第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)

第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月基本方程：1、平衡方程

分量形式為：第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月2、幾何關(guān)系（小變形）分量形式為：第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月變形協(xié)調(diào)方程：六個(gè)應(yīng)變分量應(yīng)該滿足的一個(gè)關(guān)系，即6個(gè)獨(dú)立等式：共有81個(gè)方程，但只有6個(gè)是不同的，其余的不是恒等式就是由于

ij的對稱性而都是重復(fù)的。第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月前三個(gè)分別是xy，yz，zx平面內(nèi)的3個(gè)應(yīng)變量間的協(xié)調(diào)關(guān)系；而后三者則分別是正應(yīng)變和3個(gè)切應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月3、邊界條件力邊界條件：位移邊界條件：4、各向異性本構(gòu)方程（小變形）剛度矩陣柔度矩陣

各向異性體的彈性應(yīng)變能為：第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月拉-拉耦合（泊桑效應(yīng)）剪-剪耦合拉剪耦合第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

§3-2各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程一、完全各向異性（21個(gè)彈性常數(shù)）其中Sij為柔度系數(shù)，

4、5和6即為剪應(yīng)力23、31和12。可見各向異性體一般具有耦合現(xiàn)象：正應(yīng)力引起剪應(yīng)變，剪應(yīng)力也可以引起正應(yīng)變；反之亦然。第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月二、有一彈性對稱面（13個(gè)彈性常數(shù)）彈性對稱面：沿這些平面的對稱方向彈性性能是相同的。材料主軸（或彈性主軸）：垂直于彈性對稱面的軸。第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月利用兩個(gè)方向下材料的應(yīng)變能密度表達(dá)式應(yīng)保持不變（即利用兩個(gè)坐標(biāo)系計(jì)算得到的單位體積應(yīng)變能的結(jié)果是相同的）可以推得：設(shè)僅有，即有而在x3變向時(shí)要變號，為保證W相同，則有第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月同理：獨(dú)立常數(shù)減少為13個(gè)，即第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果，其余應(yīng)力分量為零，則有：此公式說明：當(dāng)沿彈性主軸拉伸時(shí)，除縱向伸長、橫向收縮外，還會(huì)引起與主軸垂直的面內(nèi)剪應(yīng)變，且彈性主軸方向不變。第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月三、正交各向異性（9個(gè)彈性常數(shù)）正交各向異性是指有三個(gè)互相正交的彈性主軸的情況。（有三個(gè)互相正交的彈性對稱面）取為三個(gè)正交彈性主軸，如圖所示：第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月由a）、b）兩坐標(biāo)系中計(jì)算的應(yīng)變能應(yīng)該相同，而在兩坐標(biāo)系下：（即）變號，可得：即：第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可得：1）當(dāng)采用材料主軸來描述正交異性體時(shí)，沒有任何拉剪耦合現(xiàn)象；2）在非材料主軸系里，正交異性材料仍有耦合現(xiàn)象。纖維在橫截面內(nèi)按矩形排列的單向纖維復(fù)合材料，宏觀而言則是一正交異性體。共有9個(gè)彈性常數(shù)：第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月1軸沿纖維方向，并有，而是即沒有對稱性?？烧归_為：第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月

四、橫觀同性（5個(gè)彈性常數(shù)）纖維在橫截面內(nèi)隨機(jī)排列的，宏觀而言，其在橫向的所有方向的彈性性能相同，則稱為橫向同性。由于橫向同性，則在2-3平面內(nèi)應(yīng)為各向同性，則有故只有5個(gè)獨(dú)立常數(shù)：（或），（或）第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月由工程應(yīng)變形式的展開式為：即：第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月五、各向同性（2個(gè)彈性常數(shù)）第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月六、彈性常數(shù)的取值范圍判定依據(jù)是非零應(yīng)力狀態(tài)下，材料的彈性應(yīng)變能位正值，應(yīng)變能應(yīng)是應(yīng)變（或應(yīng)力）的正定二次型。為的正定二次型的充要條件是矩陣的所有主要主子式大于零，即：第21頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月1、對于各向同性，可推得：實(shí)際上一般為：2、對于正交各向異性，有：

，……等等第22頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)：