線l：2x－y－4＝0與x軸的交點，將直線l繞點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0【解析】設直線l的傾斜角為α，則tanα＝k＝2，直線l繞點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，所得直線的斜率k′＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3，又點M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故選D.【典例3】經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量v＝(－3,2)的直線方程為__________．【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，∴直線過點(1,1)，∵直線的方向向量v＝(－3,2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3).則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.【題型三】直線方程的綜合應用【典例1】已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程．【解析】法一：設直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k＜0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))，B(0，1－2k)，S△AOB＝eq\f(1,2)(1－2k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋(－4k)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4，當且僅當－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時，等號成立．故直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.法二：設直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，且a＞0，b＞0，因為直線l過點M(2，1)，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則1＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值為eq\f(1,2)×ab＝eq\f(1,2)×8＝4，當且僅當eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)時取等號，此時a＝4，b＝2，故直線l為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.【典例2】已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．【解析】直線方程可化為eq\f(x,2)＋y＝1，故直線與x軸的交點為A(2，0)，與y軸的交點為B(0，1)，由動點P(a，b)在線段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)，0≤b≤1，故當b＝eq\f(1,2)時，ab取得最大值eq\f(1,2).【典例3】當k>0時，兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________．【解析】直線2x＋ky－2＝0與x軸交于點(1，0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝0，,2x＋ky－2＝0，))解得y＝eq\f(2k,k2＋2)，所以兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(2k,k2＋2)＝eq\f(1,k＋\f(2,k))，又k＋eq\f(2,k)≥2eq\r(k·\f(2,k))＝2eq\r(2)，當且僅當k＝eq\r(2)時取等號，故三角形面積的最大值為eq\f(\r(2),4).三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】（2023·江蘇揚州·儀征中學?？寄M預測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點，與軸正半軸交于點，線段與交于點.若與的焦距的比值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標，代入橢圓方程后可求離心率.【詳解】

設橢圓的半焦距為，因為以為圓心的圓過，故該圓的半徑為，故其方程為：，令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，令，則或，故.故，故直線.設，因為在軸的正半軸上，在軸的負半軸上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故選：D.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過點在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.【訓練二】（2023·全國·高二專題練習）設，，已知函數(shù)，有且只有一個零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設函數(shù)的零點為，可得，由此可得點在直線上，由此可得，再利用導數(shù)求其最小值.【詳解】函數(shù)的零點為，則，且，即，所以點在直線上，又表示點到原點的距離的平方，故，所以，設，則，故，設，則，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，，故當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以當，時，取最小值，最小值為.所以當時，的最小值為.故選：B.【點睛】知識點點睛：本題考查函數(shù)零點的定義，直線方程的定義，點到直線的距離，兩點之間的距離，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學運算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.【訓練三】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考模擬預測）已知直線l與曲線相交，交點依次為D、E、F，且，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性得曲線的對稱中心為，則，設，由，得到，通過換元求出值，則得到的坐標，最后寫出直線方程即可.【詳解】，設，其定義域為，關(guān)于原點對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，且其對稱中心為，將向右平移1個單位，向上平移1個單位，則得到，曲線的對稱中心為，由，可知點E為對稱中心，故E的坐標為，不妨設，則由，得，即，令，則，即，，當時，，又l過，則，直線l的方程為，當時，，又l過，則，直線l的方程為綜上，直線l的方程為故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線對稱中心為，從而得到，然后再去設點坐標，根據(jù)，得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出的坐標即可.【訓練四】（2023·全國·模擬預測）設直線l：，圓C：，若直線l與圓C恒有兩個公共點A，B，則下列說法正確的是（

）A．r的取值范圍是B．若r的值固定不變，則當時∠ACB最小C．若r的值固定不變，則的面積的最大值為D．若，則當?shù)拿娣e最大時直線l的斜率為1或【答案】BD【分析】A選項，先整理直線方程，得到直線過的定點，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到半徑r的范圍；B選項，利用平面幾何知識分析出當時，∠ACB最小，再利用斜率之間的關(guān)系即可判斷；C選項，先將的面積用半徑r和圓心C到直線l的距離d表示，再利用二次函數(shù)的知識求最值即可；D選項，利用C選項得到半徑r和圓心C到直線l的距離d之間的關(guān)系，再利用點到直線的距離公式建立方程，求得a，b之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【詳解】A選項：因為直線l：，即，令，解得，所以直線l過定點，因為直線l與圓C恒有兩個公共點，所以，故A錯誤；B選項：因為直線l過定點，所以當時，∠ACB最小，因為，所以此時直線l的斜率為，即，即，故B正確；C選項：設圓心C到直線l的距離為d，則的面積，因為，所以，①，即，則當時，的面積最大，且；②若，即，則函數(shù)S隨著d的增大而增大，所以，綜上的面積的最大值為或，故C錯誤；D選項：由C選項知，當時的面積最大，因為，所以，整理得，所以或，因為，所以直線l的斜率，所以或，故D正確．故選：BD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵：（1）整理直線方程，得到直線過的定點的坐標；（2）熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，并能利用平面幾何知識分析出圓心角何時最小．【訓練五】（2023·全國·高三專題練習）將兩圓方程作差，得到直線的方程，則（

）A．直線一定過點B．存在實數(shù)，使兩圓心所在直線的斜率為C．對任意實數(shù)，兩圓心所在直線與直線垂直D．過直線上任意一點一定可作兩圓的切線，且切線長相等【答案】BCD【分析】利用分離參數(shù)法求出直線恒過的定點即可判斷A；利用兩圓心坐標求斜率進而判斷B；利用垂直直線的斜率之積為-1判斷C；設直線上一點，利用兩點坐標求距離公式和勾股定理化簡計算即可判斷D.【詳解】由題意知，，兩式相減，得，A：由，得，則，解得，所以直線恒過定點，故A錯誤；B：，故B正確；C：因為，故C正確；D：，，則圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，又，得，即直線與圓相離，，得，即直線與圓相離，所以過直線上任一點可作兩圓的切線.在直線上任取一點，設點P到圓的切線長為，到圓的切線長為，則，，所以，即，故D正確.故選：BCD.【訓練六】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點問題，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合進行求解.【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點的橫坐標，因為兩個圖象均關(guān)于點對稱，要使所有根的和為6，則兩個圖象有且只有3個公共點．作出和的圖象如圖所示．當時，只需直線與圓相離，可得；當時，只需直線與圓相切，可得．故k的取值范圍是．故答案為：四、【強化測試】一、單選題1．（2023·全國·高二專題練習）若直線恒過點A，點A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線的定點可得，進而可得，結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】因為，則，令，解得，即直線恒過點.又因為點A也在直線上，則，可得，且，則，即，當且僅當時，等號成立所以的最大值為.故選：B.2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預測）圓：與直線：交于、，當最小時，的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】首先求出直線恒過定點，依題意當時弦最小，求出直線的斜率，即可得解.【詳解】直線：，即，令，解得，即直線恒過定點，又，所以點在圓內(nèi)，所以當時弦最小，因為，所以，即，解得.故選：B3．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.4．（1991·全國·高考真題）如果且，那么直線不通過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】化簡直線方程為直線的斜截式方程，結(jié)合斜率和在軸上的截距，即可求解.【詳解】因為，且，所以、、均不為零，由直線方程，可化為，因為，且，可得，，所以直線經(jīng)過第一、二、四象限，所以不經(jīng)過第三象限．故選：C.5．（2023·全國·高二專題練習）若直線與圓：相交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線過的定點并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過該定點的圓的直徑的弦長作答.【詳解】直線，即恒過定點，而，即點在圓內(nèi)，因此當且僅當時，最小，而圓的圓心，半徑，，所以.故選：B6．（2023·全國·高二專題練習）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把直線方程化為，求得直線過定點，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，又由，可得定點在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B.7．（2023·全國·高三專題練習）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為3【答案】B【分析】對A，要使，則，所以，解之再驗證即可判斷；對B，要使，，，解之再驗證即可判斷；對C，當時，與重合，即可判斷；對D，根據(jù)點到直線距離列方程即可判斷.【詳解】對A，要使，則，所以，解之得，此時與重合，選項A錯誤；對B，要使，，，解之得，所以B正確；對C，過定點，該定點在上，但是當時，與重合，所以C錯誤；對D，，化簡得，此方程，無實數(shù)解，所以D錯誤.故選：B.8．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預測）如圖，拋物線和直線在第一象限內(nèi)的交點為．設是拋物線上的動點，且滿足，記．現(xiàn)有四個結(jié)論：①當時，；②當時，的最小值是；③當時，的最小值是；④無論為何值，都存在最小值．其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對①：直接聯(lián)立方程求解，對②③④：由拋物線方程求得焦點坐標，再利用拋物線定義，數(shù)形結(jié)合找到t的最小值，注意等號成立的條件.【詳解】對①：當時，則直線，聯(lián)立方程，解得或（舍去），即，所以，故①正確；因為到直線的距離，可得，又因為，則，拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義知，即，故，因為到直線的距離，過且與直線垂直的直線為，聯(lián)立方程，解得或（舍去），當時，則，所以的最小值是，此時點，故②正確；當時，因為取不到點，所以無最小值，故③④錯誤；綜上所述：正確的個數(shù)為2.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可得，進而數(shù)形結(jié)合分析最值，并注意等號成立的條件.二、多選題9．（2023秋·高二單元測試）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點B．直線能表示平面直角坐標系內(nèi)每一條直線C．對任意實數(shù)，直線都與圓相交D．直線被圓截得的弦長的最小值為【答案】ACD【分析】A選項，變形后聯(lián)立方程組，求出所過定點；B選項，在A的基礎上，得到直線不能表示直線，也不能表示不過點的直線；C選項，由點到直線距離公式得到在圓內(nèi)，從而得到直線都與圓相交；D選項，根據(jù)幾何關(guān)系得到弦長最值.【詳解】對于A：直線的方程可化為，聯(lián)立，解得所以直線恒過定點，∴A正確；對于B：由A可知，直線不能表示直線，也不能表示不過點的直線，∴B錯誤；對于C，因為，故直線恒過圓內(nèi)一點，所以直線與圓相交，∴C正確；對于D，當直線時，直線被圓截得的弦長最短，因為，所以最短弦長為，∴D正確．故選：ACD．10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知圓是直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則（

）A．直線經(jīng)過定點B．的最小值為C．點到直線的距離的最大值為D．是銳角【答案】AB【分析】由兩圓方程相減可得交點弦，即可可判斷A，根據(jù)直線經(jīng)過的定點即可求解C,由勾股定理即可判斷CD.【詳解】設，則以為直徑的圓的方程為，化簡得，與聯(lián)立，可得所在直線方程：，即，故可知恒過定點A正確；到過定點的直線距離的最大值為：，，故最小值為.B正確，當點與定點的連線與直線垂直時，此時點到直線的距離最大，且最大值為，故C錯誤；圓心到的距離為，由于,在直角三角形中，當點運動到正好時，此時最小，的張角最大，此時，當點位于其它點時均為銳角，故，不恒為銳角，D錯誤.故選：AB11．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？奸_學考試）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角為B．存在使得直與直線垂直C．對于任意，直線與圓相交D．若直線過第一象限，則【答案】ABC【分析】對于A：化簡成點斜式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)論，C選項首先求出直線過定點，且定點在圓的內(nèi)部，得出結(jié)論，B、C是通過特值得出結(jié)論.【詳解】對于A：∵，∴，∴，故A正確；對于B：時符合題意，故B正確；對于C：化簡得：∴，解得∴直線過定點，又∵∴該定點在圓內(nèi)，∴直線與圓相交，故C正確；對于D：當此時直線為，經(jīng)過第一象限，此時，故D錯誤．故選：ABC．12．（2023·全國·高二專題練習）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．若圓C關(guān)于直線l對稱，則C．若，則或 D．若A，B，C，O四點共圓，則【答案】ACD【分析】判斷出直線過定點，結(jié)合勾股定理、圓的對稱性、點到直線的距離公式、四點共圓等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】直線過點，圓，即①，圓心為，半徑為，由于，所以在圓內(nèi).，所以，此時，所以A選項正確.若圓關(guān)于直線對稱，則直線過兩點，斜率為，所以B選項錯誤.設，則，此時三角形是等腰直角三角形，到直線的距離為，即，解得或，所以C選項正確.對于D選項，若四點共圓，設此圓為圓，圓的圓心為，的中點為，，所以的垂直平分線為，則②，圓的方程為，整理得③，直線是圓和圓的交線，由①-③并整理得，將代入上式得，④，由②④解得，所以直線即直線的斜率為，D選項正確.故選：ACD【點睛】求解直線和圓位置關(guān)系有關(guān)題目，首先要注意的是圓和直線的位置，是相交、相切還是相離.可通過點到直線的距離來判斷，也可以通過直線所過定點來進行判斷.三、填空題13．（2023·全國·高二專題練習）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則．【答案】13【分析】根據(jù)題意求點的坐標，再結(jié)合垂直關(guān)系運算求解.【詳解】對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，因為，則，即，所以.故答案為：13.14．（2023·全國·高二專題練習）已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有條.【答案】9【分析】根據(jù)題意可知直線l恒過定點，分別求得直線被圓截得弦長的最大值和最小值，利用對稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點；圓心，半徑；所以當直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑；易知，當圓心與的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；此時弦長為，所以截得的弦長為整數(shù)可??；由對稱性可知，當弦長為時，各對應兩條，共8條，當弦長為8時，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：915．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為．【答案】【分析】利用導數(shù)求出切線方程，即可得到切線與坐標軸圍成的三角形的面積.【詳解】，，，，切線方程為：即，當時，，當，時，三角形面積為：.故答案為：.16．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點問題，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合進行求解.【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點的橫坐標，因為兩個圖象均關(guān)于點對稱，要使所有根的和為6，則兩個圖象有且只有3個公共點．作出和的圖象如圖所示．當時，只需直線與圓相離，可得；當時，只需直線與圓相切，可得．故k的取值范圍是．故答案為：四、解答題17．（2003·北京·高考真題）如圖，為橢圓的兩個頂點，為橢圓的兩個焦點．(1)寫出橢圓的方程及準線方程；(2)過線段上異于O，A的任一點K作的垂線，交橢圓于P，兩點，直線與交于點M．求證：點M在雙曲線上．【答案】(1)橢圓的方程為，準線方程為；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得，進而即得；（2）設，點，由題可得直線與的方程，進而可得交點的坐標，驗證即得.【詳解】（1）由題可設橢圓的方程為，則，∴，所以橢圓的方程為，準線方程為；（2）設，點，其中，則，直線的方程為，直線的方程為，由，可得，所以，又，因為，所以直線與交于點M在雙曲線上.18．（1977·北京·高考真題）一條直線過點，并且與直線平行，求這條直線的方程．【答案】【分析】根據(jù)平行關(guān)系設出直線方程，再代入坐標即可求解【詳解】因為所求直線與直線平行，所以設該直線為，將代入得，解得，所以這條直線的方程為19．（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學校考階段練習）已知三角形ABC的頂點坐標為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點.(1)求AB邊所在的直線方程；(2)求中線AM的長(3)求AB邊的高所在直線方程.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由兩點式寫出直線方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點斜式得直線方程；（2）由中點坐標公式求得中點坐標，再由兩點間距離公式計算可得；（3）先求直線AB的斜率，由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率，可得高線的點斜式方程，化為一般式即可.【詳解】（1）法一：由兩點式寫方程得，即；法二：直線的斜率為，直線