異方差實(shí)證與估計(jì)

異方差的檢驗(yàn)、估計(jì)與實(shí)證一、問題的提出如果在回歸模型y.=^0+^1X.+u.中，無論Xi取何值，ui的方差Var（ui）=E（罟）中2（i=1,2，…，N）,就說隨機(jī)擾動項(xiàng)ui具有同方差性。然而，現(xiàn)實(shí)中的大量現(xiàn)象與同方差性相違背。研究結(jié)果表明用截面數(shù)據(jù)作樣本的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)問題，由于在不同的樣本點(diǎn)上解釋變量以外的其他因素的差異較大，所以往往存在異方差性。用時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析也存在異方差性問題。只是出現(xiàn)的頻率少于截面數(shù)據(jù)回歸分析，其主要原因是時間序列數(shù)據(jù)變量的演變大都是同步的，即數(shù)據(jù)單整階數(shù)相同。如消費(fèi)和收入的變動趨勢基本相近，因此在估計(jì)消費(fèi)函數(shù)時，不會出現(xiàn)異方差問題，但用單整階數(shù)不同的時序數(shù)據(jù)進(jìn)行時序回歸分析，就會遇到異方差性問題1。因此，經(jīng)濟(jì)計(jì)量建模中對“異方差性"（Heteroskedasticity）的研究就成為不能回避的問題。計(jì)量經(jīng)濟(jì)理論認(rèn)為如果存在異方差還用最小二乘法去估計(jì)參數(shù)，會產(chǎn)生以下嚴(yán)重后果：①參數(shù)估計(jì)量非有效，即不再具有最小方差的性質(zhì)。而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計(jì)量具有一致性，但不具有漸進(jìn)有效性；②解釋變量的顯著性檢驗(yàn)失效。在變量的顯著性檢驗(yàn)中，構(gòu)造了t統(tǒng)計(jì)量，它是建立在隨機(jī)干擾項(xiàng)共同的方差□不變而正確估計(jì)了參數(shù)方差的基礎(chǔ)上的，如果出現(xiàn)了異方差，估計(jì)的參數(shù)方差出現(xiàn)偏誤，t檢驗(yàn)就失去了意義，其他檢驗(yàn)也是如此；③模型預(yù)測失效。一方面，由于上述后果，使得模型不再具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；另一方面，在預(yù)測值的置信區(qū)間中也包含有參數(shù)方差的估計(jì)量，仍然使用OLS估計(jì)量將會導(dǎo)致預(yù)測區(qū)間偏大或者偏小2。二、異方差性的檢驗(yàn)針對異方差問題，涌現(xiàn)出大量的檢驗(yàn)方法，常見的有：圖示檢驗(yàn)法、等級相關(guān)檢驗(yàn)法、Glejser檢驗(yàn)，Battlett檢驗(yàn)、Breusch_Pagan檢驗(yàn)、Goldfeld_Quandt檢驗(yàn)、Wald檢驗(yàn)、拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)、似然比檢驗(yàn)和White大樣本檢驗(yàn)。這些檢驗(yàn)的共同思想是設(shè)法通過誤差的估計(jì)量來檢驗(yàn)誤差方差與解釋變量間是否存在相關(guān)性。若存在明顯的相關(guān)，則原模型存在異方差性；否則，認(rèn)為原模型滿足同方差條件。下面本文將在系統(tǒng)介紹異方差檢驗(yàn)的各種方法的基礎(chǔ)上，分析各自的應(yīng)用條件、注意事項(xiàng)，并對優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行評述。（一）圖示檢驗(yàn)法圖示檢驗(yàn)法是一種定性分析，只能用來初步判斷異方差的存在與否。具體做法是先不考慮存在異方差的假定下構(gòu)造回歸模型，然后對回歸的殘差平方ei2進(jìn)行觀察。如果回歸模型是關(guān)于截面數(shù)據(jù)的，則看ei2對Yi或?qū)δ骋粋€解釋變量Xi1白雪梅.異方差性的檢驗(yàn)方法及評述[J].東北財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報，2002，06:26-292李子奈.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2000的散點(diǎn)圖。若散點(diǎn)圖呈現(xiàn)某種規(guī)律或趨勢，則表示存在異方差性；否則，認(rèn)為不存在異方差性。如果回歸模型是一個時間序列模型，則看ei2對時間t的散點(diǎn)圖，若ei2隨時間t增加而變化，則表示存在異方差性；反之，則認(rèn)為不存在異方差性。該檢驗(yàn)法的優(yōu)點(diǎn)是直觀、簡單、明了；缺點(diǎn)是檢驗(yàn)的結(jié)論粗糙，是一種對殘差的定性分析。它要求回歸計(jì)算殘差的平方ei2對真實(shí)關(guān)系中的隨機(jī)擾動項(xiàng)的平方ui2具有代表性，否則ei2對Yi或某一個Xi存在明顯趨勢并不等于ui2對Yi或某一個Xi也存在這種趨勢。帕克(Park)檢驗(yàn)帕克檢驗(yàn)是依據(jù)圖示提出□是解釋變量Xi的某個函數(shù)，進(jìn)而把圖示法公式化。帕克建議的函數(shù)形式為。2=02Xiaevi，取對數(shù)得lna2=ln^2+alnXi+飛。由于丐是未知的，帕克提議以ei2作為of的代表，進(jìn)行下述回歸：Inei2=ln^2+alnXi+vi(1)對(1)式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，若a在統(tǒng)計(jì)上顯著，則說明數(shù)據(jù)存在異方差性；若a在統(tǒng)計(jì)上不顯著，則說明不存在異方差性。帕克檢驗(yàn)的問題是,vi可能不滿足OLS法的假設(shè)條件，而且ei2本身可能也存在異方差性。另外須指出，按照帕克檢驗(yàn)得出的不存在異方差性的結(jié)論，只是對特定函數(shù)形式而言，如果在采用其它函數(shù)形式的假定下，也可能存在異方差。由于函數(shù)具體形式未知，因此需要進(jìn)行各種形式的試驗(yàn)。戈里瑟(Glesier)檢驗(yàn)戈里瑟檢驗(yàn)法首先把被解釋變量Y對所有的解釋變量X1，X2，…，Xk進(jìn)行回歸，計(jì)算隨機(jī)誤差項(xiàng)u的估計(jì)值e，然后用某個務(wù)的某種函數(shù)形式為解釋變量對|e|做回歸，即|ei|=f(Xi)+6.。選擇關(guān)于變量Xi的不用函數(shù)形式，對方程進(jìn)行估計(jì)并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在異方差性。如果認(rèn)為|ei|與多個解釋變量有關(guān)，那么可構(gòu)造|ei|同多個解釋變量的回歸模型進(jìn)行類似檢驗(yàn)，但這種情況下的操作相當(dāng)繁瑣。戈里瑟檢驗(yàn)可作為一種經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶋H處理方法加以應(yīng)用。優(yōu)點(diǎn)是不僅可以發(fā)現(xiàn)是否存在異方差性，而且還可以確定異方差性的具體形式，為進(jìn)一步消除異方差奠定了基礎(chǔ)。缺點(diǎn)是①勺不一定滿足OLS法的假定條件；②設(shè)定的函數(shù)形式可能是關(guān)于參數(shù)非線性的，因此不能使用OLS法去估計(jì)參數(shù)；③要求在大樣本情況下使用，對小樣本則只能從定性的角度給建模者提供有關(guān)異方差的信息；④需要選擇不同的解釋變量，嘗試不同的函數(shù)形式，多次反復(fù)試驗(yàn)，過程十分繁瑣。戈德菲爾特一匡特(Goldfeld-Quandt)檢驗(yàn)戈德菲爾特—匡特檢驗(yàn)是以F檢驗(yàn)為基礎(chǔ)的。適用于樣本容量較大、異方差遞增或者遞減的情況。檢驗(yàn)的原假設(shè)是聽二笑。具體步驟：第一步將n組樣本觀測值按解釋變量觀測值Xi的大小排序；第二步將序列中間的c=n/4個觀測值除去，并將剩下的觀測值劃分為較小與較大的兩個子樣本，每個子樣本的容量均為（n-c）/2；第三步對每個子樣本分別求回歸方程，并計(jì)算各自的殘差平方和S1和S2；第四步計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F=S1/導(dǎo)】）并與顯著性水平為a,自由度為（叱12S2/（^k1）2k1，叱k1）的F分布臨界值進(jìn)行比較，若F>Fa（v1，v2），表明存在遞212增的異方差；若F<F]_a（v2,v1），則表明存在遞減的異方差；反正，則不存在異方差。此檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是簡單，便于計(jì)算，在方法把握上沒有難度。缺點(diǎn)是：（1）按照解釋變量的大小排列觀測值，隱含著一個假定即方差變化與X變化是同方向的，這一假定是否成立是未知的；（2）樣本必須足夠大；（3）要求不能違背檢驗(yàn)的前提條件，如ui服從正態(tài)分布，ui不存在序列相關(guān)；（4）當(dāng)模型中的解釋變量為2個或者2個以上時，按哪個解釋變量大小排列觀測值是一個問題；（5）只能檢驗(yàn)遞增或者遞減的異方差，而不能檢驗(yàn)復(fù)雜的異方差。（五）懷特（White）檢驗(yàn)該檢驗(yàn)是由懷特（White，1980）首次提出的。它是通過一個輔助回歸式構(gòu)造光2統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。假定有一個包含兩個（可推廣到兩個以上）解釋變量的多元回歸模型：Yi邙o+^X”+仔2X2i+ui（2）首先，對上式進(jìn)行OLS回歸，求出殘差％,然后對以下輔助回歸方程進(jìn)行估計(jì)：ui2=a0+aiX1i+?2X2i+a4X1i2+a5X2i2+a6XiiX2i+vi（3）式中，ui為（2）中的ui估計(jì)值。ui2需對回歸式中的各個解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行OLS回歸。懷特檢驗(yàn)的原假設(shè)為H0：ui不存在異方差。（3）式計(jì)算的可決系數(shù)R2乘以樣本數(shù)N,漸進(jìn)地服從光2分布。其自由度等于（3）式中解釋變量項(xiàng)數(shù)（注意，不計(jì)算常數(shù)項(xiàng)），即NR2?光2（5）。若NR2S/2（5），接受H0，ui不存在異方差。懷特檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是不需要對觀測值進(jìn)行排序，也不依賴隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布假設(shè)，易于實(shí)施。但也存在一些需要注意的問題：一是輔助方程引進(jìn)回歸元的平方以及它們的交叉乘積項(xiàng),損失許多自由度。二是R2易受樣本數(shù)據(jù)特征的影響。三是該檢驗(yàn)對于小樣本特性尚不清楚，因此不宜在小樣本情況下使用。三、實(shí)例分析分析中國2013年各地區(qū)居民可支配收入與衣著支出模型。設(shè)衣著支出為CLO，可支配收入為INC。數(shù)據(jù)如表1所示:表表12013年全國各地區(qū)居民衣著支出和可支配收入地區(qū)衣著支出（CLO）可支配收入（INC）北京1170.9840321.00天津927.3732293.57河北457.4522580.35山西470.4622455.63內(nèi)家古564.5825496.67遼寧584.1325578.17吉林535.0922274.60黑龍江550.9419596.96上海769.0443851.36江蘇684.3932538.00浙江847.6137851.00安徽332.7723114.22福建483.4130816.37江西308.4421872.68山東492.3028264.10河南481.6622398.03湖北345.1322906.42湖南342.0923413.99廣東309.5433090.05廣西170.9023305.38海南180.8322928.90重慶410.4725216.13四川466.7622367.63貴州254.0320667.07云南211.1823235.53西藏369.4520023.35陜西385.0522858.37甘肅352.6618964.78青海449.1319498.54寧夏452.9321833.33新疆482.5619873.77資料來源:《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》2014年，北京，中國統(tǒng)計(jì)出版社由表1可以看出，隨著居民可支配收入的增加，衣著支出也表現(xiàn)出增加的趨勢，而且增加的速度加快。不同收入居民的衣著支出表現(xiàn)出很大的差異，這就很難保證同方差的假定。（一）用OLS估計(jì)參數(shù)運(yùn)用EVIEWS7.0軟件，選擇最小二乘法，得到如下回歸模型：表2OLS估計(jì)Dep^naenivariable：CLOMethod:LeastSquaresDate:12/07/1fiTime.22.0BSample:130includedabseivabons：30vanableCoeffidantStd.ErrorVStatisdcProbC-167.99411210545-13&77S601762INC0.0251430.00457354983990.0000R-squaredG.519168Meandependentvar4786919AdjustedR-squared0.501995S.D.dependentvar2224256S,E.ofregression1569645Akaikeimfocrtterion1301426Sumsquaredresid6B9860.0Schwarzcriterion13.10767Loglikelihood-193.2139Hannan-auinrtcriter13,04414F-staiistic30.23239Durbin-Watsonstat0.828745PrcDCF-staiistic）0.000007CLO=-167.994147401+0.0251429190764*INC（4）（-1.387756）（5.498399）R2=0.519168S.E.=156.9645F=30.23239異方差性檢驗(yàn)圖示法根據(jù)散點(diǎn)圖，初步可以判斷有可能存在遞增型異方差。下面利用懷特檢驗(yàn)進(jìn)步證明。懷特檢驗(yàn)輔助回歸方程為：ei2=-65625.73+4.5161INC.-3.93E-05INC.2(5)HeteraskedasticityTest:WhiteHeteraskedasticityTest:WhiteF-statistic2955294Prob.F(2.27>0.0691O^R-squared5.387361Prob.Ghi-S-quare[2)-0.0676ScaledesplainedSS4531095Prob.Ghi-S-quarefi)-0.1033TestEquation:□ep&ndlentVariable:RESIDEMethod:LeastSquares□ate:12/08/16Time:18:USample:130Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-65625.7J1171125-0.560J650.5799INC4.516138S.-1S09570.5520^10.585&INM-3.93E-050.0001^S-0.29154707729R-squared0.179595Meandependentvar22995.33AdjustedR.-squared0.118825SLD.dependentvar32499.22SE.ofregression30507.33Akaikeinfocriterion23.58396Sumsquaredresid2.51E^10Schwarzcriterion23.72408Laglikelihood-350.799I4Hannan-Guinncriter.2362879F-statistic2.955294□urbin-YVatsonstat2.B93231ProttF-statistic}0.069QS4在顯著性0.1下，護(hù)(2)=4.61,nR2=5.387861,nR2>/2(2),所以我們在0.1的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，模型(1)存在異方差。戈里瑟檢驗(yàn)做q|對INC回歸，得到模型：TOC\o"1-5"\h\z|ei|=-16.55865+0.005423*INC(6)(-1.387756)(5.498399)R2=0.519168做|ei|對VINC回歸，得到模型：|ei|=-171.316622591+1.84670558611*VINC(7)(-1.261219)(2.180356)R2=0.145141做q|對INC2回歸，得到模型：|ei|=60.6512548456+8.88392117346e-08*INC2(8)(1.864198)(2.177417)R2=0.144807上述模型回歸系數(shù)均顯著不為零，即認(rèn)為模型(1)存在異方差性。戈德菲爾特—匡特檢驗(yàn)首先，將樣本按照自標(biāo)量“INC”的大小進(jìn)行排序，其次，去掉中間1/4個觀測值約8個，剩余22個觀測值，由前11個觀測值與后11個觀測值組成容量均為11的兩個子樣本，分別以這兩個子樣本數(shù)據(jù)建立回歸方程。經(jīng)回歸，得RSS1=82296.86，RSS2=383086.8，計(jì)算出F=383086.8/82296.86=4.65,取a=0.05時，查F分布表得F005（11，11）=2.85,而F=4.65>F005（11，11）=2.85，所以模型（1）存在遞增的異方差。以上四種檢驗(yàn)方法，都證明了模型存在異方差。（三）異方差的消除當(dāng)通過檢驗(yàn)，探明模型中存在異方差后，要設(shè)法消除其影響，將異方差模型轉(zhuǎn)化為同方差模型，對其作OLS估計(jì)后，再變換回原模型。常用的方法有加權(quán)最小二乘法（WLS）、對數(shù)據(jù)取對數(shù)等。1.加權(quán)最小二乘法以1/|ei|為權(quán)重進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì)，得到下列回歸方程：DependentVariable:CLOMethod:LeastSquaresDate:12/08/16Time:1&19Sample:130Indludledobserva.tion.s:30Weightingseries:IVAB&fRESID}Weighttype:Inversestandarddeviation[EViewsdefaultscaling）VariableCoefficientStd.Errori-StatisticPrab.C-481.284S44.09936-10.913640.0000INC0.0361020.00201417JS259S0.0000WeightedStatisticsR-squared0.919849Meandependlentvar756.0647AdjustedR-squa.red0.915907S.D.dependentvar764.5738S.E.ofregression13-31833AfcaikeinfocriterionS.080501Sumsquaredresid4960.&84SchwarzcriterionS.17391斗Loglikelihood-1-19.2075Hannan-Quinncriier.S.1-103S4F-staiistic321MOSDurbin-Watsonsbt■1.376504Prob(F-statistic)0.00000-0Weightedmeandep.309.1599CLO=-481.28475218+0.0361016530719*INC(9)(-3.124130)(14.41743)R2=0.881287S.E.=70.03382F=207.8623可以認(rèn)為，該模型已經(jīng)消除了異方差。各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)指標(biāo)全面改善。R2=0.519168—0.919849,F：30.23239—321.3408,S.E.=156.9645—13.31833,t：-1.387756,5.498399—-10.91364,17。92598。2.對數(shù)法通過對數(shù)據(jù)取對數(shù)也可以達(dá)到消除異方差的效果。原因是：對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮??；經(jīng)過對數(shù)變換后的線性模型，其殘差表示為相對誤差，而相對誤差往往比較小。對表1的數(shù)據(jù)取對數(shù)后，得到如下回歸方程：LOG(CLO)=-6.22185002228+1.21394235128*LOG(INC)(10)(-2.003176)(3.959979)R2=0.358995S.E.=0.364274F=15.68143DependentVariable:LOG(CLO)Method:LeastSquares□ate:12^08/16Time:17:22Sample:130Includedobservations:30VariableCoefficient3td.Errort-3tatisticProb.G-6.2218503..105992-2.003-1760.0549LOG(INC)12139420.3065533.9&99790.0005R-squared0.358995Meandependentvar6.07+992AdjustedR-squared0.33S102S.D.dependentvar0447072S.E.ofregression0.364274Akaikeinfocriterion0.BS2519Sumsquaredresid5.71&474Schwarzcriterion0.975932Loglikelihood-11.2J779Hannan-Cluinncriter.6912403F-statistic1&.6S143Durbin-Watsonstat1.3€4359ProbfF-statistic)0.00046S對上述方程進(jìn)行White檢驗(yàn)。HeteroskedasticityTest:WhiteHeteroskedasticityTest:WhiteF-statistic0.137305Pr